problema de Fermi

Un problema de Fermi (o pregunta de Fermi , cuestionario de Fermi ), también conocido como problema de orden de magnitud , es un problema de estimación en la enseñanza de la física o la ingeniería , diseñado para enseñar análisis dimensional o aproximación de cálculos científicos extremos. Los problemas de Fermi suelen ser cálculos rápidos . Los problemas de Fermi generalmente implican hacer conjeturas justificadas sobre cantidades y su varianza o límites inferiores y superiores. En algunos casos, las estimaciones de orden de magnitud también pueden derivarse utilizando análisis dimensional . Una estimación de Fermi (o estimación de orden de magnitud , estimación de orden ) es una estimación de un cálculo científico extremo.

La técnica de estimación recibe su nombre del físico Enrico Fermi , conocido por su habilidad para realizar buenos cálculos aproximados con pocos o ningún dato real. Un ejemplo es la estimación de Enrico Fermi sobre la potencia de la bomba atómica que detonó en la prueba Trinity , basada en la distancia recorrida por trozos de papel que dejó caer de su mano durante la explosión. La estimación de Fermi de 10 kilotones de TNT se encontraba dentro de un orden de magnitud del valor actualmente aceptado de 21 kilotones. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Las estimaciones de Fermi suelen funcionar porque las estimaciones de los términos individuales a menudo son bastante precisas, y las sobreestimaciones y subestimaciones se compensan entre sí. Es decir, si no existe un sesgo constante, un cálculo de Fermi que implique la multiplicación de varios factores estimados (como el número de afinadores de piano en Chicago) probablemente será más preciso de lo que cabría suponer inicialmente.

En detalle, multiplicar las estimaciones corresponde a sumar sus logaritmos; así se obtiene una especie de proceso de Wiener o paseo aleatorio en la escala logarítmica , que se difunde como (en número de términos n ). En términos discretos, el número de sobreestimaciones menos las subestimaciones tendrá una distribución binomial . En términos continuos, si se realiza una estimación de Fermi de n pasos, con una desviación estándar σ unidades en la escala logarítmica a partir del valor real, entonces la estimación global tendrá una desviación estándar , ya que la desviación estándar de una suma escala como en el número de sumandos.${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Por ejemplo, si se realiza una estimación de Fermi de 9 pasos, sobreestimando o subestimando el número correcto en cada paso por un factor de 2 (o con una desviación estándar de 2), entonces después de 9 pasos el error estándar habrá aumentado por un factor logarítmico de , por lo que 2 ^{3 = 8. Por lo tanto} , se esperará estar dentro de 1/8 a 8 veces el valor correcto, dentro de un orden de magnitud , y mucho menos que el peor caso de error por un factor de 2 ⁹ = 512 (aproximadamente 2,71 órdenes de magnitud). Si se tiene una cadena más corta o se estima con mayor precisión, la estimación general será correspondientemente mejor.${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

Los problemas de Fermi suelen ser de naturaleza extrema y, por lo general, no pueden resolverse utilizando información matemática o científica común.

Ejemplos de preguntas planteadas por la Competencia Fermi oficial:

"Si la masa de una cucharadita de agua pudiera convertirse completamente en energía en forma de calor, ¿qué volumen de agua, inicialmente a temperatura ambiente, podría hervir? (litros)"

¿Cuánto se calienta el río Támesis al pasar por la presa de Fanshawe ? (Grados Celsius).

"¿Cuál es la masa de todos los automóviles desguazados en Norteamérica este mes? (kilogramos)." ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Posiblemente el problema de orden de magnitud más famoso sea la paradoja de Fermi , que considera las probabilidades de que exista un número significativo de civilizaciones inteligentes en la galaxia y reflexiona sobre la aparente contradicción de que la civilización humana nunca se haya encontrado con ninguna. Un intento bien conocido de reflexionar sobre esta paradoja a través de la lente de una estimación de Fermi es la ecuación de Drake , que busca estimar el número de tales civilizaciones presentes en la galaxia. ^{[ 6 ]}

Los científicos suelen recurrir a estimaciones de Fermi ^{[ 7 ]} para obtener la respuesta a un problema antes de utilizar métodos más sofisticados para calcular una respuesta precisa. Esto proporciona una útil verificación de los resultados. Si bien la estimación es casi con certeza incorrecta, también es un cálculo sencillo que permite una fácil comprobación de errores y la detección de suposiciones erróneas si la cifra obtenida está muy por encima de lo que cabría esperar razonablemente. Por el contrario, los cálculos precisos pueden ser extremadamente complejos, pero se espera que la respuesta que producen sea correcta. El número mucho mayor de factores y operaciones implicadas puede ocultar un error muy significativo, ya sea en el proceso matemático o en las suposiciones en las que se basa la ecuación, pero aun así se puede asumir que el resultado es correcto porque se ha derivado de una fórmula precisa que se espera que arroje buenos resultados. Sin un marco de referencia razonable, rara vez está claro si un resultado es aceptablemente preciso o si es demasiado grande o demasiado pequeño (decenas o cientos de veces). La estimación de Fermi proporciona una forma rápida y sencilla de obtener este marco de referencia para lo que razonablemente se podría esperar que sea la respuesta.

Siempre que las suposiciones iniciales en la estimación sean cantidades razonables, el resultado obtenido dará una respuesta dentro de la misma escala que el resultado correcto, y si no, proporcionará una base para comprender por qué es así. Por ejemplo, supongamos que se le pide a una persona que determine el número de afinadores de piano en Chicago. Si su estimación inicial le indica que debería haber alrededor de cien, pero la respuesta precisa le indica que hay muchos miles, entonces sabe que necesita averiguar por qué existe esta divergencia con respecto al resultado esperado. Primero, buscará errores, luego factores que la estimación no tuvo en cuenta: ¿tiene Chicago un número de escuelas de música u otros lugares con una proporción desproporcionadamente alta de pianos por habitante? Ya sea que esté cerca o muy lejos de los resultados observados, el contexto que proporciona la estimación brinda información útil tanto sobre el proceso de cálculo como sobre las suposiciones que se han utilizado para analizar el problema.

Fermi estimates are also useful in approaching problems where the optimal choice of calculation method depends on the expected size of the answer. For instance, a Fermi estimate might indicate whether the internal stresses of a structure are low enough that it can be accurately described by linear elasticity; or if the estimate already bears significant relationship in scale relative to some other value, for example, if a structure will be over-engineered to withstand loads several times greater than the estimate.^[8]

Although Fermi calculations are often not accurate, as there may be many problems with their assumptions, this sort of analysis does inform one what to look for to get a better answer. For the above example, one might try to find a better estimate of the number of pianos tuned by a piano tuner in a typical day, or look up an accurate number for the population of Chicago. It also gives a rough estimate that may be good enough for some purposes: if a person wants to start a store in Chicago that sells piano tuning equipment, and calculates that they need 10,000 potential customers to stay in business, they can reasonably assume that the above estimate is far enough below 10,000 that they should consider a different business plan (and, with a little more work, they could compute a rough upper bound on the number of piano tuners by considering the most extreme reasonable values that could appear in each of their assumptions).

• Copernican principle
• Dead reckoning
• Doomsday argument
• Guesstimate
• Handwaving
• Heuristic
• Order of approximation
• Spherical cow
• Stein's example

Los siguientes libros contienen muchos ejemplos de problemas de Fermi con sus soluciones:

• El Grupo de Educación Física de la Universidad de Maryland mantiene una colección de problemas de Fermi.
• Preguntas de Fermi: Una guía para profesores, estudiantes y supervisores de eventos, por Lloyd Abrams.
• "¿Y si? Pinta la Tierra" del libro ¿Y si? Respuestas científicas serias a preguntas hipotéticas absurdas de Randall Munroe .
• Un ejemplo de problema de Fermi relacionado con el consumo total de gasolina por parte de los automóviles desde su invención y su comparación con la energía liberada por el sol.
• "Introducción a las estimaciones de Fermi" de Nuño Sempere, que incluye un esbozo de la demostración de por qué las descomposiciones al estilo de Fermi producen mejores estimaciones.
• "¿Cómo se deben enseñar las matemáticas a quienes no son matemáticos?", por Timothy Gowers .

Existen o han existido varios cursos universitarios dedicados a la estimación y la resolución de problemas de Fermi. Los materiales de estos cursos constituyen una buena fuente de ejemplos adicionales de problemas de Fermi y de información sobre estrategias de resolución.

• 6.055J / 2.038J El arte de la aproximación en ciencia e ingeniería, impartido por Sanjoy Mahajan en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT).
• Física en el reverso de un sobre, curso impartido por Lawrence Weinstein en la Universidad Old Dominion .
• Física del orden de magnitud impartida por Sterl Phinney en el Instituto Tecnológico de California .
• Estimación del orden de magnitud impartida por Patrick Chuang en la Universidad de California, Santa Cruz .
• Resolución de problemas de orden de magnitud impartida por Linda Strubbe en la Universidad de Toronto .
• Física del orden de magnitud impartida por Eugene Chiang en la Universidad de California, Berkeley .
• Capítulo 2: Descubrimientos en el reverso de un sobre, de Fronteras de la ciencia: Hábitos mentales científicos, impartido por David Helfand en la Universidad de Columbia .