Coordenadas generalizadas

Superficie curva abierta F ( x , y , z ) = 0

Superficie curva cerrada S ( x , y , z ) = 0

Dos coordenadas generalizadas, dos grados de libertad, en superficies curvas en 3D. Solo se necesitan dos números ( u , v ) para especificar los puntos de la curva; se muestra una posibilidad para cada caso. Las tres coordenadas cartesianas completas ( x , y , z ) no son necesarias, ya que dos de ellas determinan la tercera según las ecuaciones de las curvas.

Para un sistema de N partículas en un espacio de coordenadas reales 3D , el vector de posición de cada partícula se puede escribir como una 3- tupla en coordenadas cartesianas :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}}$

Cualquiera de los vectores de posición puede denotarse como r _k donde k = 1, 2, …, N etiqueta las partículas. Una restricción holonómica es una ecuación de restricción de la forma para la partícula k ^{[ 4 ] [ a ]}

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

que conecta las tres coordenadas espaciales de esa partícula, por lo que no son independientes. La restricción puede cambiar con el tiempo, por lo que el tiempo t aparecerá explícitamente en las ecuaciones de restricción. En cualquier instante de tiempo, cualquier coordenada se determinará a partir de las otras coordenadas; por ejemplo, si se dan x _k y z _k , también se dará y _k . Una ecuación de restricción cuenta como una restricción. Si hay C restricciones, cada una tiene una ecuación, por lo que habrá C ecuaciones de restricción. No necesariamente hay una ecuación de restricción para cada partícula, y si no hay restricciones en el sistema, entonces no hay ecuaciones de restricción.

Hasta ahora, la configuración del sistema está definida por 3 N cantidades, pero se pueden eliminar C coordenadas, una coordenada de cada ecuación de restricción. El número de coordenadas independientes es n = 3 N − C. (En D dimensiones, la configuración original necesitaría ND coordenadas, y la reducción por restricciones significa n = ND − C ). Lo ideal es utilizar el número mínimo de coordenadas necesarias para definir la configuración de todo el sistema, aprovechando las restricciones del sistema. Estas cantidades se conocen como coordenadas generalizadas en este contexto, denotadas q _j ( t ) . Es conveniente agruparlas en una n - tupla.

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

que es un punto en el espacio de configuración del sistema. Todos son independientes entre sí, y cada uno es una función del tiempo. Geométricamente pueden ser longitudes a lo largo de líneas rectas, longitudes de arco a lo largo de curvas o ángulos; no necesariamente coordenadas cartesianas u otras coordenadas ortogonales estándar . Hay una por cada grado de libertad , por lo que el número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad, n . Un grado de libertad corresponde a una magnitud que cambia la configuración del sistema, por ejemplo, el ángulo de un péndulo o la longitud de arco recorrida por una cuenta a lo largo de un alambre.

Si es posible encontrar a partir de las restricciones tantas variables independientes como grados de libertad haya, estas pueden usarse como coordenadas generalizadas. ^{[ 5 ]} El vector de posición r _k de la partícula k es una función de todas las n coordenadas generalizadas (y, a través de ellas, del tiempo), ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 5 ] [ nb 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

y las coordenadas generalizadas pueden considerarse parámetros asociados a la restricción.

Las derivadas temporales correspondientes de q son las velocidades generalizadas,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

(cada punto sobre una cantidad indica una derivada temporal ). El vector de velocidad v _k es la derivada total de r _k con respecto al tiempo.

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

y por lo tanto depende generalmente de las velocidades y coordenadas generalizadas. Dado que podemos especificar libremente los valores iniciales de las coordenadas y velocidades generalizadas por separado, las coordenadas generalizadas q _j y las velocidades dq _j / dt pueden tratarse como variables independientes .

Un sistema mecánico puede implicar restricciones tanto en las coordenadas generalizadas como en sus derivadas. Las restricciones de este tipo se conocen como no holonómicas. Las restricciones no holonómicas de primer orden tienen la forma

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

Un ejemplo de este tipo de restricción es una rueda giratoria o un filo de cuchillo que limita la dirección del vector velocidad. Las restricciones no holonómicas también pueden incluir derivadas de orden superior, como aceleraciones generalizadas.

La energía cinética total del sistema es la energía del movimiento del sistema, definida como ^{[ 9 ].}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

donde · es el producto escalar . La energía cinética es una función solo de las velocidades v _k , no de las coordenadas r _k mismas. Por el contrario, una observación importante es ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

lo que ilustra que la energía cinética es en general una función de las velocidades generalizadas, las coordenadas y el tiempo si las restricciones también varían con el tiempo, por lo que T = T ( q , d q / dt , t ) .

En el caso de que las restricciones sobre las partículas sean independientes del tiempo, entonces todas las derivadas parciales con respecto al tiempo son cero, y la energía cinética es una función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas.

Aún para el caso independiente del tiempo, esta expresión es equivalente a tomar el cuadrado del elemento de línea de la trayectoria para la partícula k ,

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

y dividiendo por el diferencial al cuadrado en el tiempo, dt² , para obtener el cuadrado de la velocidad de la partícula k . Por lo tanto, para restricciones independientes del tiempo ^, es suficiente conocer el elemento de línea para obtener rápidamente la energía cinética de las partículas y, por lo tanto, el lagrangiano . ^{[ 11 ]}

Resulta instructivo observar los diversos casos de coordenadas polares en 2D y 3D, debido a su frecuente aparición. En coordenadas polares 2D ( r , θ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

en coordenadas cilíndricas 3D ( r , θ , z ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

en coordenadas esféricas 3D ( r , θ , φ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

El momento generalizado " canónicamente conjugado a" la coordenada q _i se define por

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Si el lagrangiano L no depende de alguna coordenada q _i , entonces se deduce de las ecuaciones de Euler-Lagrange que el momento generalizado correspondiente será una cantidad conservada , porque la derivada temporal es cero , lo que implica que el momento es una constante del movimiento;

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

Para una cuenta que se desliza sobre un alambre sin fricción, sujeta únicamente a la gravedad en un espacio bidimensional, la restricción sobre la cuenta se puede expresar como f ( r ) = 0 , donde la posición de la cuenta se puede escribir como r = ( x ( s ), y ( s )) , en la que s es un parámetro, la longitud del arco s a lo largo de la curva desde un punto del alambre. Esta es una elección adecuada de coordenadas generalizadas para el sistema. Solo se necesita una coordenada en lugar de dos, porque la posición de la cuenta se puede parametrizar mediante un número, s , y la ecuación de restricción conecta las dos coordenadas x e y ; una se determina a partir de la otra. La fuerza de restricción es la fuerza de reacción que el alambre ejerce sobre la cuenta para mantenerla sobre él, y la fuerza aplicada que no constituye una restricción es la gravedad que actúa sobre la cuenta.

Supongamos que el alambre cambia de forma con el tiempo, al flexionarse. Entonces la ecuación de restricción y la posición de la partícula son respectivamente

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

Ahora ambas dependen del tiempo t debido al cambio de coordenadas a medida que el cable cambia de forma. Nótese que el tiempo aparece implícitamente a través de las coordenadas y explícitamente en las ecuaciones de restricción.

La relación entre el uso de coordenadas generalizadas y coordenadas cartesianas para caracterizar el movimiento de un sistema mecánico puede ilustrarse considerando la dinámica restringida de un péndulo simple. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Un péndulo simple consiste en una masa M que cuelga de un punto de pivote, de modo que está restringida a moverse sobre un círculo de radio L. La posición de la masa se define por el vector de coordenadas r = ( x , y ) medido en el plano del círculo, de manera que y apunta en la dirección vertical. Las coordenadas x e y están relacionadas por la ecuación del círculo.

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

que restringe el movimiento de M. Esta ecuación también proporciona una restricción sobre las componentes de la velocidad,

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

Ahora introducimos el parámetro θ , que define la posición angular de M con respecto a la dirección vertical. Se puede utilizar para definir las coordenadas x e y , de tal manera que

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

El uso de θ para definir la configuración de este sistema evita la restricción que impone la ecuación del círculo.

Nótese que la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa m se formula en las coordenadas cartesianas habituales,

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad .

El trabajo virtual de la gravedad sobre la masa m mientras sigue la trayectoria r viene dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

La variación δ r se puede calcular en términos de las coordenadas x e y , o en términos del parámetro θ ,

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

Así, el trabajo virtual viene dado por

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

Nótese que el coeficiente de δ y es la componente y de la fuerza aplicada. De la misma manera, el coeficiente de δ θ se conoce como la fuerza generalizada a lo largo de la coordenada generalizada θ , dada por

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

Para completar el análisis, considere la energía cinética T de la masa, utilizando la velocidad,

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

entonces,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

La formulación de D'Alembert del principio de trabajo virtual para el péndulo en términos de las coordenadas x e y viene dada por:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Esto da como resultado las tres ecuaciones

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

en las tres incógnitas, x , y y λ .

Utilizando el parámetro θ , esas ecuaciones toman la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

lo cual se convierte en,

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

o

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

Esta formulación produce una sola ecuación porque hay un único parámetro y ninguna ecuación de restricción.

Esto demuestra que el parámetro θ es una coordenada generalizada que puede utilizarse del mismo modo que las coordenadas cartesianas x e y para analizar el péndulo.

Los beneficios de las coordenadas generalizadas se hacen evidentes con el análisis de un péndulo doble . Para las dos masas m _i ( i = 1, 2) , sea r _i = ( x _i , y _i ), i = 1, 2 que define sus dos trayectorias. Estos vectores satisfacen las dos ecuaciones de restricción,

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

y

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

La formulación de las ecuaciones de Lagrange para este sistema produce seis ecuaciones en las cuatro coordenadas cartesianas x _i , y _i ( i = 1, 2) y los dos multiplicadores de Lagrange λ _i ( i = 1, 2) que surgen de las dos ecuaciones de restricción.

Ahora introducimos las coordenadas generalizadas θ _i ( i = 1, 2) que definen la posición angular de cada masa del péndulo doble con respecto a la dirección vertical. En este caso, tenemos

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

La fuerza de gravedad que actúa sobre las masas viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad. Por lo tanto, el trabajo virtual de la gravedad sobre las dos masas mientras siguen las trayectorias r _i ( i = 1, 2) viene dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

Las variaciones δ r _i ( i = 1, 2) se pueden calcular como

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

Así, el trabajo virtual viene dado por

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

y las fuerzas generalizadas son

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Calcula la energía cinética de este sistema.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

La ecuación de Euler-Lagrange produce dos ecuaciones en las coordenadas generalizadas desconocidas θ _i ( i = 1, 2) dadas por ^{[ 14 ].}

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

y

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

El uso de las coordenadas generalizadas θ _i ( i = 1, 2) proporciona una alternativa a la formulación cartesiana de la dinámica del péndulo doble.

Para un ejemplo en 3D, un péndulo esférico de longitud constante l libre para oscilar en cualquier dirección angular sujeto a la gravedad, la restricción sobre la masa del péndulo se puede expresar de la forma

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

donde se puede escribir la posición de la masa del péndulo

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

donde ( θ , φ ) son los ángulos polares esféricos porque el péndulo se mueve en la superficie de una esfera. La posición r se mide a lo largo del punto de suspensión hasta el péndulo, que aquí se trata como una partícula puntual . Una elección lógica de coordenadas generalizadas para describir el movimiento son los ángulos ( θ , φ ) . Solo se necesitan dos coordenadas en lugar de tres, porque la posición del péndulo se puede parametrizar con dos números, y la ecuación de restricción conecta las tres coordenadas ( x , y , z ) de manera que cualquiera de ellas se determina a partir de las otras dos.