Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo relaciona el concepto de derivar una función ( calcular sus pendientes o la tasa de cambio en cada punto de su dominio) con el concepto de integrar una función (calcular el área bajo su gráfica o el efecto acumulativo de pequeñas contribuciones). En términos generales, ambas operaciones pueden considerarse inversas entre sí.

La primera parte del teorema, el primer teorema fundamental del cálculo , establece que para una función continua f , se puede obtener una antiderivada o integral indefinida F como la integral de f sobre un intervalo con un límite superior variable. ^{[ 1 ]}

Por el contrario, la segunda parte del teorema, el segundo teorema fundamental del cálculo , establece que la integral de una función f sobre un intervalo fijo es igual a la variación de cualquier antiderivada F entre los extremos del intervalo. Esto simplifica enormemente el cálculo de una integral definida, siempre que se pueda hallar una antiderivada mediante integración simbólica , evitando así la integración numérica .

El teorema fundamental del cálculo relaciona la diferenciación y la integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas . Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconocía esta relación. Los matemáticos de la antigua Grecia sabían calcular áreas mediante infinitesimales , una operación que hoy llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación también son anteriores al teorema fundamental del cálculo por cientos de años; por ejemplo, en el siglo XIV, los Calculadores de Oxford y otros eruditos estudiaron las nociones de continuidad de funciones y movimiento . La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no reside en la capacidad de calcular estas operaciones, sino en la constatación de que las dos operaciones aparentemente distintas (cálculo de áreas geométricas y cálculo de gradientes) están, en realidad, estrechamente relacionadas.

El cálculo como teoría unificada de integración y diferenciación partió de la conjetura y la demostración del teorema fundamental del cálculo. La primera formulación y demostración publicada de una forma rudimentaria del teorema fundamental, de marcado carácter geométrico, ^{[ 2 ]} fue realizada por James Gregory (1638–1675). ^{[ 3 ] [ 4 ]} Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema, ^{[ 5 ]} mientras que su alumno Isaac Newton (1642–1727) completó el desarrollo de la teoría matemática circundante. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo para cantidades infinitesimales e introdujo la notación que se utiliza hoy en día.

El primer teorema fundamental puede interpretarse de la siguiente manera. Dada una función continua${\displaystyle y=f(x)}$cuya gráfica se representa como una curva, se define una "función de área" correspondiente.${\displaystyle x\mapsto A(x)}$De tal manera que A ( x ) es el área bajo la curva entre 0 y x . El área A ( x ) puede no ser fácilmente calculable, pero se supone que está bien definida.

El área bajo la curva entre x y x + h se puede calcular hallando el área entre 0 y x + h , y luego restando el área entre 0 y x . En otras palabras, el área de esta "franja" sería A ( x + h ) − A ( x ) .

Existe otra forma de estimar el área de esta misma franja. Como se muestra en la figura adjunta, h se multiplica por f ( x ) para hallar el área de un rectángulo que tiene aproximadamente el mismo tamaño que esta franja. Por lo tanto: $${\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h}$$

Dividiendo por h en ambos lados, obtenemos: $${\displaystyle {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\approx f(x)}$$

Esta estimación se convierte en una igualdad perfecta cuando h tiende a 0: $${\displaystyle f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ A'(x).}$$Es decir, la derivada de la función de área A ( x ) existe y es igual a la función original f ( x ) , por lo que la función de área es una antiderivada de la función original.

Así, la derivada de la integral de una función (el área) es la función original, de modo que la derivada y la integral son operaciones inversas que se revierten mutuamente. Esta es la esencia del Teorema Fundamental.

Intuitivamente, el teorema fundamental establece que la integración y la diferenciación son operaciones inversas que se invierten una respecto a la otra.

El segundo teorema fundamental dice que la suma de cambios infinitesimales en una cantidad (la integral de la derivada de la cantidad) suma el cambio neto en la cantidad. Para visualizar esto, imagina que viajas en un automóvil y quieres saber la distancia recorrida (el cambio neto de posición a lo largo de la carretera). Puedes ver la velocidad en el velocímetro, pero no puedes mirar hacia afuera para ver tu ubicación. Cada segundo, puedes calcular la distancia que ha recorrido el automóvil usando distancia = velocidad × tiempo , es decir, multiplicando la velocidad actual (en kilómetros o millas por hora) por el intervalo de tiempo (1 segundo =${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$hora). Sumando todos estos pequeños pasos, puedes calcular aproximadamente la distancia total recorrida, a pesar de no mirar fuera del coche:$${\displaystyle {\text{distancia recorrida}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{velocidad en}}\\{\text{cada}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{intervalo de tiempo}}\\{\text{}}\end{array}}\right)=\sum v_{t}\times \Delta t.}$$Como${\displaystyle \Delta t}$Cuando se vuelve infinitesimalmente pequeño, la suma corresponde a la integración . Por lo tanto, la integral de la función de velocidad (la derivada de la posición) calcula la distancia que ha recorrido el coche (el cambio neto de posición).

El primer teorema fundamental establece que el valor de cualquier función es la tasa de cambio (la derivada) de su integral desde un punto de partida fijo hasta cualquier punto final elegido. Siguiendo con el ejemplo anterior, usando la velocidad como función, se puede integrar desde el tiempo inicial hasta cualquier tiempo dado para obtener una función de distancia cuya derivada es esa velocidad. (Para obtener la posición en el marcador de la carretera, habría que sumar la posición inicial a esta integral y tener en cuenta si el desplazamiento se realizó en la dirección de los marcadores de milla crecientes o decrecientes).

El teorema consta de dos partes. La primera trata sobre la derivada de una antiderivada , mientras que la segunda aborda la relación entre antiderivadas e integrales definidas . La terminología sobre este tema no está completamente estandarizada. Para mayor comodidad, este artículo utiliza una de las convenciones más comunes. Las convenciones adoptadas en otras fuentes se analizan más adelante .

Corolario

El teorema fundamental se emplea a menudo para calcular la integral definida de una función.${\displaystyle f}$para el cual un antiderivado${\displaystyle F}$se sabe. Específicamente, si${\displaystyle f}$es una función continua de valor real en${\displaystyle [a,b]}$y${\displaystyle F}$es un antiderivado de${\displaystyle f}$en${\displaystyle [a,b]}$, entonces $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$$

El corolario presupone continuidad en todo el intervalo. Este resultado se refuerza ligeramente en la siguiente parte del teorema.

Para una función f dada , definimos la función F ( x ) como $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Para cualesquiera dos números x ₁ y x ₁ + Δ x en [ a , b ] , tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$$ Esta última igualdad resulta de las propiedades básicas de las integrales y la aditividad de las áreas.

Según el teorema del valor medio para la integración , existe un número real${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}$de tal manera que $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.}$$

Resulta que $${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,}$$ y por lo tanto que $${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$$

Tomando el límite como${\displaystyle \Delta x\to 0,}$y teniendo en cuenta que${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],}$uno consigue $${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),}$$ eso es, $${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}),}$$ según la definición de la derivada, la continuidad de f y el teorema de compresión . ^{[ 8 ]}

Supongamos que F es una antiderivada de f , con f continua en [ a , b ] . Sea $${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Por la primera parte del teorema, sabemos que G también es una antiderivada de f . Dado que F ′ − G ′ = 0, el teorema del valor medio implica que F − G es una función constante , es decir, existe un número c tal que G ( x ) = F ( x ) + c para todo x en [ a , b ] . Haciendo x = a , tenemos $${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$$ lo que significa c = − F ( a ) . En otras palabras, G ( x ) = F ( x ) − F ( a ) , y así $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$$

Esta es una demostración límite mediante sumas de Riemann .

Para empezar, recordemos el teorema del valor medio . En resumen, si F es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existe algún c en ( a , b ) tal que $${\displaystyle F'(c)(ba)=F(b)-F(a).}$$

Sea f integrable (de Riemann) en el intervalo [ a , b ] , y sea f admitida una antiderivada F en ( a , b ) tal que F es continua en [ a , b ] . Comencemos con la cantidad F ( b ) − F ( a ) . Sean números x ₀ , ..., x _n tales que $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$$

Resulta que $${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).}$$

Ahora, sumamos cada F ( x _i ) junto con su inverso aditivo, de modo que la cantidad resultante sea igual: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$$

La cantidad anterior se puede escribir como la siguiente suma:

La función F es diferenciable en el intervalo ( a , b ) y continua en el intervalo cerrado [ a , b ] ; por _lo tanto, también es diferenciable en cada intervalo ( xi _{- 1} , xi ) y continua en cada intervalo [ xi _{- 1} , xi ] . Según el teorema del valor medio (arriba), para cada _i existe un${\displaystyle c_{i}}$en ( x _{i −1} , x _i ) tal que $${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$$

Sustituyendo lo anterior en ( 1' ), obtenemos $${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$$

La suposición implica${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$También,${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$puede expresarse como${\displaystyle \Delta x}$de partición${\displaystyle i}$.

Estamos describiendo el área de un rectángulo, con el ancho por la altura, y estamos sumando las áreas. Cada rectángulo, en virtud del teorema del valor medio , describe una aproximación de la sección de la curva sobre la que se dibuja.${\displaystyle \Delta x_{i}}$No es necesario que sea igual para todos los valores de i , o dicho de otro modo, el ancho de los rectángulos puede variar. Lo que debemos hacer es aproximar la curva con n rectángulos. Ahora, a medida que el tamaño de las particiones disminuye y n aumenta, lo que resulta en más particiones para cubrir el espacio, nos acercamos cada vez más al área real de la curva.

Al tomar el límite de la expresión cuando la norma de las particiones tiende a cero, obtenemos la integral de Riemann . Sabemos que este límite existe porque se asumió que f era integrable. Es decir, tomamos el límite cuando la mayor de las particiones tiende a cero, de modo que todas las demás particiones son más pequeñas y el número de particiones tiende a infinito.

Entonces, tomamos el límite en ambos lados de ( 2' ). Esto nos da $${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

Ni F ( b ) ni F ( a ) dependen de${\displaystyle \|\Delta x_{i}\|}$, por lo que el límite del lado izquierdo sigue siendo F ( b ) − F ( a ) . $${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

La expresión del lado derecho de la ecuación define la integral sobre f desde a hasta b . Por lo tanto, obtenemos $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$$ con lo cual se completa la demostración.

Como se mencionó anteriormente, de la primera parte se deriva una versión ligeramente más débil de la segunda.

De manera similar, casi parece que la primera parte del teorema se deriva directamente de la segunda. Es decir, supongamos que G es una antiderivada de f . Entonces, por el segundo teorema,${\textstyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$Ahora, supongamos que...${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=G(x)-G(a)}$Entonces F tiene la misma derivada que G , y por lo tanto F ′ = f . Sin embargo, este argumento solo funciona si ya sabemos que f tiene una antiderivada, y la única forma en que sabemos que todas las funciones continuas tienen antiderivadas es mediante la primera parte del Teorema Fundamental. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, si f ( x ) = e ^{− x 2} , entonces f tiene una antiderivada, a saber: $${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$$ y no existe una expresión más simple para esta función. Por lo tanto, es importante no interpretar la segunda parte del teorema como la definición de la integral. De hecho, hay muchas funciones que son integrables pero carecen de antiderivadas elementales , y las funciones discontinuas pueden ser integrables pero carecer de antiderivadas. Por el contrario, muchas funciones que tienen antiderivadas no son integrables de Riemann (véase la función de Volterra ).

La literatura matemática no es completamente consistente en cuanto a qué resultado debe llamarse el primer teorema fundamental del cálculo y cuál debe llamarse el segundo. En este artículo, el primer teorema fundamental es que, si se da una función continua${\displaystyle f}$y define una nueva función por${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$, entonces${\displaystyle F'(x)=f(x)}$La serie de cálculo de Apostol utiliza esta terminología, ^{[ 10 ]} y de manera similar, Strang et al. la denominan "parte 1" del teorema fundamental del cálculo. ^{[ 11 ]} Otros textos también llaman a este resultado el primer teorema fundamental o la primera parte del teorema fundamental. ^{[ 12 ]}

Por otro lado, Larson y Edwards adoptan una convención diferente, en la que "el teorema fundamental" es que la integral definida es el cambio de la antiderivada,$${\displaystyle F(x)-F(c)=\int _{c}^{x}f(t)\,dt\,}$$para una función continua${\displaystyle f}$Es decir, el «corolario» de este artículo se denomina «teorema fundamental», mientras que el «segundo teorema fundamental» es lo que Apostol llama el primero. ^{[ 13 ]} Otros libros de texto también llaman al «segundo teorema fundamental» de este artículo, o a una forma más débil del mismo que presupone continuidad, el primero. ^{[ 14 ]}

El libro de Salas y Hille, Cálculo: Una y varias variables (1971), afirma que la última expresión en el caso especial de continuo${\displaystyle f}$(el "corolario" de este artículo) es "el teorema fundamental del cálculo integral", mientras que la "primera parte" de este artículo es simplemente el Teorema 4.3.2 sin nombre. ^{[ 15 ]} De manera similar, otros trabajos llaman a la "segunda parte" de este artículo el teorema fundamental, dejando la otra parte sin nombre. ^{[ 16 ]}

La Historia del Cálculo de Boyer explica primero "lo que comúnmente se conoce como el teorema fundamental del cálculo": que si${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$, entonces${\displaystyle F'(x)=f(x)}$Para Boyer, nuestra "primera parte" es "el teorema fundamental". Luego, Boyer escribe que la diferencia de las antiderivadas${\displaystyle F(b)-F(a)}$"se toma ocasionalmente como la definición" de la integral${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$. Y en ese caso,$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}}$$es "el teorema fundamental". ^{[ 17 ]}

La función f no tiene por qué ser continua en todo el intervalo. La primera parte del teorema dice entonces: si _f es cualquier función integrable de Lebesgue en [ a , b ] y x₀ es un número en [ a , b ] tal que f es continua en x₀ _, entonces $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$$

es diferenciable para x = x ₀ con F ′( x ₀ ) = f ( x ₀ ) . Podemos relajar aún más las condiciones sobre f y suponer que es meramente integrable localmente. En ese caso, podemos concluir que la función F es diferenciable casi en todas partes y F ′( x ) = f ( x ) casi en todas partes. En la recta real, esta afirmación es equivalente al teorema de diferenciación de Lebesgue . Estos resultados siguen siendo válidos para la integral de Henstock-Kurzweil , que permite una clase más amplia de funciones integrables. ^{[ 18 ]}

En dimensiones superiores, el teorema de diferenciación de Lebesgue generaliza el Teorema Fundamental del cálculo al afirmar que para casi todo x , el valor promedio de una función f sobre una bola de radio r centrada en x tiende a f ( x ) cuando r tiende a 0.

La parte II del teorema es verdadera para cualquier función integrable de Lebesgue f , que tenga una antiderivada F (aunque no todas las funciones integrables la tienen). En otras palabras, si una función real F en [ a , b ] admite una derivada f ( x ) en cada punto x de [ a , b ] y si esta derivada f es integrable de Lebesgue en [ a , b ] , entonces ^{[ 19 ]}$${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$$

Este resultado puede fallar para funciones continuas F que admiten una derivada f ( x ) en casi todos los puntos x , como muestra el ejemplo de la función de Cantor . Sin embargo, si F es absolutamente continua , admite una derivada F′ ( x ) en casi todos los puntos x , y además F′ es integrable, con F ( b ) − F ( a ) igual a la integral de F′ en [ a , b ] . Recíprocamente, si f es cualquier función integrable, entonces F, como se da en la primera fórmula, será absolutamente continua con F′ = f casi en todas partes.

Las condiciones de este teorema pueden relajarse nuevamente al considerar las integrales involucradas como integrales de Henstock-Kurzweil . Específicamente, si una función continua F ( x ) admite una derivada f ( x ) en todos los puntos excepto en una cantidad numerable de puntos, entonces f ( x ) es integrable en el sentido de Henstock-Kurzweil y F ( b ) − F ( a ) es igual a la integral de f en [ a , b ] . La diferencia aquí es que no es necesario asumir la integrabilidad de f . ^{[ 20 ]}

La versión del teorema de Taylor que expresa el término de error como una integral puede considerarse una generalización del teorema fundamental.

Existe una versión del teorema para funciones complejas : supongamos que U es un conjunto abierto en C y f  : U → C es una función que tiene una antiderivada holomorfa F en U. Entonces, para cada curva γ  : [ a , b ] → U , la integral de curva se puede calcular como $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$$

El teorema fundamental puede generalizarse a integrales de curvas y superficies en dimensiones superiores y en variedades . Una de estas generalizaciones, ofrecida por el cálculo de superficies móviles, es la evolución temporal de las integrales . Las extensiones más conocidas del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores son el teorema de la divergencia y el teorema del gradiente .

Una de las generalizaciones más poderosas en esta dirección es el teorema generalizado de Stokes (a veces conocido como el teorema fundamental del cálculo multivariable): ^{[ 21 ]} Sea M una variedad orientada suave por partes de dimensión n y sea${\displaystyle \omega }$Sea una forma ( n − 1) suave y compactamente soportada en M. Si ∂M denota el límite de M dada su orientación inducida , entonces $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

Aquí d es la derivada exterior , que se define utilizando únicamente la estructura de la variedad.

El teorema se usa a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada incrustada de alguna variedad mayor (por ejemplo R ^k ) en la que la forma${\displaystyle \omega }$está definido.

El teorema fundamental del cálculo nos permite plantear una integral definida como una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ puede plantearse como $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$$ con${\displaystyle y(b)}$como el valor de la integral.

• Derivación bajo el signo integral
• Serie telescópica
• Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
• Notación para la diferenciación

• "Teorema fundamental del cálculo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Demostración euclidiana de James Gregory del teorema fundamental del cálculo en convergencia.
• La demostración del Teorema Fundamental del Cálculo de Isaac Barrow
• Teorema fundamental del cálculo en imomath.com
• Demostración alternativa del teorema fundamental del cálculo.
• Teorema fundamental del cálculo MIT .
• Teorema Fundamental del Cálculo Mathworld .