ecuaciones de Kolmogorov

En teoría de la probabilidad , las ecuaciones de Kolmogorov caracterizan los procesos de Markov de tiempo continuo . En particular, describen cómo cambia con el tiempo la probabilidad de que un proceso de Markov de tiempo continuo se encuentre en un estado determinado. Existen cuatro ecuaciones distintas: la ecuación de Kolmogorov hacia adelante para procesos continuos, que ahora se entiende que es idéntica a la ecuación de Fokker-Planck ; la ecuación de Kolmogorov hacia adelante para procesos con saltos ; y dos ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás para procesos con y sin saltos discontinuos .

En 1931, Andrey Kolmogorov partió de la teoría de los procesos de Markov de tiempo discreto, descritos por la ecuación de Chapman-Kolmogorov , y buscó derivar una teoría de los procesos de Markov de tiempo continuo extendiendo dicha ecuación. Descubrió que existen dos tipos de procesos de Markov de tiempo continuo, dependiendo del comportamiento asumido en pequeños intervalos de tiempo:

Si se asume que "en un pequeño intervalo de tiempo hay una probabilidad abrumadora de que el estado permanezca sin cambios; sin embargo, si cambia, el cambio puede ser radical", ^{[ 1 ]} entonces se llega a lo que se denominan procesos de salto .

El otro caso conduce a procesos como los representados por la difusión y el movimiento browniano ; allí es seguro que se producirá algún cambio en cualquier intervalo de tiempo, por pequeño que sea; solo que, aquí, es seguro que los cambios durante intervalos de tiempo pequeños también serán pequeños. ^{[ 1 ]}

Para cada uno de estos dos tipos de procesos, Kolmogorov derivó un sistema de ecuaciones hacia adelante y otro hacia atrás (cuatro en total).

Las ecuaciones llevan el nombre de Andrey Kolmogorov porque fueron destacadas en su obra fundamental de 1931. ^{[ 2 ]}

William Feller , en 1949, utilizó los nombres de "ecuación hacia adelante" y "ecuación hacia atrás" para su versión más general del par de Kolmogorov, tanto en procesos de salto como de difusión. ^{[ 1 ]} Mucho más tarde, en 1956, se refirió a las ecuaciones para el proceso de salto como "ecuaciones hacia adelante de Kolmogorov" y "ecuaciones hacia atrás de Kolmogorov". ^{[ 3 ]}

Otros autores, como Motoo Kimura , ^{[ 4 ]} se refirieron a la ecuación de difusión (Fokker-Planck) como ecuación directa de Kolmogorov, un nombre que ha persistido.

• En el contexto de un proceso de Markov de tiempo continuo con saltos , véase ecuaciones de Kolmogorov (proceso de salto de Markov) . En particular, en ciencias naturales la ecuación directa también se conoce como ecuación maestra .
• En el contexto de un proceso de difusión , para las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás, véase Ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás (difusión) . La ecuación de Kolmogorov hacia adelante también se conoce como ecuación de Fokker-Planck .

La derivación original de las ecuaciones por Kolmogorov comienza con la ecuación de Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov la llamó ecuación fundamental ) para procesos de Markov continuos en el tiempo y diferenciables en un espacio de estados discreto y finito. ^{[ 2 ]} En esta formulación, se supone que las probabilidades${\displaystyle P(x,s;y,t)}$son funciones continuas y diferenciables de ${\displaystyle t>s}$, dónde${\displaystyle x,y\in \Omega }$(el espacio de estados) y${\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$son los tiempos final e inicial, respectivamente. Además, se asumen propiedades límite adecuadas para las derivadas. Feller deriva las ecuaciones bajo condiciones ligeramente diferentes, partiendo del concepto de proceso de Markov puramente discontinuo y luego formulándolas para espacios de estados más generales. ^{[ 5 ]} Feller demuestra la existencia de soluciones de carácter probabilístico para las ecuaciones de Kolmogorov hacia adelante y hacia atrás bajo condiciones naturales. ^{[ 5 ]}

Para el caso de un espacio de estados numerable , ponemos${\displaystyle i,j}$en lugar de${\displaystyle x,y}$Las ecuaciones directas de Kolmogorov se leen

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$,

dónde${\displaystyle A(t)}$es la matriz de tasas de transición (también conocida como matriz generadora ),

mientras que las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás son

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}$

Las funciones${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$son continuas y diferenciables en ambos argumentos de tiempo. Representan la probabilidad de que el sistema que estaba en estado${\displaystyle i}$en ese momento${\displaystyle s}$salta al estado${\displaystyle j}$en algún momento posterior${\displaystyle t>s}$Las cantidades continuas${\displaystyle A_{ij}(t)}$satisfacer

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

Un ejemplo de biología se da a continuación: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}$

Esta ecuación se aplica para modelar el crecimiento poblacional con la natalidad. Donde${\displaystyle n}$es el índice de población, con referencia a la población inicial,${\displaystyle \beta }$es la tasa de natalidad y finalmente${\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}$, es decir, la probabilidad de alcanzar un determinado tamaño de población .

La solución analítica es: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}$

Esta es una fórmula para la probabilidad${\displaystyle p_{n}(t)}$en términos de los anteriores, es decir${\displaystyle p_{n-1}(t)}$.

• Fórmula de Feynman-Kac
• ecuación de Fokker-Planck
• ecuación de Kolmogorov hacia atrás