Teorema del valor final

Supongamos que cada polo de${\displaystyle F(s)}$está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen, y que${\displaystyle F(s)}$tiene como máximo un solo polo en el origen. Entonces${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}sF(s).}$^{[ 5 ]}

Supongamos que${\displaystyle f(t)}$y${\displaystyle f'(t)}$ambos tienen transformadas de Laplace que existen para todos${\displaystyle s>0.}$Si${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$existe y${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$entonces existe${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$^{[ 3 ] : Teorema 2.36 [ 4 ] : 20 [ 6 ]}

Observación

Ambos límites deben existir para que el teorema sea válido. Por ejemplo, si${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$entonces${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$no existe, pero ^{[ 3 ] : Ejemplo 2.37 [ 4 ] : 20}$${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0.}$$

Supongamos que${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$es acotada y diferenciable, y que ${\displaystyle tf'(t)}$también está delimitado por${\displaystyle (0,\infty )}$. Si${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {C} }$como${\displaystyle s\to 0}$entonces${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$^{[ 7 ]}

Supongamos que${\displaystyle F}$es una función racional propia y que cada polo de${\displaystyle F}$está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen. Entonces ocurre una de las siguientes situaciones:

1. ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {R} }$como${\displaystyle s\downarrow 0,}$y${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$
2. ${\displaystyle sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R} }$como${\displaystyle s\downarrow 0,}$y${\displaystyle f(t)\to +\infty }$como${\displaystyle t\to \infty .}$
3. ${\displaystyle sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R} }$como${\displaystyle s\downarrow 0,}$y${\displaystyle f(t)\to -\infty }$como${\displaystyle t\to \infty .}$

En particular, si${\displaystyle s=0}$es un polo múltiple de${\displaystyle F(s)}$Entonces se aplica el caso 2 o 3.${\displaystyle (f(t)\to +\infty {\text{ o }}f(t)\to -\infty ).}$^{[ 5 ]}

Supongamos que${\displaystyle f(t)}$es transformable de Laplace.${\displaystyle \lambda >-1}$. Si${\textstyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}}$existe y${\textstyle \lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}}$entonces existe

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)},}$

dónde${\displaystyle \Gamma (x)}$denota la función Gamma . ^{[ 5 ]}

Teoremas del valor final para obtener${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$tienen aplicaciones en el establecimiento de la estabilidad a largo plazo de un sistema .

Supongamos que${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$es limitado y mensurable y${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\alpha \in \mathbb {C} .}$Entonces${\displaystyle F(s)}$existe para todos${\displaystyle s>0}$y${\displaystyle \lim _{s\,\downarrow \,0}{sF(s)}=\alpha .}$^{[ 7 ]}

Demostración elemental ^{[ 7 ]}

Supongamos, por conveniencia, que${\displaystyle |f(t)|\leq 1}$en${\displaystyle (0,\infty ),}$y dejar${\displaystyle \alpha =\lim _{t\to \infty }f(t)}$. Dejar${\displaystyle \epsilon >0,}$y elegir${\displaystyle A}$de modo que${\displaystyle |f(t)-\alpha |<\epsilon }$a pesar de${\displaystyle t>A.}$Desde $${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=1,}$$ por cada${\displaystyle s>0}$tenemos

${\displaystyle sF(s)-\alpha =s\int _{0}^{\infty }(f(t)-\alpha )e^{-st}\,\mathrm {d} t;}$

por eso

${\displaystyle |sF(s)-\alpha |\leq s\int _{0}^{A}|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t+s\int _{A}^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,\mathrm {d} t+\epsilon s\int _{A}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t\equiv I+II.}$

Ahora por cada${\displaystyle s>0}$tenemos

${\displaystyle II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=\epsilon .}$

Por otro lado, dado que${\displaystyle A<\infty }$está arreglado está claro que${\displaystyle \lim _{s\to 0}I=0}$, y entonces${\displaystyle |sF(s)-\alpha |<\epsilon }$si${\displaystyle s>0}$es lo suficientemente pequeño.

Supongamos que se cumplen todas las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$es continuamente diferenciable y ambos${\displaystyle f}$y${\displaystyle f'}$tener una transformada de Laplace
2. ${\displaystyle f'}$es absolutamente integrable, es decir,${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f'(\tau )|\,\mathrm {d} \tau }$es finito
3. ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$existe y es finito

Entonces ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=\lim _{t\to \infty }f(t).}$$

Observación

La demostración utiliza el teorema de convergencia dominada . ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$sea ​​una función continua y acotada tal que exista el siguiente límite.

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C} }$

Entonces${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0,\,s>0}{sF(s)}=\alpha .}$^{[ 9 ]}

Supongamos que${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$es continuo y absolutamente integrable en${\displaystyle [0,\infty ).}$Supongamos además que${\displaystyle f}$es asintóticamente igual a una suma finita de funciones periódicas${\displaystyle f_{\mathrm {as} },}$eso es

${\displaystyle |f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t),}$

dónde${\displaystyle \phi (t)}$es absolutamente integrable en${\displaystyle [0,\infty )}$y se desvanece en el infinito. Entonces

${\displaystyle \lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^{[ 10 ]}

Dejar${\displaystyle f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R} }$cumplir todas las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle f(t)}$es infinitamente diferenciable en cero
2. ${\displaystyle f^{(k)}(t)}$tiene una transformada de Laplace para todos los enteros no negativos${\displaystyle k}$
3. ${\displaystyle f(t)}$diverge al infinito como${\displaystyle t\to \infty }$

Dejar${\displaystyle F(s)}$sea ​​la transformada de Laplace de${\displaystyle f(t)}$. Entonces${\displaystyle sF(s)}$diverge al infinito como${\displaystyle s\downarrow 0.}$^{[ 11 ]}

Dejar${\displaystyle h:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ser medible y tal que la integral (posiblemente impropia)${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}h(t)\,\mathrm {d} t}$converge para${\displaystyle x\to \infty .}$Entonces $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{s\downarrow 0}\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$$ Esta es una versión del teorema de Abel .

Para ver esto, observe que${\displaystyle f'(t)=h(t)}$y aplicar el teorema del valor final a${\displaystyle f}$después de una integración por partes : Para${\displaystyle s>0,}$

${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]}_{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$

Según el teorema del valor final, el lado izquierdo converge a${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$para${\displaystyle s\to 0.}$

Para establecer la convergencia de la integral impropia${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$En la práctica, la prueba de Dirichlet para integrales impropias suele ser útil. Un ejemplo es la integral de Dirichlet .

Teoremas del valor final para obtener${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$tienen aplicaciones en probabilidad y estadística para calcular los momentos de una variable aleatoria .${\displaystyle R(x)}$sea ​​la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle \rho (s)}$sea ​​la transformada de Laplace-Stieltjes de${\displaystyle R(x).}$Entonces el${\displaystyle n}$-ésimo momento de${\displaystyle X}$se puede calcular como $${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.}$$ La estrategia es escribir $${\displaystyle {\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s),\dots {\bigr )},}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}(\dots )}$es continuo y para cada${\displaystyle k,}$${\displaystyle G_{k}(s)=sF_{k}(s)}$para una función${\displaystyle F_{k}(s).}$Para cada${\displaystyle k,}$poner${\displaystyle f_{k}(t)}$como la transformada inversa de Laplace de${\displaystyle F_{k}(s),}$obtener ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f_{k}(t),}$y aplicar un teorema del valor final para deducir ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{G_{k}(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty }f_{k}(t).}$ Entonces

${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0}G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}(s),\dots {\Bigr )},}$

y por lo tanto${\displaystyle E[X^{n}]}$se obtiene.

Por ejemplo, para un sistema descrito por la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}},}$

la respuesta impulsional converge a

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

Es decir, el sistema vuelve a cero después de ser perturbado por un breve impulso. Sin embargo, la transformada de Laplace de la respuesta al escalón unitario es

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

y así la respuesta al escalón converge a

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

Así, un sistema en estado cero seguirá un aumento exponencial hasta un valor final de 3.

Para un sistema descrito por la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},}$

El teorema del valor final parece predecir que el valor final de la respuesta impulsional es 0 y el de la respuesta escalón es 1. Sin embargo, ninguno de estos límites temporales existe, por lo que las predicciones del teorema del valor final no son válidas. De hecho, tanto la respuesta impulsional como la respuesta escalón oscilan, y (en este caso particular) el teorema del valor final describe los valores promedio alrededor de los cuales oscilan dichas respuestas.

En la teoría de control se realizan dos comprobaciones que confirman la validez de los resultados del teorema del valor final:

1. Todas las raíces no nulas del denominador de${\displaystyle H(s)}$debe tener partes reales negativas.
2. ${\displaystyle H(s)}$No debe tener más de un polo en el origen.

La regla 1 no se cumplió en este ejemplo, ya que las raíces del denominador son${\displaystyle 0+j3}$y${\displaystyle 0-j3.}$

Si${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]}$existe y${\displaystyle \lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$entonces existe${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}.}$^{[ 4 ] : 101}