Subgrupo de ajuste

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el subgrupo de Fitting F de un grupo finito G , llamado así en honor a Hans Fitting , es el único subgrupo nilpotente normal más grande de G. Intuitivamente, representa el subgrupo más pequeño que "controla" la estructura de G cuando G es resoluble . Cuando G no es resoluble, un papel similar lo desempeña el subgrupo de Fitting generalizado F ^* , que se genera a partir del subgrupo de Fitting y los componentes de G.

Para un grupo arbitrario (no necesariamente finito) G , el subgrupo Fitting se define como el subgrupo generado por los subgrupos normales nilpotentes de G. Para grupos infinitos, el subgrupo Fitting no siempre es nilpotente.

El resto de este artículo trata exclusivamente de grupos finitos .

La nilpotencia del subgrupo de Fitting de un grupo finito está garantizada por el teorema de Fitting , que establece que el producto de una colección finita de subgrupos nilpotentes normales de G es también un subgrupo nilpotente normal. También puede construirse explícitamente como el producto de los p-núcleos de G sobre todos los primos p que dividen el orden de G.

Si G es un grupo finito resoluble no trivial, entonces el subgrupo de Fitting siempre es no trivial; es decir, si G ≠ 1 es finito resoluble, entonces F ( G ) ≠ 1. De manera similar, el subgrupo de Fitting de G / F ( G ) será no trivial si G no es nilpotente, lo que da lugar al concepto de longitud de Fitting . Dado que el subgrupo de Fitting de un grupo finito resoluble contiene su propio centralizador , esto proporciona un método para entender los grupos finitos resolubles como extensiones de grupos nilpotentes mediante grupos de automorfismos fieles de grupos nilpotentes.

En un grupo nilpotente, cada factor principal está centralizado por cada elemento. Relajando un poco la condición y tomando el subgrupo de elementos de un grupo finito general que centralizan cada factor principal, se obtiene simplemente el subgrupo Fitting nuevamente ( Huppert 1967 , Cap. VI, Satz 5.4, p. 686) :

${\displaystyle \operatorname {Ajuste} (G)=\bigcap \{C_{G}(H/K):H/K{\text{ un factor principal de }}G\}.}$

La generalización a grupos p -nilpotentes es similar.

Un componente de un grupo es un subgrupo cuasisimple subnormal . (Un grupo es cuasisimple si es una extensión central perfecta de un grupo simple). La capa E ( G ) o L ( G ) de un grupo es el subgrupo generado por todos los componentes. Cualquier par de componentes de un grupo conmutan, por lo que la capa es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples, y es el subgrupo normal más grande de G con esta estructura. El subgrupo de Fitting generalizado F ^* ( G ) es el subgrupo generado por la capa y el subgrupo de Fitting. La capa conmuta con el subgrupo de Fitting, por lo que el subgrupo de Fitting generalizado es una extensión central de un producto de p -grupos y grupos simples .

La capa es también el subgrupo semisimple normal máximo, donde un grupo se denomina semisimple si es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples.

Esta definición del subgrupo de Fitting generalizado puede justificarse por algunos de sus usos previstos. Consideremos el problema de intentar identificar un subgrupo normal H de G que contenga su propio centralizador y el grupo de Fitting. Si C es el centralizador de H, queremos demostrar que C está contenido en H. Si no, escojamos un subgrupo característico mínimo M/Z(H) de C/Z(H) , donde Z(H) es el centro de H , que es lo mismo que la intersección de C y H. Entonces M / Z ( H ) es un producto de grupos simples o cíclicos, ya que es característicamente simple. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos cíclicos, entonces M debe estar en el subgrupo de Fitting. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos simples no abelianos, entonces el subgrupo derivado de M es un subgrupo semisimple normal que se aplica a M / Z ( H ). Por lo tanto, si H contiene el subgrupo de Fitting y todos los subgrupos semisimples normales, entonces M / Z ( H ) debe ser trivial, por lo que H contiene su propio centralizador. El subgrupo de ajuste generalizado es el subgrupo más pequeño que contiene al subgrupo de ajuste y a todos los subgrupos semisimples normales.

El subgrupo de Fitting generalizado también puede considerarse como un centralizador generalizado de factores principales. Un grupo semisimple no abeliano no puede centralizarse a sí mismo, pero sí actúa sobre sí mismo como automorfismos internos. Se dice que un grupo es cuasi-nilpotente si cada elemento actúa como un automorfismo interno sobre cada factor principal. El subgrupo de Fitting generalizado es el único subgrupo cuasi-nilpotente subnormal más grande, y es igual al conjunto de todos los elementos que actúan como automorfismos internos sobre cada factor principal de todo el grupo ( Huppert y Blackburn 1982 , Capítulo X, Teorema 5.4, pág. 126) .

${\displaystyle \operatorname {Ajuste} ^{*}(G)=\bigcap \{HC_{G}(H/K):H/K{\text{ un factor principal de }}G\}.}$

Aquí un elemento g está en H C _G ( H / K ) si y solo si hay algún h en H tal que para todo x en H , x ^g ≡ x ^h mod K .

Si G es un grupo finito resoluble, entonces el subgrupo Fitting contiene su propio centralizador. El centralizador del subgrupo Fitting es el centro del subgrupo Fitting. En este caso, el subgrupo Fitting generalizado es igual al subgrupo Fitting. De forma más general, si G es un grupo finito, entonces el subgrupo Fitting generalizado contiene su propio centralizador. Esto significa que, en cierto sentido, el subgrupo Fitting generalizado controla G , porque G módulo el centralizador de F ^* ( G ) está contenido en el grupo de automorfismos de F ^* ( G ), y el centralizador de F ^* ( G ) está contenido en F ^* ( G ). En particular, solo hay un número finito de grupos con un subgrupo Fitting generalizado dado.

Los normalizadores de subgrupos p no triviales de un grupo finito se denominan subgrupos p -locales y ejercen un gran control sobre la estructura del grupo (lo que permite lo que se denomina análisis local ). Se dice que un grupo finito es de tipo de característica p si F ^* ( G ) es un subgrupo p para cada subgrupo p -local, ya que cualquier grupo de tipo Lie definido sobre un cuerpo de característica p posee esta propiedad. En la clasificación de grupos simples finitos , esto permite inferir sobre qué cuerpo debería definirse un grupo simple. Cabe señalar que algunos grupos son de tipo de característica p para más de un p .

Si un grupo simple no es de tipo Lie sobre un cuerpo de característica p dada , entonces los subgrupos p -locales suelen tener componentes en el subgrupo de Fitting generalizado, aunque existen muchas excepciones para grupos que tienen rango pequeño, están definidos sobre cuerpos pequeños o son esporádicos. Esto se utiliza para clasificar los grupos simples finitos, porque si un subgrupo p -local tiene una componente conocida, a menudo es posible identificar el grupo completo ( Aschbacher y Seitz 1976 ) .

El análisis de grupos simples finitos mediante la estructura e incrustación de los subgrupos de Fitting generalizados de sus subgrupos máximos fue ideado por Helmut Bender ( Bender 1970 ) y se conoce como el método de Bender . Resulta especialmente eficaz en los casos excepcionales en los que no son aplicables los componentes o los functores de señalización .

• Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Aschbacher, Michael ; Seitz, Gary M. ( 1976), "Sobre grupos con un componente estándar de tipo conocido", Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482
• Bender, Helmut (1970), "Sobre grupos con 2 subgrupos abelianos de Sylow", Mathematische Zeitschrift , 117 : 164– 176, doi : 10.1007/BF01109839 , ISSN 0025-5874 , MR 0288180  
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050  
• Huppert, Bertram ; Blackburn, Norman (1982), Grupos finitos. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  243, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, MR 0650245