Propiedad de punto fijo

Un objeto matemático${\displaystyle X}$tiene la propiedad de punto fijo si toda aplicación adecuadamente bien comportada de${\displaystyle X}$a sí mismo tiene un punto fijo . El término se usa más comúnmente para describir espacios topológicos en los que cada aplicación continua tiene un punto fijo. Pero otro uso es en la teoría del orden , donde un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle P}$Se dice que tiene la propiedad de punto fijo si toda función creciente en${\displaystyle P}$tiene un punto fijo.

Dejar${\displaystyle A}$ser un objeto en la categoría concreta${\displaystyle \mathbf {C} }$. Entonces${\displaystyle A}$tiene la propiedad de punto fijo si todo morfismo (es decir, toda función )${\displaystyle f:A\to A}$tiene un punto fijo.

El uso más común es cuando${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {Top} }$es la categoría de espacios topológicos . Entonces un espacio topológico${\displaystyle X}$tiene la propiedad de punto fijo si cada mapa continuo${\displaystyle f:X\to X}$tiene un punto fijo.

Una retractación${\displaystyle A}$de un espacio${\displaystyle X}$con la propiedad de punto fijo también tiene la propiedad de punto fijo. Esto se debe a que si${\displaystyle r:X\to A}$es una retractación y${\displaystyle f:A\to A}$es cualquier función continua , entonces la composición${\displaystyle i\circ f\circ r:X\to X}$(dónde${\displaystyle i:A\to X}$es la inclusión) tiene un punto fijo. Es decir, hay${\displaystyle x\in A}$de tal manera que${\displaystyle f\circ r(x)=x}$. Desde${\displaystyle x\in A}$tenemos eso${\displaystyle r(x)=x}$y por lo tanto${\displaystyle f(x)=x.}$

Un espacio topológico tiene la propiedad de punto fijo si y solo si su mapa identidad es universal .

Un producto de espacios con la propiedad de punto fijo generalmente no tiene la propiedad de punto fijo incluso si uno de los espacios es el intervalo real cerrado.

El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva bajo cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva bajo cualquier retracción .

Según el teorema del punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano posee el punto fijo. De forma más general, según el teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff, todo subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial topológico localmente convexo posee el punto fijo. La compacidad por sí sola no implica el punto fijo, y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntarse cómo caracterizar topológicamente el punto fijo. En 1932, Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podría ser una condición suficiente para que se cumpliera el punto fijo. El problema permaneció abierto durante 20 años hasta que Kinoshita refutó la conjetura al encontrar un ejemplo de un espacio compacto y contraíble sin el punto fijo. ^{[ 1 ]}

• Samuel Eilenberg, Norman Steenrod (1952). Fundamentos de topología algebraica . Princeton University Press.
• Schröder, Bernd (2002). Conjuntos ordenados . Birkhäuser Boston.