Superficie de Morin

La superficie de Morin es el modelo intermedio de la eversión de la esfera descubierto por Bernard Morin . Presenta simetría rotacional cuádruple .

Si la esfera original que se va a invertir tiene su superficie exterior de color verde y su superficie interior de color rojo, entonces cuando la esfera se transforma por homotopía en una superficie de Morin, la mitad de la superficie de Morin visible hacia el exterior será verde y la otra mitad roja:

La mitad de una superficie de Morin corresponde al exterior (verde) de la esfera a la que es homeomorfa, y la otra mitad simétrica al interior (rojo).

Luego, al rotar la superficie 90° alrededor de su eje de simetría, se intercambiarán sus colores, es decir, se intercambiará la polaridad interna-externa de la superficie orientable, de modo que al retroceder los pasos de la homotopía exactamente en la misma posición hasta la esfera original después de haber rotado la superficie de Morin, se obtendrá una esfera cuya superficie exterior es roja y cuya superficie interior es verde: una esfera que ha sido invertida. A continuación se presenta un resumen de la eversión:

1. esfera: verde por fuera, roja por dentro... 2. se transforma en... 3. superficie de Morin, 3'. Superficie de Morin rotada 90°... 2'. se transforma inversamente en... 1'. esfera: roja por fuera, verde por dentro.

La superficie de Morin se puede dividir en cuatro secciones congruentes. Estas secciones se denominan aquí sección Este, sección Sur, sección Oeste y sección Norte, o , respectivamente , sección 0, sección 1, sección 2 y sección 3.

Sección al este de la superficie de Morin.

La superficie de Morin tiene un punto cuádruple por el cual pasa su eje de simetría. Este punto cuádruple es el punto de inicio y el punto final de seis líneas de puntos dobles. Cada una de las secciones de cuarto está delimitada por tres de estas líneas de puntos dobles, de modo que cada sección de cuarto es homeomorfa a un triángulo. La sección Este se muestra ahora esquemáticamente: El diagrama muestra la sección Este delimitada por tres bucles: ABCDA, AEFGA y AHIJA. El tercer bucle, AHIJA, es una línea de puntos dobles donde la sección Este se interseca consigo misma. El bucle ABCDA es una línea de puntos dobles solo cuando la sección Este se une a la sección Oeste, y el bucle AEFGA es una línea de puntos dobles solo cuando la sección Este se une a la sección Sur. El punto es el punto cuádruple que en realidad es la superposición de cuatro puntos diferentes: A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ .

Así es como la sección Este se une a las demás secciones: sea cada uno de sus bucles delimitadores especificado por una quíntupla ordenada de puntos, entonces

${\displaystyle (A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})}$

${\displaystyle (A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})}$

${\displaystyle (A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})}$

donde los puntos sin prima pertenecen a la sección 0 (Este), los puntos con prima pertenecen a la sección 1 (Sur), los puntos con doble prima pertenecen a la sección 2 (Oeste) y los puntos con triple prima pertenecen a la sección 3 (Norte).

Los tres bucles restantes conectan las secciones de la siguiente manera:

${\displaystyle (A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})}$

${\displaystyle (A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})}$

${\displaystyle (A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{1}).}$

La sección Este tiene, considerada aisladamente, un bucle de puntos dobles: AHIJA. Si la superficie se desenrolla y se aplana, el resultado será el siguiente: que es homeomorfo a un triángulo:

Uniendo las cuatro secciones triangulares por sus costuras se obtiene un tetraedro , que es homeomorfo a una esfera, lo que demuestra que la superficie de Morin es una esfera que se autointerseca.

Cuatro vistas diferentes de la superficie de Morin: las dos primeras se muestran con las "barreras de paso" recortadas, las dos últimas son vistas desde el "fondo".

La superficie de Morin se puede describir elegantemente mediante un conjunto de ecuaciones ^{[ 1 ]} ya sea en versión abierta (con polos enviados al infinito) o cerrada.

• Eversión de la esfera

• "Dar la vuelta a una esfera"
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