Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Basta con demostrar el teorema para cada número primo impar p . Esto se deduce inmediatamente de la identidad de Euler de cuatro cuadrados (y del hecho de que el teorema es cierto para los números 1 y 2).

Los residuos de a ² módulo p son distintos para cada a entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive). Para ver esto, tomemos algún a y definamos c como a ² mod p . a es una raíz del polinomio x ² − c sobre el cuerpo Z/ p Z . También lo es p − a (que es diferente de a ). En un cuerpo K , cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas ( teorema de Lagrange (teoría de números) ), por lo que no hay otros a con esta propiedad, en particular no entre 0 y ( p − 1)/2 .

De manera similar, para b tomando valores enteros entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive), los −b² − 1 ^son distintos. Por el principio del palomar , hay a y b en este rango, para los cuales a² y −b² − 1 ^son congruentes módulo p , es decir, para ^los cuales$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$$

Ahora bien, sea m el entero positivo más pequeño tal que mp sea la suma de cuatro cuadrados, x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² (acabamos de demostrar que existe algún m (es decir, n ) con esta propiedad, por lo que existe al menos un m , y es menor que p ). Demostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea así, demostramos la existencia de un entero positivo r menor que m , para el cual rp también es la suma de cuatro cuadrados (esto está en el espíritu del método de descenso infinito ^{[ 7 ]} de Fermat).

Para este propósito, consideramos para cada x _i el y _i que está en la misma clase de residuo módulo m y entre (– m + 1)/2 y m /2 (posiblemente incluido). De ello se deduce que y ₁ ² + y ₂ ² + y ₃ ² + y ₄ ² = mr , para algún entero estrictamente positivo r menor que m . 

Finalmente, otra apelación a la identidad de cuatro cuadrados de Euler muestra que mpmr = z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ² + z ₄ ² . Pero el hecho de que cada x _i sea congruente con su correspondiente y _i implica que todos los z _i son divisibles por m . En efecto, $${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m}},\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3}&=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$$

De ello se deduce que, para w _i = z _i / m , w ₁ ² + w ₂ ² + w ₃ ² + w ₄ ² = rp , y esto contradice la minimalidad de m . 

En el descenso anterior, debemos descartar tanto el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (lo que daría r = m y ningún descenso), como también el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (lo que daría r = 0 en lugar de estrictamente positivo). Para ambos casos, se puede comprobar que mp = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² sería un múltiplo de m ² , lo que contradice el hecho de que p es un primo mayor que m .

Los cuaterniones de Hurwitz constan de todos los cuaterniones con componentes enteras y todos los cuaterniones con componentes semienteras . Estos dos conjuntos se pueden combinar en una sola fórmula. $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$$ dónde${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$son enteros. Por lo tanto, los componentes del cuaternión${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$son todos enteros o todos semi-enteros, dependiendo de si${\displaystyle E_{0}}$es par o impar, respectivamente. El conjunto de cuaterniones de Hurwitz forma un anillo ; es decir, la suma o el producto de dos cuaterniones de Hurwitz cualesquiera es también un cuaternión de Hurwitz.

La norma (aritmética o de campo)${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$de un cuaternión racional${\displaystyle \alpha }$es el número racional no negativo$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$ dónde${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$es el conjugado de${\displaystyle \alpha }$Nótese que la norma de un cuaternión de Hurwitz siempre es un número entero. (Si los coeficientes son semienteros, entonces sus cuadrados son de la forma${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$y la suma de cuatro de esos números es un número entero.)

Dado que la multiplicación de cuaterniones es asociativa y los números reales conmutan con otros cuaterniones, la norma de un producto de cuaterniones es igual al producto de las normas: $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$$

Para cualquier${\displaystyle \alpha \neq 0}$,${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$De ello se deduce fácilmente que${\displaystyle \alpha }$es una unidad en el anillo de cuaterniones de Hurwitz si y solo si${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$.

La demostración del teorema principal comienza con la reducción al caso de los números primos. La identidad del cuadrilátero de Euler implica que si el teorema del cuadrilátero de Lagrange se cumple para dos números, también se cumple para el producto de esos dos números. Dado que cualquier número natural puede factorizarse en potencias de números primos, basta con demostrar el teorema para los números primos. Es cierto para${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$Para demostrar esto para un número primo impar p , represéntelo como un cuaternión.${\displaystyle (p,0,0,0)}$y supongamos por ahora (como mostraremos más adelante) que no es un irreducible de Hurwitz ; es decir, que se puede factorizar en dos cuaterniones de Hurwitz que no son unidades. $${\displaystyle p=\alpha \beta .}$$

Las normas de${\displaystyle p,\alpha ,\beta }$son enteros tales que $${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$$ y${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$Esto demuestra que ambos${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$y${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$son iguales a p (ya que son enteros), y p es la suma de cuatro cuadrados $${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$$

Si sucede que el${\displaystyle \alpha }$El cuaternión elegido tiene coeficientes semienteros, puede ser reemplazado por otro cuaternión de Hurwitz. Elija${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$de tal manera que${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$tiene coeficientes enteros pares. Entonces $${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma }}\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$$

Desde${\displaystyle \gamma }$tiene coeficientes enteros pares,${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$tendrá coeficientes enteros y se puede utilizar en lugar del original.${\displaystyle \alpha }$para dar una representación de p como la suma de cuatro cuadrados.

En cuanto a demostrar que p no es un irreducible de Hurwitz, Lagrange demostró que cualquier primo impar p divide al menos a un número de la forma${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$, donde l y m son enteros. ^{[ 8 ]} Esto se puede ver de la siguiente manera: dado que p es primo,${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$puede contener números enteros${\displaystyle a,b}$, solo cuando${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$. Por lo tanto, el conjunto${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$de cuadrados contiene${\displaystyle (p+1)/2}$residuos distintos módulo p . Asimismo,${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$contiene${\displaystyle (p+1)/2}$residuos. Dado que solo hay p residuos en total, y${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$Los conjuntos X e Y deben intersecarse.

El número u se puede factorizar en cuaterniones de Hurwitz: $${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} ).}$$

La norma sobre los cuaterniones de Hurwitz satisface una forma de la propiedad euclidiana : para cualquier cuaternión${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$Con coeficientes racionales podemos elegir un cuaternión de Hurwitz.${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$de modo que${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$al elegir primero${\displaystyle b_{0}}$de modo que${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$y luego${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$de modo que${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$para${\displaystyle i=1,2,3}$Entonces obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que para cualquier cuaternión de Hurwitz${\displaystyle \alpha ,\beta }$con${\displaystyle \alpha \neq 0}$Existe un cuaternión de Hurwitz.${\displaystyle \gamma }$de tal manera que $${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$$

El anillo H de cuaterniones de Hurwitz no es conmutativo, por lo tanto no es un dominio euclidiano real, y no tiene factorización única en el sentido usual. Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo ideal derecho es principal . Por lo tanto, existe un cuaternión de Hurwitz.${\displaystyle \alpha }$de tal manera que $${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$$

En particular,${\displaystyle p=\alpha \beta }$para algún cuaternión de Hurwitz${\displaystyle \beta }$. Si${\displaystyle \beta }$eran una unidad,${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$sería un múltiplo de p , sin embargo, esto es imposible ya que${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$no es un cuaternión de Hurwitz para${\displaystyle p>2}$. De manera similar, si${\displaystyle \alpha }$si fuéramos una unidad, tendríamos $${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$$ entonces p divide${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$, lo cual contradice nuevamente el hecho de que${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$no es un cuaternión de Hurwitz. Por lo tanto, p no es irreducible de Hurwitz, como se afirma.