Álgebra F

Clásicamente, un grupo es un conjunto${\displaystyle G}$con una ley de grupo${\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}$, con${\displaystyle m(x,y)=x\cdot y}$, que satisfacen tres axiomas: la existencia de un elemento neutro, la existencia de un inverso para cada elemento del grupo y la asociatividad.

Para poner esto en un marco categórico, primero definamos la identidad y la inversa como funciones (morfismos del conjunto${\displaystyle G}$) por${\displaystyle e:1\rightarrow G}$con${\displaystyle e(*)=1}$, y${\displaystyle i:G\rightarrow G}$con${\displaystyle i(x)=x^{-1}}$. Aquí${\displaystyle 1}$denota el conjunto con un elemento${\displaystyle 1=\left\{*\right\}}$, lo que permite identificar elementos${\displaystyle x\in G}$con morfismos${\displaystyle 1\rightarrow G}$.

Entonces es posible escribir los axiomas de un grupo en términos de funciones (nótese la ausencia del cuantificador existencial):

• ${\displaystyle \forall x\in G,\forall y\in G,\forall z\in G,m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z))}$,
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(e(*),x)=m(x,e(*))=x}$,
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(i(x),x)=m(x,i(x))=e(*)}$.

Entonces esto se puede expresar con diagramas conmutativos: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Ahora usa el coproducto (la unión disjunta de conjuntos) para pegar los tres morfismos en uno solo:${\displaystyle \alpha =e+i+m}$de acuerdo a

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha$ :{1}+G+G\times G&\to &G,\\*&\mapsto &1,\\x&\mapsto &x^{-1},\\(x,y)&\mapsto &x\cdot y.\end{matrix}}}

Por lo tanto, un grupo es un${\displaystyle F}$-álgebra donde${\displaystyle F}$es el functor${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Algunos${\displaystyle F}$-álgebra donde${\displaystyle F}$es el functor${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$no son grupos.

La construcción anterior se utiliza para definir objetos de grupo sobre una categoría arbitraria con productos finitos y un objeto terminal.${\displaystyle 1}$Cuando la categoría admite coproductos finitos , los objetos del grupo son${\displaystyle F}$-álgebras. Por ejemplo, los grupos finitos son${\displaystyle F}$-álgebras en la categoría de conjuntos finitos y grupos de Lie son${\displaystyle F}$-álgebras en la categoría de variedades diferenciables con aplicaciones diferenciables .

Yendo un paso más allá del álgebra universal , la mayoría de las estructuras algebraicas son F -álgebras. Por ejemplo, los grupos abelianos son F -álgebras para el mismo functor F ( G ) = 1 + G + G × G que para los grupos, con un axioma adicional para la conmutatividad: m ∘ t = m , donde t ( x , y ) = ( y , x ) es la transpuesta en G x G .

Los monoides son F -álgebras de signatura F ( M ) = 1 + M × M . De la misma forma, los semigrupos son F -álgebras de signatura F ( S ) = S × S

Los anillos , dominios y cuerpos también son F -álgebras con una signatura que involucra dos leyes +,•: R × R → R, una identidad aditiva 0: 1 → R , una identidad multiplicativa 1: 1 → R , y un inverso aditivo para cada elemento -: R → R. Como todas estas funciones comparten el mismo codominio R, se pueden unir en una única función de signatura 1 + 1 + R + R × R + R × R → R , con axiomas para expresar asociatividad, distributividad , etc. Esto hace que los anillos sean F -álgebras en la categoría de conjuntos con signatura 1 + 1 + R + R × R + R × R.

Alternativamente, podemos considerar el functor F ( R ) = 1 + R × R en la categoría de grupos abelianos . En ese contexto, la multiplicación es un homomorfismo, lo que significa que m ( x + y , z ) = m ( x , z ) + m ( y , z ) y m ( x , y + z ) = m ( x , y ) + m ( x , z ), que son precisamente las condiciones de distributividad. Por lo tanto, un anillo es un álgebra F de signatura 1 + R × R sobre la categoría de grupos abelianos que satisface dos axiomas (asociatividad e identidad para la multiplicación).

Cuando llegamos a los espacios vectoriales y módulos , el functor de signatura incluye una multiplicación escalar k × E → E , y la signatura F ( E ) = 1 + E + k × E está parametrizada por k sobre la categoría de cuerpos o anillos.

Las álgebras sobre un cuerpo pueden verse como F -álgebras de signatura 1 + 1 + A + A × A + A × A + k × A sobre la categoría de conjuntos, de signatura 1 + A × A sobre la categoría de módulos (un módulo con una multiplicación interna) y de signatura k × A sobre la categoría de anillos (un anillo con una multiplicación escalar), cuando son asociativas y unitarias.

No todas las estructuras matemáticas son F -álgebras. Por ejemplo, un conjunto parcialmente ordenado P puede definirse en términos categóricos con un morfismo s : P × P → Ω, sobre un clasificador de subobjetos (Ω = {0,1} en la categoría de conjuntos y s ( x , y )=1 precisamente cuando x ≤ y ). Los axiomas que restringen el morfismo s para definir un conjunto parcialmente ordenado pueden reescribirse en términos de morfismos. Sin embargo, como el codominio de s es Ω y no P , no es un F -álgebra.

Sin embargo, los retículos , que son órdenes parciales en los que cada par de elementos tiene un supremo y un ínfimo, y en particular los órdenes totales , son F -álgebras. Esto se debe a que pueden definirse de forma equivalente en términos de las operaciones algebraicas: x ∨ y = inf( x , y ) y x ∧ y = sup( x , y ), sujetas a ciertos axiomas (conmutatividad, asociatividad, absorción e idempotencia). Por lo tanto, son F -álgebras de signatura P x P + P x P . A menudo se dice que la teoría de retículos se basa tanto en la teoría del orden como en el álgebra universal.

Consideremos el functor${\displaystyle F:\mathrm {\bf {Set}} \to \mathrm {\bf {Set}} }$que envía un conjunto${\displaystyle X}$a${\displaystyle 1+X}$. Aquí,${\displaystyle \mathrm {\bf {Set}} }$denota la categoría de conjuntos,${\displaystyle +}$denota el coproducto usual dado por la unión disjunta , y${\displaystyle 1}$es un objeto terminal (es decir, cualquier conjunto unitario ). Entonces, el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales junto con la función${\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$—que es el coproducto de las funciones${\displaystyle \mathrm {zero} :1\mapsto 0}$y${\displaystyle \mathrm {succ} :n\mapsto n+1}$—es un álgebra F.