Diagrama de Feynman

En física teórica , un diagrama de Feynman es una representación gráfica de las expresiones matemáticas que describen el comportamiento y la interacción de partículas subatómicas . El esquema recibe su nombre del físico estadounidense Richard Feynman , quien introdujo los diagramas en 1948. La interacción de partículas subatómicas puede ser compleja y difícil de entender; los diagramas de Feynman brindan una visualización simple de lo que de otro modo sería una fórmula arcana y abstracta. Según David Kaiser , "desde mediados del siglo XX, los físicos teóricos han recurrido cada vez más a esta herramienta para ayudarlos a realizar cálculos críticos. Los diagramas de Feynman han revolucionado casi todos los aspectos de la física teórica". ^[1] Si bien los diagramas se aplican principalmente a la teoría cuántica de campos , también se pueden utilizar en otras áreas de la física, como la teoría del estado sólido . Frank Wilczek escribió que los cálculos que le valieron el Premio Nobel de Física en 2004 "habrían sido literalmente impensables sin los diagramas de Feynman, al igual que los cálculos [de Wilczek] que establecieron una ruta hacia la producción y observación de la partícula de Higgs ". ^[2]

Feynman utilizó la interpretación de Ernst Stueckelberg del positrón como si fuera un electrón moviéndose hacia atrás en el tiempo. ^[3] Así, las antipartículas se representan como moviéndose hacia atrás a lo largo del eje del tiempo en los diagramas de Feynman.

El cálculo de amplitudes de probabilidad en física teórica de partículas requiere el uso de integrales bastante grandes y complicadas sobre un gran número de variables . Los diagramas de Feynman pueden representar estas integrales gráficamente.

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición o función de correlación de una teoría de campo cuántica o estadística. Dentro de la formulación canónica de la teoría cuántica de campos, un diagrama de Feynman representa un término en la expansión de Wick de la matriz S perturbativa . Alternativamente, la formulación de la integral de trayectorias de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final, en términos de partículas o campos. La amplitud de transición se da entonces como el elemento de matriz de la matriz S entre los estados inicial y final del sistema cuántico.

Al calcular las secciones transversales de dispersión en física de partículas , la interacción entre partículas se puede describir partiendo de un campo libre que describe las partículas entrantes y salientes, e incluyendo un hamiltoniano de interacción para describir cómo las partículas se desvían entre sí. La amplitud de dispersión es la suma de cada posible historial de interacción sobre todos los posibles estados intermedios de partículas. El número de veces que actúa el hamiltoniano de interacción es el orden de la expansión de perturbación , y la teoría de perturbación dependiente del tiempo para campos se conoce como la serie de Dyson . Cuando los estados intermedios en tiempos intermedios son estados propios de energía (colecciones de partículas con un momento definido), la serie se denomina teoría de perturbación antigua (o teoría de perturbación dependiente del tiempo/ordenada en el tiempo).

La serie de Dyson se puede reescribir alternativamente como una suma sobre diagramas de Feynman, donde en cada vértice se conservan tanto la energía como el momento , pero donde la longitud del cuatrivector energía-momento no es necesariamente igual a la masa, es decir, las partículas intermedias se denominan off-shell . Los diagramas de Feynman son mucho más fáciles de seguir que los términos "anticuados", porque la forma antigua trata las contribuciones de partículas y antipartículas como separadas. Cada diagrama de Feynman es la suma exponencial de muchos términos antiguos, porque cada línea interna puede representar por separado una partícula o una antipartícula. En una teoría no relativista, no hay antipartículas y no hay duplicación, por lo que cada diagrama de Feynman incluye solo un término.

Feynman dio una receta para calcular la amplitud (las reglas de Feynman, a continuación) para cualquier diagrama dado a partir de un lagrangiano de teoría de campos . Cada línea interna corresponde a un factor del propagador de la partícula virtual ; cada vértice donde se encuentran las líneas da un factor derivado de un término de interacción en el lagrangiano, y las líneas entrantes y salientes llevan una energía, un momento y un espín .

Además de su valor como herramienta matemática, los diagramas de Feynman proporcionan una visión física profunda de la naturaleza de las interacciones entre partículas. Las partículas interactúan de todas las formas posibles; de hecho, se permite que las partículas virtuales intermedias se propaguen más rápido que la luz. La probabilidad de cada estado final se obtiene sumando todas esas posibilidades. Esto está estrechamente relacionado con la formulación integral funcional de la mecánica cuántica , también inventada por Feynman (véase formulación de la integral de trayectorias ) .

La aplicación ingenua de tales cálculos a menudo produce diagramas cuyas amplitudes son infinitas , porque las interacciones de partículas a corta distancia requieren un procedimiento de limitación cuidadoso, que incluya las autointeracciones de partículas . La técnica de renormalización , sugerida por Ernst Stueckelberg y Hans Bethe e implementada por Dyson , Feynman, Schwinger y Tomonaga , compensa este efecto y elimina los problemáticos infinitos. Después de la renormalización, los cálculos que utilizan diagramas de Feynman coinciden con los resultados experimentales con una precisión muy alta.

Los diagramas de Feynman y los métodos de integral de trayectoria también se utilizan en mecánica estadística e incluso pueden aplicarse a la mecánica clásica . ^[4]

Murray Gell-Mann siempre se refirió a los diagramas de Feynman como diagramas de Stueckelberg , en honor a un físico suizo, Ernst Stueckelberg , que ideó una notación similar muchos años antes. Stueckelberg estaba motivado por la necesidad de un formalismo manifiestamente covariante para la teoría cuántica de campos, pero no proporcionó una forma tan automatizada de manejar factores de simetría y bucles, aunque fue el primero en encontrar la interpretación física correcta en términos de trayectorias de partículas hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, todo ello sin la integral de trayectoria. ^[5]

Históricamente, como un dispositivo de contabilidad de la teoría de perturbación covariante, los gráficos se llamaron diagramas de Feynman-Dyson o gráficos de Dyson , ^[6] porque la integral de trayectoria no era familiar cuando se introdujeron, y la derivación de Freeman Dyson de la teoría de perturbación anticuada tomada de las expansiones perturbativas en mecánica estadística era más fácil de seguir para los físicos entrenados en métodos anteriores. ^[a] Feynman tuvo que presionar mucho para los diagramas, lo que confundió a los físicos del establishment entrenados en ecuaciones y gráficos. ^[7]

En sus presentaciones de interacciones fundamentales , ^{[8] [9]} escritas desde la perspectiva de la física de partículas, Gerard 't Hooft y Martinus Veltman dieron buenos argumentos para tomar los diagramas de Feynman originales, no regularizados, como la representación más sucinta de nuestro conocimiento actual sobre la física de la dispersión cuántica de partículas fundamentales . Sus motivaciones son consistentes con las convicciones de James Daniel Bjorken y Sidney Drell : ^[10]

Los gráficos de Feynman y las reglas de cálculo resumen la teoría cuántica de campos en una forma que está en estrecho contacto con los números experimentales que uno quiere entender. Aunque el enunciado de la teoría en términos de gráficos puede implicar una teoría de perturbaciones , el uso de métodos gráficos en el problema de muchos cuerpos muestra que este formalismo es lo suficientemente flexible como para tratar fenómenos de carácter no perturbativo... Algunas modificaciones de las reglas de cálculo de Feynman pueden sobrevivir a la elaborada estructura matemática de la teoría cuántica de campos canónica local...

En las teorías cuánticas de campos, los diagramas de Feynman se obtienen a partir de un lagrangiano mediante las reglas de Feynman.

La regularización dimensional es un método para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman; les asigna valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo auxiliar d , llamado dimensión. La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral que depende de la dimensión del espacio-tiempo d y de los puntos del espacio-tiempo.

Un diagrama de Feynman es una representación de los procesos de la teoría cuántica de campos en términos de interacciones entre partículas . Las partículas están representadas por las líneas del diagrama, que pueden ser onduladas o rectas, con una flecha o sin ella, dependiendo del tipo de partícula. Un punto donde las líneas se conectan con otras líneas es un vértice , y es aquí donde las partículas se encuentran e interactúan: emitiendo o absorbiendo nuevas partículas, desviándose unas a otras o cambiando de tipo.

Hay tres tipos diferentes de líneas: las líneas internas conectan dos vértices, las líneas entrantes se extienden desde "el pasado" hasta un vértice y representan un estado inicial, y las líneas salientes se extienden desde un vértice hasta "el futuro" y representan el estado final (las dos últimas también se conocen como líneas externas ). Tradicionalmente, la parte inferior del diagrama es el pasado y la parte superior el futuro; otras veces, el pasado está a la izquierda y el futuro a la derecha. Al calcular funciones de correlación en lugar de amplitudes de dispersión , no hay pasado ni futuro y todas las líneas son internas. Las partículas comienzan y terminan en pequeñas x, que representan las posiciones de los operadores cuya correlación se está calculando.

Los diagramas de Feynman son una representación gráfica de la contribución a la amplitud total de un proceso que puede ocurrir de varias maneras diferentes. Cuando un grupo de partículas entrantes se dispersan entre sí, el proceso puede considerarse como uno en el que las partículas recorren todos los caminos posibles, incluidos los que van hacia atrás en el tiempo.

Los diagramas de Feynman suelen confundirse con los diagramas de espacio-tiempo y las imágenes de cámara de burbujas porque todos ellos describen la dispersión de partículas. Los diagramas de Feynman son gráficos que representan la interacción de partículas en lugar de la posición física de la partícula durante un proceso de dispersión. A diferencia de una imagen de cámara de burbujas, solo la suma de todos los diagramas de Feynman representa cualquier interacción de partículas dada; las partículas no eligen un diagrama particular cada vez que interactúan. La ley de la suma está de acuerdo con el principio de superposición : cada diagrama contribuye a la amplitud total del proceso.

Un diagrama de Feynman representa una contribución perturbativa a la amplitud de una transición cuántica desde un estado cuántico inicial a un estado cuántico final.

Por ejemplo, en el proceso de aniquilación electrón-positrón, el estado inicial es un electrón y un positrón, el estado final: dos fotones.

A menudo se supone que el estado inicial está a la izquierda del diagrama y el estado final a la derecha (aunque también se utilizan con bastante frecuencia otras convenciones).

Un diagrama de Feynman consta de puntos, llamados vértices, y líneas unidas a los vértices.

Las partículas en el estado inicial se representan mediante líneas que sobresalen en la dirección del estado inicial (por ejemplo, hacia la izquierda), las partículas en el estado final se representan mediante líneas que sobresalen en la dirección del estado final (por ejemplo, hacia la derecha).

En la electrodinámica cuántica existen dos tipos de partículas: partículas materiales como los electrones o positrones (llamadas fermiones ) y partículas de intercambio (llamadas bosones de gauge ). Se representan en los diagramas de Feynman de la siguiente manera:

1. El electrón en el estado inicial se representa mediante una línea sólida, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo, apuntando hacia el vértice (→•).
2. El electrón en el estado final se representa mediante una línea, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo, apuntando lejos del vértice: (•→).
3. El positrón en el estado inicial está representado por una línea sólida, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo, apuntando lejos del vértice: (←•).
4. El positrón en el estado final se representa mediante una línea, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo apuntando hacia el vértice: (•←).
5. El fotón virtual en el estado inicial y final está representado por una línea ondulada ( ~• y •~ ).

En QED, un vértice siempre tiene tres líneas unidas a él: una línea bosónica, una línea fermiónica con una flecha hacia el vértice y una línea fermiónica con una flecha que se aleja del vértice.

Los vértices pueden estar conectados por un propagador bosónico o fermiónico . Un propagador bosónico se representa por una línea ondulada que conecta dos vértices (•~•). Un propagador fermiónico se representa por una línea sólida (con una flecha en una u otra dirección) que conecta dos vértices (•←•).

El número de vértices da el orden del término en la expansión de la serie de perturbaciones de la amplitud de transición.

La interacción de aniquilación electrón-positrón :

y ⁺ + y ⁻ → 2γ

tiene una contribución del diagrama de Feynman de segundo orden que se muestra adyacente:

En el estado inicial (en la parte inferior; tiempo temprano) hay un electrón (e ⁻ ) y un positrón (e ⁺ ) y en el estado final (en la parte superior; tiempo tardío) hay dos fotones (γ).

La amplitud de probabilidad para una transición de un sistema cuántico (entre estados asintóticamente libres) desde el estado inicial |i⟩ al estado final |f ⟩ está dada por el elemento de la matriz

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,}$

donde S es la matriz S. En términos del operador de evolución temporal U , es simplemente

${\displaystyle S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\;.}$

En la imagen de interacción , esto se expande a

${\displaystyle S={\mathcal {T}}e^{-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )}.}$

donde H _V es el hamiltoniano de interacción y T significa el producto ordenado en el tiempo de los operadores. La fórmula de Dyson expande la exponencial matricial ordenada en el tiempo en una serie de perturbaciones en las potencias de la densidad del hamiltoniano de interacción,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}$

De manera equivalente, con la interacción lagrangiana L _V , es

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.}$

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de un único sumando en la expansión de Wick del producto ordenado en el tiempo en el término de orden n S ^{( n )} de la serie de Dyson de la matriz S ,

${\displaystyle {\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,}$

donde N significa el producto ordenado normal de los operadores y (±) se encarga del posible cambio de signo al conmutar los operadores fermiónicos para unirlos para una contracción (un propagador ) y A representa todas las contracciones posibles.

Los diagramas se dibujan según las reglas de Feynman, que dependen del lagrangiano de interacción. Para el lagrangiano de interacción QED

${\displaystyle L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

Al describir la interacción de un campo fermiónico ψ con un campo de calibre bosónico A _μ , las reglas de Feynman se pueden formular en el espacio de coordenadas de la siguiente manera:

1. Cada coordenada de integración x _j está representada por un punto (a veces llamado vértice);
2. Un propagador bosónico está representado por una línea ondulada que conecta dos puntos;
3. Un propagador fermiónico está representado por una línea sólida que conecta dos puntos;
4. Un campo bosónico está representado por una línea ondulada unida al punto x _i ;${\displaystyle A_{\mu }(x_{i})}$
5. Un campo fermiónico ψ ( x _i ) se representa mediante una línea sólida unida al punto x _i con una flecha hacia el punto;
6. Un campo antifermiónico ψ ( x _i ) se representa mediante una línea sólida unida al punto x _i con una flecha que se aleja del punto;

El término de perturbación de segundo orden en la matriz S es

${\displaystyle S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;}$

La expansión de Wick del integrando da (entre otros) el siguiente término

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,}$

dónde

${\displaystyle {\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}}$

es la contracción electromagnética (propagadora) en el calibre de Feynman. Este término está representado por el diagrama de Feynman de la derecha. Este diagrama proporciona contribuciones a los siguientes procesos:

1. e ⁻ e ⁻ dispersión (estado inicial a la derecha, estado final a la izquierda del diagrama);
2. e ⁺ e ⁺ dispersión (estado inicial a la izquierda, estado final a la derecha del diagrama);
3. e ⁻ e ⁺ dispersión (estado inicial en la parte inferior/superior, estado final en la parte superior/inferior del diagrama).

Otro término interesante en la expansión es

${\displaystyle N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,}$

dónde

${\displaystyle {\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}}$

es la contracción fermiónica (propagadora).

En una integral de trayectoria , el lagrangiano de campo, integrado sobre todas las historias de campo posibles, define la amplitud de probabilidad para pasar de una configuración de campo a otra. Para que tenga sentido, la teoría de campo debe tener un estado fundamental bien definido , y la integral debe realizarse un poco rotada en tiempo imaginario, es decir, una rotación de Wick . El formalismo de la integral de trayectoria es completamente equivalente al formalismo del operador canónico anterior.

Un ejemplo sencillo es el campo escalar relativista libre en d dimensiones, cuya integral de acción es:

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.}$

La amplitud de probabilidad de un proceso es:

${\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,}$

donde A y B son hipersuperficies espaciales que definen las condiciones de contorno. La colección de todos los φ ( A ) en la hipersuperficie inicial da el valor inicial del campo, análogo a la posición inicial para una partícula puntual, y los valores de campo φ ( B ) en cada punto de la hipersuperficie final definen el valor de campo final, que se permite que varíe, dando una amplitud diferente para terminar en valores diferentes. Esta es la amplitud de transición de campo a campo.

La integral de trayectoria proporciona el valor esperado de los operadores entre el estado inicial y final:

${\displaystyle \int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,}$

y en el límite en que A y B retroceden hacia el pasado infinito y el futuro infinito, la única contribución que importa es la del estado fundamental (esto solo es rigurosamente cierto si la integral de trayectoria se define ligeramente rotada hacia un tiempo imaginario). La integral de trayectoria puede considerarse análoga a una distribución de probabilidad, y es conveniente definirla de modo que multiplicarla por una constante no cambie nada:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.}$

El factor de normalización en la parte inferior se llama función de partición del campo y coincide con la función de partición mecánica estadística a temperatura cero cuando se gira en tiempo imaginario.

Las amplitudes iniciales y finales están mal definidas si se piensa en el límite continuo desde el principio, porque las fluctuaciones en el campo pueden volverse ilimitadas. Por lo tanto, la integral de trayectoria puede considerarse como una red cuadrada discreta, con un espaciamiento de red a y el límite a → 0 debe tomarse con cuidado ^{[ aclaración necesaria ]} . Si los resultados finales no dependen de la forma de la red o del valor de a , entonces existe el límite continuo.

En una red, (i), el campo se puede expandir en modos de Fourier :

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.}$

Aquí el dominio de integración está restringido sobre k a un cubo de longitud de lado ⁠2π/a⁠ , por lo que no se permiten valores grandes de k . Es importante tener en cuenta que la medida k contiene los factores de 2 π de las transformadas de Fourier , esta es la mejor convención estándar para las integrales k en QFT. La red significa que no se permite que las fluctuaciones en valores grandes de k contribuyan de inmediato, solo comienzan a contribuir en el límite a → 0 . A veces, en lugar de una red, los modos de campo simplemente se cortan en valores altos de k .

También es conveniente, de vez en cuando, considerar que el volumen del espacio-tiempo es finito, de modo que los modos k también son una red. Esto no es estrictamente tan necesario como el límite de red-espacio, porque las interacciones en k no están localizadas, pero es conveniente para hacer un seguimiento de los factores que se encuentran frente a las k -integrales y las funciones delta que conservan el momento que surgirán.

En una red, (ii), la acción debe discretizarse:

${\displaystyle S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,}$

donde ⟨ x , y ⟩ es un par de vecinos reticulares más cercanos x e y . La discretización debe considerarse como la definición de lo que significa la derivada ∂ _μ φ .

En términos de los modos reticulares de Fourier, la acción se puede escribir:

${\displaystyle S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.}$

Para k cerca de cero esto es:

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.}$

Ahora tenemos la transformada de Fourier continua de la acción original. En un volumen finito, la cantidad d ^d k no es infinitesimal, sino que se convierte en el volumen de una caja formada por modos de Fourier vecinos, o ( ⁠2π/V⁠ )^d
 .

El campo φ es de valor real, por lo que la transformada de Fourier obedece:

${\displaystyle \phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.}$

En términos de partes reales e imaginarias, la parte real de φ ( k ) es una función par de k , mientras que la parte imaginaria es impar. La transformada de Fourier evita el doble conteo, por lo que se puede escribir:

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)}$

sobre un dominio de integración que integra sobre cada par ( k ,− k ) exactamente una vez.

Para un campo escalar complejo con acción

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x}$

La transformada de Fourier no tiene restricciones:

${\displaystyle S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}}$

y la integral es sobre todo k .

Integrar sobre todos los valores diferentes de φ ( x ) es equivalente a integrar sobre todos los modos de Fourier, porque tomar una transformada de Fourier es una transformación lineal unitaria de coordenadas de campo. Cuando cambias las coordenadas en una integral multidimensional mediante una transformación lineal, el valor de la nueva integral viene dado por el determinante de la matriz de transformación. Si

${\displaystyle y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,}$

entonces

${\displaystyle \det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.}$

Si A es una rotación, entonces

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A=I}$

de modo que det A = ±1 , y el signo depende de si la rotación incluye una reflexión o no.

La matriz que cambia las coordenadas de φ ( x ) a φ ( k ) se puede leer a partir de la definición de una transformada de Fourier.

${\displaystyle A_{kx}=e^{ikx}\,}$

y el teorema de inversión de Fourier te dice lo inverso:

${\displaystyle A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,}$

que es la conjugada-transpuesta compleja, hasta factores de 2 π . En una red de volumen finito, el determinante es distinto de cero e independiente de los valores del campo.

${\displaystyle \det A=1\,}$

y la integral de trayectoria es un factor separado en cada valor de k .

${\displaystyle \int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,}$

El factor d ^d k es el volumen infinitesimal de una celda discreta en el espacio k , en una caja reticular cuadrada

${\displaystyle d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,}$

donde L es la longitud del lado de la caja. Cada factor independiente es una gaussiana oscilatoria y el ancho de la gaussiana diverge a medida que el volumen tiende al infinito.

En tiempo imaginario, la acción euclidiana se vuelve definida positiva y puede interpretarse como una distribución de probabilidad. La probabilidad de que un campo tenga valores φ _k es

${\displaystyle e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.}$

El valor esperado del campo es el valor esperado estadístico del campo cuando se elige de acuerdo con la distribución de probabilidad:

${\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}}$

Dado que la probabilidad de φ _k es un producto, el valor de φ _k en cada valor separado de k se distribuye de forma gaussiana de forma independiente. La varianza de la gaussiana es ⁠1/k2d2dk^​​^​​⁠ , que es formalmente infinito, pero eso solo significa que las fluctuaciones son ilimitadas en un volumen infinito. En cualquier volumen finito, la integral se reemplaza por una suma discreta y la varianza de la integral es ⁠V/k2^​⁠ .

La integral de trayectoria define un algoritmo probabilístico para generar una configuración de campo escalar euclidiano. Elija aleatoriamente las partes reales e imaginarias de cada modo de Fourier en el número de onda k para que sean una variable aleatoria gaussiana con varianza .1/k2^​⁠ . Esto genera una configuración φ _C ( k ) al azar, y la transformada de Fourier da φ _C ( x ) . Para campos escalares reales, el algoritmo debe generar solo uno de cada par φ ( k ), φ (− k ) , y hacer que el segundo sea el conjugado complejo del primero.

Para encontrar cualquier función de correlación, genere un campo una y otra vez mediante este procedimiento y encuentre el promedio estadístico:

${\displaystyle \left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}}$

donde | C | es el número de configuraciones y la suma es el producto de los valores de campo de cada configuración. La función de correlación euclidiana es exactamente la misma que la función de correlación en estadística o mecánica estadística. Las funciones de correlación mecánica cuántica son una continuación analítica de las funciones de correlación euclidianas.

En el caso de campos libres con una acción cuadrática, la distribución de probabilidad es una gaussiana de alta dimensión y el promedio estadístico se obtiene mediante una fórmula explícita. Pero el método de Monte Carlo también funciona bien para las teorías de campos de interacción bosónica en las que no existe una forma cerrada para las funciones de correlación.

Cada modo se distribuye de forma gaussiana de forma independiente. La esperanza de los modos de campo es fácil de calcular:

${\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,}$

para k ≠ k ′ , ya que entonces las dos variables aleatorias gaussianas son independientes y ambas tienen media cero.

${\displaystyle \left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}}$

En un volumen finito V , cuando los dos valores k coinciden, ya que ésta es la varianza de la gaussiana. En el límite de volumen infinito,

${\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}}$

Estrictamente hablando, esto es una aproximación: el propagador reticular es:

${\displaystyle \left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}}$

Pero cerca de k = 0 , para fluctuaciones de campo largas en comparación con el espaciamiento de la red, las dos formas coinciden.

Las funciones delta contienen factores de 2 π , de modo que cancelan los factores de 2 π en la medida de k integrales.

${\displaystyle \delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,}$

donde δ _D ( k ) es la función delta de Dirac unidimensional ordinaria. Esta convención para las funciones delta no es universal: algunos autores mantienen explícitos los factores de 2 π en las funciones delta (y en la integración k ).

La forma del propagador se puede encontrar más fácilmente utilizando la ecuación de movimiento del campo. A partir del lagrangiano, la ecuación de movimiento es:

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,}$

y en un valor esperado esto dice:

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0}$

Donde las derivadas actúan sobre x y la identidad es verdadera en todas partes excepto cuando x e y coinciden, y el orden de los operadores importa. La forma de la singularidad puede entenderse a partir de las relaciones de conmutación canónicas como una función delta. Definiendo el propagador de Feynman (euclidiano) Δ como la transformada de Fourier de la función de dos puntos ordenada en el tiempo (la que proviene de la integral de trayectoria):

${\displaystyle \partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,}$

De modo que:

${\displaystyle \Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}}$

Si las ecuaciones de movimiento son lineales, el propagador siempre será el recíproco de la matriz en forma cuadrática que define el lagrangiano libre, ya que de esta se obtienen las ecuaciones de movimiento. Esto también es fácil de ver directamente a partir de la integral de trayectoria. El factor de i desaparece en la teoría euclidiana.

Como cada modo de campo es un gaussiano independiente, los valores esperados para el producto de muchos modos de campo obedecen al teorema de Wick :

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle }$

es cero a menos que los modos de campo coincidan en pares. Esto significa que es cero para un número impar de φ y, para un número par de φ , es igual a una contribución de cada par por separado, con una función delta.

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}}$

donde la suma se encuentra sobre cada partición de los modos de campo en pares, y el producto se encuentra sobre los pares. Por ejemplo,

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}}$

Una interpretación del teorema de Wick es que cada inserción de campo puede considerarse como una línea colgante, y el valor esperado se calcula uniendo las líneas en pares, colocando un factor de función delta que garantiza que el momento de cada socio en el par sea igual y dividiendo por el propagador.

Queda por demostrar el teorema de Wick: ¿qué ocurre si más de dos de las s tienen el mismo momento? Si es un número impar, la integral es cero; los valores negativos se cancelan con los valores positivos. Pero si el número es par, la integral es positiva. La demostración anterior suponía que las s solo coincidirían en pares. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

Pero el teorema es correcto incluso cuando arbitrariamente muchos de ellos son iguales, y esta es una propiedad notable de la integración gaussiana: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}}$

Dividiendo por I ,

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}}$

${\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}}$

Si el teorema de Wick fuera correcto, los momentos superiores vendrían dados por todos los emparejamientos posibles de una lista de 2 n x diferentes :

${\displaystyle \left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle }$

donde las x son todas la misma variable, el índice es solo para llevar un registro de la cantidad de formas de emparejarlas. La primera x se puede emparejar con otras 2 n − 1 , lo que deja 2 n − 2 . La siguiente x no emparejada se puede emparejar con 2 n − 3 x diferentes , lo que deja 2 n − 4 , y así sucesivamente. Esto significa que el teorema de Wick, sin corregir, dice que el valor esperado de x ^{2 n} debería ser:

${\displaystyle \left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}}$

Y esta es, de hecho, la respuesta correcta. Por lo tanto, el teorema de Wick se cumple sin importar cuántos momentos de las variables internas coincidan.

Las interacciones se representan mediante contribuciones de orden superior, ya que las contribuciones cuadráticas son siempre gaussianas. La interacción más simple es la autointeracción cuártica, con una acción:

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.}$

Pronto se aclarará la razón del factor combinatorio 4!. Escribiendo la acción en términos de los modos de Fourier reticulares (o continuos):

${\displaystyle S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.}$

Donde S _F es la acción libre, cuyas funciones de correlación están dadas por el teorema de Wick. La exponencial de S en la integral de trayectoria puede expandirse en potencias de λ , dando una serie de correcciones a la acción libre.

${\displaystyle e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)}$

La integral de trayectoria para la acción interactuante es entonces una serie de potencias de correcciones a la acción libre. El término representado por X debe considerarse como cuatro semirrectas, una para cada factor de φ ( k ) . Las semirrectas se encuentran en un vértice, lo que contribuye a una función delta que garantiza que la suma de los momentos sea igual.

Para calcular una función de correlación en la teoría de interacción, ahora hay una contribución de los términos X. Por ejemplo, la integral de trayectoria para el correlacionador de cuatro campos:

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}}$

que en el campo libre sólo era distinto de cero cuando los momentos k eran iguales en pares, ahora es distinto de cero para todos los valores de k . Los momentos de las inserciones φ ( k _i ) ahora pueden coincidir con los momentos de las X s en la expansión. Las inserciones también deben considerarse como semirrectas, cuatro en este caso, que llevan un momento k , pero que no está integrado.

La contribución de orden más bajo proviene del primer término no trivial e ^{− S _F} X en la expansión de Taylor de la acción. El teorema de Wick requiere que los momentos en las semirrectas X , los factores φ ( k ) en X , coincidan con los momentos de las semirrectas externas en pares. La nueva contribución es igual a:

${\displaystyle \lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.}$

El 4! dentro de X se cancela porque hay exactamente 4! maneras de hacer coincidir las semirrectas en X con las semirrectas externas. Cada una de estas diferentes maneras de hacer coincidir las semirrectas en pares contribuye exactamente una vez, independientemente de los valores de k _1,2,3,4 , según el teorema de Wick.

La expansión de la acción en potencias de X da una serie de términos con un número progresivamente mayor de X s. La contribución del término con exactamente n X s se llama de orden n.

Los términos de orden n tienen:

1. 4 n semirrectas internas, que son los factores de φ ( k ) a partir de las X . Todas ellas terminan en un vértice y están integradas sobre todos los k posibles .
2. semirrectas externas, que provienen de las inserciones φ ( k ) en la integral.

Por el teorema de Wick, cada par de semirrectas deben emparejarse para formar una recta , y esta recta da un factor de

${\displaystyle {\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}}$

que multiplica la contribución. Esto significa que las dos semirrectas que forman una recta están obligadas a tener momentos iguales y opuestos. La recta en sí debe estar etiquetada con una flecha, dibujada paralela a la recta, y etiquetada con el momento en la recta k . La semirrecta en el extremo de la cola de la flecha lleva momento k , mientras que la semirrecta en el extremo de la cabeza lleva momento − k . Si una de las dos semirrectas es externa, esto mata la integral sobre la interna k , ya que obliga a la interna k a ser igual a la externa k . Si ambas son internas, la integral sobre k permanece.

Los diagramas que se forman uniendo las semirrectas de las X con las semirrectas externas, que representan inserciones, son los diagramas de Feynman de esta teoría. Cada línea lleva un factor de ⁠1/k2^​⁠ , el propagador, y va de vértice a vértice, o termina en una inserción. Si es interno, se integra sobre él. En cada vértice, el total entrante k es igual al total saliente k .

El número de formas de hacer un diagrama uniendo semirrectas en rectas anula casi por completo los factores factoriales provenientes de la serie de Taylor de la exponencial y el 4! en cada vértice.

Un diagrama de bosque es aquel en el que todas las líneas internas tienen un momento que está completamente determinado por las líneas externas y la condición de que el momento entrante y saliente sean iguales en cada vértice. La contribución de estos diagramas es un producto de propagadores, sin ninguna integración. Un diagrama de árbol es un diagrama de bosque conectado.

Un ejemplo de diagrama de árbol es aquel en el que cada una de las cuatro líneas externas termina en una X. Otro es aquel en el que tres líneas externas terminan en una X , y la mitad de la línea restante se une con otra X , y las mitades de línea restantes de esta X se extienden hacia líneas externas. Todos estos son también diagramas de bosque (ya que cada árbol es un bosque); un ejemplo de un bosque que no es un árbol es aquel en el que ocho líneas externas terminan en dos X.

Es fácil verificar que en todos estos casos, los momentos en todas las líneas internas están determinados por los momentos externos y la condición de conservación del momento en cada vértice.

Un diagrama que no es un diagrama de bosque se llama diagrama de bucles , y un ejemplo es uno en el que dos líneas de una X se unen a líneas externas, mientras que las dos líneas restantes se unen entre sí. Las dos líneas unidas entre sí pueden tener cualquier momento, ya que ambas entran y salen del mismo vértice. Un ejemplo más complicado es uno en el que dos X se unen entre sí haciendo coincidir los catetos entre sí. Este diagrama no tiene líneas externas en absoluto.

La razón por la que los diagramas de bucles se denominan diagramas de bucles es porque el número de k -integrales que quedan sin determinar por la conservación del momento es igual al número de bucles cerrados independientes en el diagrama, donde los bucles independientes se cuentan como en la teoría de homología . La homología tiene un valor real (en realidad, un valor R ^d ), el valor asociado con cada línea es el momento. El operador de borde lleva cada línea a la suma de los vértices finales con un signo positivo en la cabeza y un signo negativo en la cola. La condición de que se conserve el momento es exactamente la condición de que el borde del grafo ponderado de valor k sea cero.

Un conjunto de valores k válidos se puede redefinir arbitrariamente siempre que haya un bucle cerrado. Un bucle cerrado es una ruta cíclica de vértices adyacentes que nunca vuelve a visitar el mismo vértice. Se puede pensar en un ciclo de este tipo como el límite de una celda hipotética de 2. Las etiquetas k de un grafo que conserva el momento (es decir, que tiene un límite cero) hasta las redefiniciones de k (es decir, hasta los límites de las celdas de 2) definen la primera homología de un grafo. El número de momentos independientes que no se determinan es entonces igual al número de bucles de homología independientes. Para muchos grafos, esto es igual al número de bucles tal como se cuenta de la manera más intuitiva.

La cantidad de formas de formar un diagrama de Feynman dado uniendo semirrectas es grande y, según el teorema de Wick, cada forma de emparejar las semirrectas contribuye por igual. A menudo, esto cancela por completo los factoriales en el denominador de cada término, pero la cancelación a veces es incompleta.

El denominador no cancelado se denomina factor de simetría del diagrama. La contribución de cada diagrama a la función de correlación debe dividirse por su factor de simetría.

Por ejemplo, considere el diagrama de Feynman formado a partir de dos líneas externas unidas a una X , y las dos semirrectas restantes en la X unidas entre sí. Hay 4 × 3 maneras de unir las semirrectas externas a la X , y luego solo hay una manera de unir las dos líneas restantes entre sí. La X viene dividida por 4! = 4 × 3 × 2 , pero el número de maneras de unir las semirrectas X para hacer el diagrama es solo 4 × 3, por lo que la contribución de este diagrama se divide por dos.

Para otro ejemplo, considere el diagrama formado al unir todas las semirrectas de una X con todas las semirrectas de otra X . Este diagrama se llama burbuja de vacío , porque no se une a ninguna línea externa. Hay 4! formas de formar este diagrama, pero el denominador incluye un 2! (de la expansión de la exponencial, hay dos X ) y dos factores de 4!. La contribución se multiplica por ⁠4!/¡2 × 4! ¡× 4!⁠ =  ⁠1/48⁠ .

Otro ejemplo es el diagrama de Feynman formado a partir de dos X s donde cada X se une a dos líneas externas, y las dos semirrectas restantes de cada X se unen entre sí. El número de formas de unir una X a dos líneas externas es 4 × 3, y cualquiera de las X podría unirse a cualquiera de los pares, lo que da un factor adicional de 2. Las dos semirrectas restantes en las dos X s se pueden unir entre sí de dos formas, de modo que el número total de formas de formar el diagrama es 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 , mientras que el denominador es 4! × 4! × 2! . El factor de simetría total es 2, y la contribución de este diagrama se divide por 2.

El teorema del factor de simetría da el factor de simetría para un diagrama general: la contribución de cada diagrama de Feynman debe dividirse por el orden de su grupo de automorfismos, el número de simetrías que tiene.

Un automorfismo de un grafo de Feynman es una permutación M de las líneas y una permutación N de los vértices con las siguientes propiedades:

1. Si una línea l va del vértice v al vértice v′ , entonces M ( l ) va de N ( v ) a N ( v′ ) . Si la línea no tiene dirección, como ocurre en un campo escalar real, entonces M ( l ) también puede ir de N ( v′ ) a N ( v ) .
2. Si una línea l termina en una línea externa, M ( l ) termina en la misma línea externa.
3. Si hay diferentes tipos de líneas, M ( l ) debe preservar el tipo.

Este teorema tiene una interpretación en términos de trayectorias de partículas: cuando hay partículas idénticas, la integral sobre todas las partículas intermedias no debe contar dos veces los estados que difieren solo por intercambiar partículas idénticas.

Demostración: Para demostrar este teorema, se nombran todas las líneas internas y externas de un diagrama con un nombre único. Luego se forma el diagrama uniendo una semirrecta con un nombre y luego con la otra semirrecta.

Ahora cuente la cantidad de formas de formar el diagrama nombrado. Cada permutación de las X da un patrón diferente de vinculación de nombres a semirrectas, y este es un factor de n !. Cada permutación de las semirrectas en una sola X da un factor de 4!. Por lo tanto, un diagrama nombrado se puede formar exactamente de tantas formas como el denominador de la expansión de Feynman.

Pero el número de diagramas sin nombre es menor que el número de diagramas con nombre por el orden del grupo de automorfismos del gráfico.

En términos generales, un diagrama de Feynman se denomina conexo si todos los vértices y líneas propagadoras están unidos por una secuencia de vértices y propagadores del propio diagrama. Si se lo considera como un grafo no dirigido, es conexo. La notable relevancia de tales diagramas en las teorías cuánticas de campos se debe al hecho de que son suficientes para determinar la función de partición cuántica Z [ J ] . Más precisamente, los diagramas de Feynman conexos determinan

${\displaystyle iW[J]\equiv \ln Z[J].}$

Para ver esto, hay que recordar que

${\displaystyle Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}}$

con D _k construido a partir de algún diagrama de Feynman (arbitrario) que se puede pensar que consta de varios componentes conectados C _i . Si uno encuentra n _i copias (idénticas) de un componente C _i dentro del diagrama de Feynman D _k uno tiene que incluir un factor de simetría n _i ! . Sin embargo, al final cada contribución de un diagrama de Feynman D _k a la función de partición tiene la forma genérica

${\displaystyle \prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}$

donde i etiqueta los (infinitos) diagramas de Feynman conectados posibles.

Un esquema para crear sucesivamente dichas contribuciones desde D _k hasta Z [ J ] se obtiene mediante

${\displaystyle \left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots }$

y por lo tanto produce

${\displaystyle Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.}$

Para establecer la normalización Z ₀ = exp W [0] = 1 uno simplemente calcula todos los diagramas de vacío conectados , es decir, los diagramas sin ninguna fuente J (a veces denominados patas externas de un diagrama de Feynman).

El teorema del grupo enlazado fue demostrado por primera vez para orden cuatro por Keith Brueckner en 1955, y para órdenes infinitos por Jeffrey Goldstone en 1957. ^[11]

Una consecuencia inmediata del teorema de los grupos enlazados es que todas las burbujas de vacío, diagramas sin líneas externas, se cancelan al calcular funciones de correlación. Una función de correlación se da mediante una relación de integrales de trayectoria:

${\displaystyle \left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.}$

La parte superior es la suma de todos los diagramas de Feynman, incluidos los diagramas desconectados que no se vinculan con líneas externas. En términos de los diagramas conectados, el numerador incluye las mismas contribuciones de las burbujas de vacío que el denominador:

${\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.}$

Donde la suma de los diagramas E incluye solo aquellos diagramas cuyos componentes conectados terminan en al menos una línea externa. Las burbujas de vacío son las mismas independientemente de las líneas externas y dan un factor multiplicativo general. El denominador es la suma de todas las burbujas de vacío y la división elimina el segundo factor.

Las burbujas de vacío entonces sólo son útiles para determinar el propio Z , que según la definición de la integral de trayectoria es igual a:

${\displaystyle Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}}$

donde ρ es la densidad de energía en el vacío. Cada burbuja de vacío contiene un factor de δ ( k ) que pone a cero el k total en cada vértice, y cuando no hay líneas externas, esto contiene un factor de δ (0) , porque la conservación del momento se aplica en exceso. En un volumen finito, este factor puede identificarse como el volumen total del espacio-tiempo. Dividiendo por el volumen, la integral restante para la burbuja de vacío tiene una interpretación: es una contribución a la densidad de energía del vacío.

Las funciones de correlación son la suma de los diagramas de Feynman conectados, pero el formalismo trata los diagramas conectados y desconectados de manera diferente. Las líneas internas terminan en los vértices, mientras que las líneas externas se dirigen a las inserciones. La introducción de fuentes unifica el formalismo, al crear nuevos vértices donde puede terminar una línea.

Las fuentes son campos externos, campos que contribuyen a la acción, pero no son variables dinámicas. Una fuente de campo escalar es otro campo escalar h que contribuye con un término al lagrangiano (de Lorentz):

${\displaystyle \int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,}$

En la expansión de Feynman, esto aporta términos H con una semirrecta que termina en un vértice. Las rectas en un diagrama de Feynman ahora pueden terminar en un vértice X o en un vértice H , y solo una recta entra en un vértice H. La regla de Feynman para un vértice H es que una recta desde un H con momento k obtiene un factor de h ( k ) .

La suma de los diagramas conexos en presencia de fuentes incluye un término para cada diagrama conexo en ausencia de fuentes, excepto que ahora los diagramas pueden terminar en la fuente. Tradicionalmente, una fuente se representa con una pequeña "×" con una línea que se extiende hacia afuera, exactamente como una inserción.

${\displaystyle \log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,}$

donde C ( k ₁ ,..., k _n ) es el diagrama conectado con n líneas externas que llevan el momento como se indica. La suma se aplica a todos los diagramas conectados, como antes.

El campo h no es dinámico, lo que significa que no existe una integral de trayectoria sobre h : h es simplemente un parámetro en el lagrangiano, que varía de un punto a otro. La integral de trayectoria para el campo es:

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,}$

y es una función de los valores de h en cada punto. Una forma de interpretar esta expresión es que se toma la transformada de Fourier en el espacio de campos. Si hay una densidad de probabilidad en R ⁿ , la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad es:

${\displaystyle \int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,}$

La transformada de Fourier es la expectativa de una exponencial oscilatoria. La integral de trayectoria en presencia de una fuente h ( x ) es:

${\displaystyle Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle }$

que, en una red, es el producto de una exponencial oscilatoria para cada valor de campo:

${\displaystyle \left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle }$

La transformada de Fourier de una función delta es una constante que da una expresión formal para una función delta:

${\displaystyle \delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk}$

Esto te indica cómo se ve una función delta de campo en una integral de trayectoria. Para dos campos escalares φ y η ,

${\displaystyle \delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,}$

que se integra sobre la coordenada de la transformada de Fourier, sobre h . Esta expresión es útil para cambiar formalmente las coordenadas del campo en la integral de trayectoria, de forma muy similar a como se utiliza una función delta para cambiar las coordenadas en una integral multidimensional ordinaria.

La función de partición ahora es una función del campo h , y la función de partición física es el valor cuando h es la función cero:

Las funciones de correlación son derivadas de la integral de trayectoria con respecto a la fuente:

${\displaystyle \left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.}$

En el espacio euclidiano, las contribuciones de las fuentes a la acción aún pueden aparecer con un factor de i , de modo que aún realizan una transformada de Fourier.

La integral de trayectoria de campo se puede extender al caso de Fermi, pero solo si se amplía la noción de integración. Una integral de Grassmann de un campo de Fermi libre es un determinante de alta dimensión o Pfaffian , que define el nuevo tipo de integración gaussiana apropiada para los campos de Fermi.

Las dos fórmulas fundamentales de la integración de Grassmann son:

${\displaystyle \int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,}$

donde M es una matriz arbitraria y ψ , ψ son variables de Grassmann independientes para cada índice i , y

${\displaystyle \int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,}$

donde A es una matriz antisimétrica, ψ es una colección de variables de Grassmann y ⁠1/2⁠ es para evitar el doble conteo (ya que ψ ⁱ ψ ^j = − ψ ^j ψ ⁱ ).

En notación matricial, donde ψ y η son vectores fila con valores de Grassmann, η y ψ son vectores columna con valores de Grassmann y M es una matriz de valores reales:

${\displaystyle Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,}$

donde la última igualdad es una consecuencia de la invariancia de la traslación de la integral de Grassmann. Las variables de Grassmann η son fuentes externas para ψ , y la diferenciación con respecto a η reduce los factores de ψ .

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}}$

again, in a schematic matrix notation. The meaning of the formula above is that the derivative with respect to the appropriate component of η and η gives the matrix element of M⁻¹. This is exactly analogous to the bosonic path integration formula for a Gaussian integral of a complex bosonic field:

${\displaystyle \int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}}$

${\displaystyle \left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.}$

So that the propagator is the inverse of the matrix in the quadratic part of the action in both the Bose and Fermi case.

For real Grassmann fields, for Majorana fermions, the path integral is a Pfaffian times a source quadratic form, and the formulas give the square root of the determinant, just as they do for real Bosonic fields. The propagator is still the inverse of the quadratic part.

The free Dirac Lagrangian:

${\displaystyle \int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi }$

formally gives the equations of motion and the anticommutation relations of the Dirac field, just as the Klein Gordon Lagrangian in an ordinary path integral gives the equations of motion and commutation relations of the scalar field. By using the spatial Fourier transform of the Dirac field as a new basis for the Grassmann algebra, the quadratic part of the Dirac action becomes simple to invert:

${\displaystyle S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.}$

The propagator is the inverse of the matrix M linking ψ(k) and ψ(k), since different values of k do not mix together.

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}}$

The analog of Wick's theorem matches ψ and ψ in pairs:

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}}$

where S is the sign of the permutation that reorders the sequence of ψ and ψ to put the ones that are paired up to make the delta-functions next to each other, with the ψ coming right before the ψ. Since a ψ, ψ pair is a commuting element of the Grassmann algebra, it does not matter what order the pairs are in. If more than one ψ, ψ pair have the same k, the integral is zero, and it is easy to check that the sum over pairings gives zero in this case (there are always an even number of them). This is the Grassmann analog of the higher Gaussian moments that completed the Bosonic Wick's theorem earlier.

The rules for spin-⁠1/2⁠ Dirac particles are as follows: The propagator is the inverse of the Dirac operator, the lines have arrows just as for a complex scalar field, and the diagram acquires an overall factor of −1 for each closed Fermi loop. If there are an odd number of Fermi loops, the diagram changes sign. Historically, the −1 rule was very difficult for Feynman to discover. He discovered it after a long process of trial and error, since he lacked a proper theory of Grassmann integration.

The rule follows from the observation that the number of Fermi lines at a vertex is always even. Each term in the Lagrangian must always be Bosonic. A Fermi loop is counted by following Fermionic lines until one comes back to the starting point, then removing those lines from the diagram. Repeating this process eventually erases all the Fermionic lines: this is the Euler algorithm to 2-color a graph, which works whenever each vertex has even degree. The number of steps in the Euler algorithm is only equal to the number of independent Fermionic homology cycles in the common special case that all terms in the Lagrangian are exactly quadratic in the Fermi fields, so that each vertex has exactly two Fermionic lines. When there are four-Fermi interactions (like in the Fermi effective theory of the weak nuclear interactions) there are more k-integrals than Fermi loops. In this case, the counting rule should apply the Euler algorithm by pairing up the Fermi lines at each vertex into pairs that together form a bosonic factor of the term in the Lagrangian, and when entering a vertex by one line, the algorithm should always leave with the partner line.

To clarify and prove the rule, consider a Feynman diagram formed from vertices, terms in the Lagrangian, with Fermion fields. The full term is Bosonic, it is a commuting element of the Grassmann algebra, so the order in which the vertices appear is not important. The Fermi lines are linked into loops, and when traversing the loop, one can reorder the vertex terms one after the other as one goes around without any sign cost. The exception is when you return to the starting point, and the final half-line must be joined with the unlinked first half-line. This requires one permutation to move the last ψ to go in front of the first ψ, and this gives the sign.

This rule is the only visible effect of the exclusion principle in internal lines. When there are external lines, the amplitudes are antisymmetric when two Fermi insertions for identical particles are interchanged. This is automatic in the source formalism, because the sources for Fermi fields are themselves Grassmann valued.

The naive propagator for photons is infinite, since the Lagrangian for the A-field is:

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.}$

The quadratic form defining the propagator is non-invertible. The reason is the gauge invariance of the field; adding a gradient to A does not change the physics.

To fix this problem, one needs to fix a gauge. The most convenient way is to demand that the divergence of A is some function f, whose value is random from point to point. It does no harm to integrate over the values of f, since it only determines the choice of gauge. This procedure inserts the following factor into the path integral for A:

${\displaystyle \int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.}$

The first factor, the delta function, fixes the gauge. The second factor sums over different values of f that are inequivalent gauge fixings. This is simply

${\displaystyle e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.}$

The additional contribution from gauge-fixing cancels the second half of the free Lagrangian, giving the Feynman Lagrangian:

${\displaystyle S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }}$

which is just like four independent free scalar fields, one for each component of A. The Feynman propagator is:

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.}$

The one difference is that the sign of one propagator is wrong in the Lorentz case: the timelike component has an opposite sign propagator. This means that these particle states have negative norm—they are not physical states. In the case of photons, it is easy to show by diagram methods that these states are not physical—their contribution cancels with longitudinal photons to only leave two physical photon polarization contributions for any value of k.

If the averaging over f is done with a coefficient different from ⁠1/2⁠, the two terms do not cancel completely. This gives a covariant Lagrangian with a coefficient ${\displaystyle \lambda }$, which does not affect anything:

${\displaystyle S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)}$

and the covariant propagator for QED is:

${\displaystyle \left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.}$

To find the Feynman rules for non-Abelian gauge fields, the procedure that performs the gauge fixing must be carefully corrected to account for a change of variables in the path-integral.

The gauge fixing factor has an extra determinant from popping the delta function:

${\displaystyle \delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M}$

To find the form of the determinant, consider first a simple two-dimensional integral of a function f that depends only on r, not on the angle θ. Inserting an integral over θ:

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

The derivative-factor ensures that popping the delta function in θ removes the integral. Exchanging the order of integration,

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy}$

but now the delta-function can be popped in y,

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.}$

The integral over θ just gives an overall factor of 2π, while the rate of change of y with a change in θ is just x, so this exercise reproduces the standard formula for polar integration of a radial function:

${\displaystyle \int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx}$

In the path-integral for a nonabelian gauge field, the analogous manipulation is:

${\displaystyle \int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,}$

The factor in front is the volume of the gauge group, and it contributes a constant, which can be discarded. The remaining integral is over the gauge fixed action.

${\displaystyle \int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,}$

To get a covariant gauge, the gauge fixing condition is the same as in the Abelian case:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,}$

Whose variation under an infinitesimal gauge transformation is given by:

${\displaystyle \partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,}$

where α is the adjoint valued element of the Lie algebra at every point that performs the infinitesimal gauge transformation. This adds the Faddeev Popov determinant to the action:

${\displaystyle \det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,}$

which can be rewritten as a Grassmann integral by introducing ghost fields:

${\displaystyle \int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,}$

The determinant is independent of f, so the path-integral over f can give the Feynman propagator (or a covariant propagator) by choosing the measure for f as in the abelian case. The full gauge fixed action is then the Yang Mills action in Feynman gauge with an additional ghost action:

${\displaystyle S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,}$

The diagrams are derived from this action. The propagator for the spin-1 fields has the usual Feynman form. There are vertices of degree 3 with momentum factors whose couplings are the structure constants, and vertices of degree 4 whose couplings are products of structure constants. There are additional ghost loops, which cancel out timelike and longitudinal states in A loops.

In the Abelian case, the determinant for covariant gauges does not depend on A, so the ghosts do not contribute to the connected diagrams.

Feynman diagrams were originally discovered by Feynman, by trial and error, as a way to represent the contribution to the S-matrix from different classes of particle trajectories.

The Euclidean scalar propagator has a suggestive representation:

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau }$

The meaning of this identity (which is an elementary integration) is made clearer by Fourier transforming to real space.

${\displaystyle \Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}}$

The contribution at any one value of τ to the propagator is a Gaussian of width √τ. The total propagation function from 0 to x is a weighted sum over all proper times τ of a normalized Gaussian, the probability of ending up at x after a random walk of time τ.

The path-integral representation for the propagator is then:

${\displaystyle \Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}}$

which is a path-integral rewrite of the Schwinger representation.

The Schwinger representation is both useful for making manifest the particle aspect of the propagator, and for symmetrizing denominators of loop diagrams.

The Schwinger representation has an immediate practical application to loop diagrams. For example, for the diagram in the φ⁴ theory formed by joining two xs together in two half-lines, and making the remaining lines external, the integral over the internal propagators in the loop is:

${\displaystyle \int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.}$

Here one line carries momentum k and the other k + p. The asymmetry can be fixed by putting everything in the Schwinger representation.

${\displaystyle \int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.}$

Now the exponent mostly depends on t + t′,

${\displaystyle \int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,}$

except for the asymmetrical little bit. Defining the variable u = t + t′ and v = ⁠t′/u⁠, the variable u goes from 0 to ∞, while v goes from 0 to 1. The variable u is the total proper time for the loop, while v parametrizes the fraction of the proper time on the top of the loop versus the bottom.

The Jacobian for this transformation of variables is easy to work out from the identities:

${\displaystyle d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,}$

and "wedging" gives

${\displaystyle u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,}$.

This allows the u integral to be evaluated explicitly:

${\displaystyle \int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv}$

leaving only the v-integral. This method, invented by Schwinger but usually attributed to Feynman, is called combining denominator. Abstractly, it is the elementary identity:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv}$

But this form does not provide the physical motivation for introducing v; v is the proportion of proper time on one of the legs of the loop.

Once the denominators are combined, a shift in k to k′ = k + vp symmetrizes everything:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv}$

This form shows that the moment that p² is more negative than four times the mass of the particle in the loop, which happens in a physical region of Lorentz space, the integral has a cut. This is exactly when the external momentum can create physical particles.

When the loop has more vertices, there are more denominators to combine:

${\displaystyle \int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}}$

The general rule follows from the Schwinger prescription for n + 1 denominators:

${\displaystyle {\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.}$

The integral over the Schwinger parameters u_i can be split up as before into an integral over the total proper time u = u₀ + u₁ ... + u_n and an integral over the fraction of the proper time in all but the first segment of the loop v_i = ⁠u_i/u⁠ for i ∈ {1,2,...,n}. The v_i are positive and add up to less than 1, so that the v integral is over an n-dimensional simplex.

The Jacobian for the coordinate transformation can be worked out as before:

${\displaystyle du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,}$

${\displaystyle d(uv_{i})=du_{i}\,.}$

Wedging all these equations together, one obtains

${\displaystyle u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.}$

This gives the integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,}$

where the simplex is the region defined by the conditions

${\displaystyle v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1}$

as well as

${\displaystyle v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.}$

Performing the u integral gives the general prescription for combining denominators:

${\displaystyle {\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}}$

Since the numerator of the integrand is not involved, the same prescription works for any loop, no matter what the spins are carried by the legs. The interpretation of the parameters v_i is that they are the fraction of the total proper time spent on each leg.

The correlation functions of a quantum field theory describe the scattering of particles. The definition of "particle" in relativistic field theory is not self-evident, because if you try to determine the position so that the uncertainty is less than the compton wavelength, the uncertainty in energy is large enough to produce more particles and antiparticles of the same type from the vacuum. This means that the notion of a single-particle state is to some extent incompatible with the notion of an object localized in space.

In the 1930s, Wigner gave a mathematical definition for single-particle states: they are a collection of states that form an irreducible representation of the Poincaré group. Single particle states describe an object with a finite mass, a well defined momentum, and a spin. This definition is fine for protons and neutrons, electrons and photons, but it excludes quarks, which are permanently confined, so the modern point of view is more accommodating: a particle is anything whose interaction can be described in terms of Feynman diagrams, which have an interpretation as a sum over particle trajectories.

A field operator can act to produce a one-particle state from the vacuum, which means that the field operator φ(x) produces a superposition of Wigner particle states. In the free field theory, the field produces one particle states only. But when there are interactions, the field operator can also produce 3-particle, 5-particle (if there is no +/− symmetry also 2, 4, 6 particle) states too. To compute the scattering amplitude for single particle states only requires a careful limit, sending the fields to infinity and integrating over space to get rid of the higher-order corrections.

The relation between scattering and correlation functions is the LSZ-theorem: The scattering amplitude for n particles to go to m particles in a scattering event is the given by the sum of the Feynman diagrams that go into the correlation function for n + m field insertions, leaving out the propagators for the external legs.

For example, for the λφ⁴ interaction of the previous section, the order λ contribution to the (Lorentz) correlation function is:

${\displaystyle \left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,}$

Stripping off the external propagators, that is, removing the factors of ⁠i/k²⁠, gives the invariant scattering amplitude M:

${\displaystyle M=i\lambda \,}$

which is a constant, independent of the incoming and outgoing momentum. The interpretation of the scattering amplitude is that the sum of |M|² over all possible final states is the probability for the scattering event. The normalization of the single-particle states must be chosen carefully, however, to ensure that M is a relativistic invariant.

Non-relativistic single particle states are labeled by the momentum k, and they are chosen to have the same norm at every value of k. This is because the nonrelativistic unit operator on single particle states is:

${\displaystyle \int dk\,|k\rangle \langle k|\,.}$

In relativity, the integral over the k-states for a particle of mass m integrates over a hyperbola in E,k space defined by the energy–momentum relation:

${\displaystyle E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.}$

If the integral weighs each k point equally, the measure is not Lorentz-invariant. The invariant measure integrates over all values of k and E, restricting to the hyperbola with a Lorentz-invariant delta function:

${\displaystyle \int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.}$

So the normalized k-states are different from the relativistically normalized k-states by a factor of

${\displaystyle {\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.}$

The invariant amplitude M is then the probability amplitude for relativistically normalized incoming states to become relativistically normalized outgoing states.

For nonrelativistic values of k, the relativistic normalization is the same as the nonrelativistic normalization (up to a constant factor √m). In this limit, the φ⁴ invariant scattering amplitude is still constant. The particles created by the field φ scatter in all directions with equal amplitude.

The nonrelativistic potential, which scatters in all directions with an equal amplitude (in the Born approximation), is one whose Fourier transform is constant—a delta-function potential. The lowest order scattering of the theory reveals the non-relativistic interpretation of this theory—it describes a collection of particles with a delta-function repulsion. Two such particles have an aversion to occupying the same point at the same time.

Thinking of Feynman diagrams as a perturbation series, nonperturbative effects like tunneling do not show up, because any effect that goes to zero faster than any polynomial does not affect the Taylor series. Even bound states are absent, since at any finite order particles are only exchanged a finite number of times, and to make a bound state, the binding force must last forever.

But this point of view is misleading, because the diagrams not only describe scattering, but they also are a representation of the short-distance field theory correlations. They encode not only asymptotic processes like particle scattering, they also describe the multiplication rules for fields, the operator product expansion. Nonperturbative tunneling processes involve field configurations that on average get big when the coupling constant gets small, but each configuration is a coherent superposition of particles whose local interactions are described by Feynman diagrams. When the coupling is small, these become collective processes that involve large numbers of particles, but where the interactions between each of the particles is simple.^{[citation needed]} (The perturbation series of any interacting quantum field theory has zero radius of convergence, complicating the limit of the infinite series of diagrams needed (in the limit of vanishing coupling) to describe such field configurations.)

This means that nonperturbative effects show up asymptotically in resummations of infinite classes of diagrams, and these diagrams can be locally simple. The graphs determine the local equations of motion, while the allowed large-scale configurations describe non-perturbative physics. But because Feynman propagators are nonlocal in time, translating a field process to a coherent particle language is not completely intuitive, and has only been explicitly worked out in certain special cases. In the case of nonrelativistic bound states, the Bethe–Salpeter equation describes the class of diagrams to include to describe a relativistic atom. For quantum chromodynamics, the Shifman–Vainshtein–Zakharov sum rules describe non-perturbatively excited long-wavelength field modes in particle language, but only in a phenomenological way.

The number of Feynman diagrams at high orders of perturbation theory is very large, because there are as many diagrams as there are graphs with a given number of nodes. Nonperturbative effects leave a signature on the way in which the number of diagrams and resummations diverge at high order. It is only because non-perturbative effects appear in hidden form in diagrams that it was possible to analyze nonperturbative effects in string theory, where in many cases a Feynman description is the only one available.

• The use of the above diagram of the virtual particle producing a quark–antiquark pair was featured in the television sit-com The Big Bang Theory, in the episode "The Bat Jar Conjecture".
• PhD Comics of January 11, 2012, shows Feynman diagrams that visualize and describe quantum academic interactions, i.e. the paths followed by Ph.D. students when interacting with their advisors.^[12]
• Vacuum Diagrams, a science fiction story by Stephen Baxter, features the titular vacuum diagram, a specific type of Feynman diagram.
• Feynman and his wife, Gweneth Howarth, bought a Dodge Tradesman Maxivan in 1975, and had it painted with Feynman diagrams.^[13] The van is currently owned by video game designer and physicist Seamus Blackley.^{[14][15][16][17][18][19][20][21][22]} Qantum was the license plate ID.^[23]

• 't Hooft, Gerardus; Veltman, Martinus (1973). Diagrammar (Report). CERN Yellow Report. doi:10.5170/CERN-1973-009.
• Kaiser, David (2005). Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 0-226-42266-6.
• Veltman, Martinus (1994-06-16). Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams. Cambridge Lecture Notes in Physics. ISBN 0-521-45692-4. (expanded, updated version of 't Hooft & Veltman, 1973, cited above)
• Srednicki, Mark (2006). Quantum Field Theory. Script. Archived from the original on 2011-07-25. Retrieved 2011-01-28.
• Schweber, S. S. (1994). QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press. ISBN 978-0691033273.

• Artículo de AMS: "Novedades en matemáticas: diagramas de Feynman de dimensión finita"
• Cómo dibujar diagramas de Feynman explicado por Flip Tanedo en Quantumdiaries.com
• Dibujar diagramas de Feynman con la biblioteca C++ FeynDiagram que produce salida PostScript.
• Herramienta de diagramas en línea Una aplicación gráfica para crear diagramas listos para publicar.
• JaxoDraw Un programa Java para dibujar diagramas de Feynman.
• Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010). "Diagramas de Feynman". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .