subgrupo subnormal

En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo H de un grupo G dado es un subgrupo subnormal de G si existe una cadena finita de subgrupos del grupo, cada uno normal en el siguiente, que comienza en H y termina en G.

En notación,${\displaystyle H}$es${\displaystyle k}$-subnormal en${\displaystyle G}$si hay subgrupos

${\displaystyle H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G}$

de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle H_{i}}$es normal en${\displaystyle H_{i+1}}$para cada${\displaystyle i}$.

Un subgrupo subnormal es un subgrupo que es${\displaystyle k}$-subnormal para algún entero positivo${\displaystyle k}$Algunos datos sobre los subgrupos subnormales:

• Un subgrupo 1-subnormal es un subgrupo normal propio (y viceversa).
• Un grupo finitamente generado es nilpotente si y solo si cada uno de sus subgrupos es subnormal.
• Todo subgrupo cuasinormal y, más generalmente, todo subgrupo conjugado-permutable de un grupo finito es subnormal.
• Todo subgrupo pronormal que también sea subnormal, es normal. En particular, un subgrupo de Sylow es subnormal si y solo si es normal.
• Todo subgrupo 2-subnormal es un subgrupo permutable por conjugación.

La propiedad de subnormalidad es transitiva ; es decir, un subgrupo subnormal de otro subgrupo subnormal es subnormal. La relación de subnormalidad puede definirse como la clausura transitiva de la relación de normalidad.

Si cada subgrupo subnormal de G es normal en G , entonces G se llama un grupo T.

• Subgrupo característico
• núcleo normal
• Cierre normal
• subgrupo ascendente
• subgrupo descendiente
• subgrupo serial

• Robinson, Derek JS (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
• Ballester-Bolinches, Adolfo; Esteban-Romero, Ramón; Asaad, Mohamed (2010), Productos de grupos finitos , Walter de Gruyter , ISBN 978-3-11-022061-2