Fórmula de respuesta exponencial

En matemáticas , la fórmula de respuesta exponencial (FRE), también conocida como respuesta exponencial y reemplazo complejo , es un método utilizado para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de cualquier orden. ^{[1] [2]} La fórmula de respuesta exponencial es aplicable a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes si la función es polinómica , sinusoidal , exponencial o la combinación de las tres. ^{[2] La solución general de una} ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea es una superposición de la solución general de la EDO homogénea asociada y una solución particular de la EDO no homogénea. ^[1] Los métodos alternativos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior son el método de coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros .

El método ERF para hallar una solución particular de una ecuación diferencial no homogénea es aplicable si la ecuación no homogénea se transforma o podría transformarse para formar ; donde son números reales o complejos y es una ecuación diferencial lineal homogénea de cualquier orden. Luego, la fórmula de respuesta exponencial se puede aplicar a cada término del lado derecho de dicha ecuación. Debido a la linealidad, la fórmula de respuesta exponencial se puede aplicar siempre que el lado derecho tenga términos que se sumen mediante el principio de superposición . ${\displaystyle f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}}$${\displaystyle B,\gamma }$${\displaystyle f(t)}$

El reemplazo complejo es un método para convertir un término no homogéneo de una ecuación en una función exponencial compleja, lo que hace que una ecuación diferencial dada sea una exponencial compleja.

Consideremos la ecuación diferencial . ${\displaystyle y''+y=\cos(t)}$

Para realizar una sustitución compleja se puede utilizar la fórmula de Euler ;

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(t)&=\operatorname {Re} (e^{it})=\operatorname {Re} (\cos(t)+i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatorname {Im} (e^{it})=\operatorname {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la ecuación diferencial dada cambia a . La solución de la ecuación diferencial compleja se puede encontrar como , de la cual la parte real es la solución de la ecuación original. ${\displaystyle z''+z=e^{it}}$${\displaystyle z(t)}$

La sustitución compleja se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales cuando el término no homogéneo se expresa en términos de una función sinusoidal o una función exponencial, que se puede convertir en una función exponencial compleja derivada e integrada. Dicha función exponencial compleja es más fácil de manipular que la función original.

Cuando el término no homogéneo se expresa como una función exponencial, se puede utilizar el método ERF o el método de coeficientes indeterminados para encontrar una solución particular . Si los términos no homogéneos no se pueden transformar en una función exponencial compleja, se puede utilizar el método de variación de parámetros de Lagrange para encontrar soluciones.

Las ecuaciones diferenciales son importantes para simular fenómenos naturales. En particular, existen numerosos fenómenos descritos como ecuaciones diferenciales lineales de orden superior , por ejemplo, la vibración de resortes, el circuito LRC , la deflexión de vigas , el procesamiento de señales , la teoría de control y los sistemas LTI con bucles de retroalimentación. ^{[1] [3]}

Matemáticamente, el sistema es invariante en el tiempo si, siempre que la entrada tiene una respuesta , entonces, para cualquier constante "a", la entrada tiene una respuesta . Físicamente, la invariancia en el tiempo significa que la respuesta del sistema no depende de a qué hora comienza la entrada. Por ejemplo, si un sistema de masa-resorte está en equilibrio , responderá a una fuerza dada de la misma manera, sin importar cuándo se haya aplicado la fuerza. ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f(t-a)}$${\displaystyle x(t-a)}$

Cuando el sistema invariante en el tiempo es también lineal, se denomina sistema invariante en el tiempo lineal (sistema LTI). La mayoría de estos sistemas LTI se derivan de ecuaciones diferenciales lineales, donde el término no homogéneo se denomina señal de entrada y la solución de las ecuaciones no homogéneas se denomina señal de respuesta. Si la señal de entrada se da exponencialmente, la señal de respuesta correspondiente también cambia exponencialmente.

Considerando la siguiente ecuación diferencial lineal de orden n.º ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)}$

y denotando

${\displaystyle L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,}$

${\displaystyle D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),}$

donde son los coeficientes constantes, produce el operador diferencial , que es lineal e invariante en el tiempo y se conoce como operador LTI . El operador, se obtiene a partir de su polinomio característico ; ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

reemplazando formalmente la s indeterminada aquí con el operador de diferenciación ${\displaystyle D}$

${\displaystyle L=P(D)}$

${\displaystyle P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I}$

Por lo tanto, la ecuación (1) se puede escribir como

${\displaystyle P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)}$

Teniendo en cuenta la ecuación diferencial LTI anterior, con entrada exponencial , donde y son números dados. Entonces, una solución particular es ${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \gamma }$

Proporcionar únicamente eso . ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$

Prueba : Debido a la linealidad del operador , la ecuación se puede escribir como ${\displaystyle P(D)}$

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)}$

Por otra parte, dado que

${\displaystyle P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t},}$

Sustituyendo esto en la ecuación (3), se obtiene

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.}$

Por lo tanto, es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. ${\displaystyle y_{p}}$

Por lo tanto, la ecuación anterior para una respuesta particular se denomina fórmula de respuesta exponencial (ERF) para la entrada exponencial dada. ${\displaystyle y_{p}}$

En particular, en el caso de , una solución a la ecuación (2) está dada por ${\displaystyle P(\gamma )=0}$

${\displaystyle y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0}$

y se llama fórmula de respuesta resonante .

Encontremos la solución particular de la EDO lineal no homogénea de segundo orden;

${\displaystyle 2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).}$

El polinomio característico es . Además, el término no homogéneo se puede escribir de la siguiente manera ${\displaystyle P(s)=2s^{2}+s+1}$${\displaystyle f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)}$

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).}$

Luego, se encuentran las soluciones particulares correspondientes a y , respectivamente. ${\displaystyle f_{1}(t),f_{2}(t)}$${\displaystyle f_{3}(t)}$

En primer lugar, considerando el término no homogéneo, . En este caso, dado que y . ${\displaystyle f_{1}(t)=1}$${\displaystyle f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0}$${\displaystyle P(\gamma )=P(0)=1\neq 0}$

A partir del ERF se puede encontrar una solución particular correspondiente a. ${\displaystyle f_{1}(t)}$

${\displaystyle x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1}{1}}=1}$.

De manera similar, se puede encontrar una solución particular correspondiente a . ${\displaystyle f_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}.}$

Encontremos una solución particular para DE correspondiente al 3er término;

${\displaystyle 2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).}$

Para ello, la ecuación debe sustituirse por una ecuación de valor complejo, de la que es la parte real:

${\displaystyle 2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.}$

Aplicando la fórmula de respuesta exponencial (FRE), se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\end{aligned}}}$

y la parte real es

${\displaystyle x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).}$

Por lo tanto, la solución particular de la ecuación dada, es ${\displaystyle x_{p}}$

${\displaystyle x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).}$

El método de coeficientes indeterminados es un método para seleccionar apropiadamente un tipo de solución según la forma del término no homogéneo y determinar la constante indeterminada, de modo que satisfaga la ecuación no homogénea. ^[4] Por otro lado, el método ERF obtiene una solución especial basada en el operador diferencial. ^[2] La similitud de ambos métodos es que se obtienen soluciones especiales de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes, mientras que la forma de la ecuación en consideración es la misma en ambos métodos.

Por ejemplo, para encontrar una solución particular de con el método de coeficientes indeterminados se requiere resolver la ecuación característica . Luego se considera el término no homogéneo y, dado que no es una raíz característica , se pone una solución particular en forma de , donde es una constante indeterminada. Sustituyendo en la ecuación para determinar la constante tentativa se obtiene ${\displaystyle y''+y=e^{t}}$${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i}$${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{\gamma t}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}}$

por lo tanto

${\displaystyle A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.}$

La solución particular se puede encontrar en la forma: ^[5]

${\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.}$

Por otra parte, el método de la fórmula de respuesta exponencial requiere que se encuentre un polinomio característico, después de lo cual se reemplazan los términos no homogéneos por complejos. La solución particular se encuentra entonces utilizando la fórmula ${\displaystyle P(s)=s^{2}+1}$${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.}$

En el caso de , se analizó el método de la fórmula de respuesta exponencial . En el caso de , también se considera la fórmula de respuesta resonante .${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$${\displaystyle P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0}$

En el caso de , discutiremos cómo se describirá el método ERF en esta sección. ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0}$

Sea un operador polinómico con coeficientes constantes y su derivada -ésima. Entonces, EDO ${\displaystyle P(D)}$${\displaystyle P^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(D)y=Be^{\gamma t}}$, donde es real o complejo.${\displaystyle \gamma }$

tiene la solución particular como sigue.

• ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$En este caso, una solución particular vendrá dada por ( fórmula de respuesta del exponente )${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}}$

• ${\displaystyle P(\gamma )=0}$ pero . En este caso, una solución particular será dada por .( fórmula de respuesta resonante )${\displaystyle P'(\gamma )\neq 0}$${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}}$

• ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0}$pero . En este caso, una solución particular vendrá dada por${\displaystyle P^{k}(\gamma )\neq 0}$

La ecuación anterior se llama fórmula de respuesta exponencial generalizada .

Para encontrar una solución particular de la siguiente EDO;

${\displaystyle y'''-3y'+2y=6e^{t}.}$

El polinomio característico es . ${\displaystyle P(s)=s^{3}-3s+2}$

Realizando el cálculo obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\neq 0.}$

La fórmula de respuesta exponencial original no es aplicable a este caso debido a la división por cero. Por lo tanto, utilizando la fórmula de respuesta exponencial generalizada y las constantes calculadas, la solución particular es

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t}}{6}}=t^{2}e^{t}.}$

Objeto que cuelga de un resorte con desplazamiento . La fuerza que actúa es la gravedad, la fuerza del resorte, la resistencia del aire y cualquier otra fuerza externa. ${\displaystyle d}$

A partir de la ley de Hooke , la ecuación de movimiento de un objeto se expresa de la siguiente manera: ^{[6] [4]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),}$

¿Dónde está la fuerza externa? ${\displaystyle F(t)}$

Ahora, suponiendo que se descuida el arrastre y , donde (la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural). Por lo tanto, el oscilador armónico con término de fuerza sinusoidal se expresa de la siguiente manera: ${\displaystyle F(t)=F_{0}\cos(\omega t)}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).}$

Entonces, una solución particular es

${\displaystyle x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).}$

Aplicando el reemplazo complejo y el ERF: si es una solución a la DE compleja ${\displaystyle z_{p}}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{i\omega t},}$

entonces será una solución para la DE dada. ${\displaystyle x_{p}=\operatorname {Re} (z_{p})}$

El polinomio característico es , y , de modo que . Sin embargo, dado que , entonces . Por lo tanto, el caso resonante del ERF da ${\displaystyle P(s)=ms^{2}+k}$${\displaystyle \gamma =i\omega }$${\displaystyle P(\gamma )=0}$${\displaystyle P'(s)=2ms}$${\displaystyle P'(\gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}}$

Considerando la corriente eléctrica que fluye a través de un circuito eléctrico, que consta de una resistencia ( ), un condensador ( ), una bobina de cables ( ), y una batería ( ), conectados en serie. ^{[3] [6]}${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$

Este sistema se describe mediante una ecuación diferencial integral encontrada por Kirchhoff llamada ley de voltaje de Kirchhoff , que relaciona la resistencia , el capacitor , el inductor , la batería y la corriente en un circuito de la siguiente manera: ${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle LI'(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds}$

Diferenciando ambos lados de la ecuación anterior, se produce la siguiente EDO.

${\displaystyle LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}}I(t)=E(t)}$

Ahora, suponiendo , donde . ( se denomina frecuencia de resonancia en el circuito LRC ). Según el supuesto anterior, se puede encontrar la salida (solución particular) correspondiente a la entrada . Para ello, la entrada dada se puede convertir en forma compleja: ${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im} (E_{0}e^{i\omega _{0}t})}$

El polinomio característico es , donde . Por lo tanto, a partir del ERF, se puede obtener una solución particular de la siguiente manera: ${\displaystyle P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}}$${\displaystyle P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}}$

Considerando el sistema LTI general

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

donde es la entrada y se dan los operadores polinómicos, mientras se supone que . En caso de que , una solución particular para la ecuación dada es ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle P(D),Q(D)}$${\displaystyle P(s)\neq 0}$${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)}$

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}\right).}$

Considerando los siguientes conceptos utilizados en física y procesamiento de señales principalmente.

• La amplitud de la entrada es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de entrada.${\displaystyle F_{0}}$
• La frecuencia angular de la entrada es . Tiene unidades de radianes/tiempo. A menudo se la denominará frecuencia, aunque técnicamente la frecuencia debería tener unidades de ciclos/tiempo.${\displaystyle \omega }$
• La amplitud de la respuesta es . Tiene las mismas unidades que la cantidad de respuesta.${\displaystyle A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$
• La ganancia es . La ganancia es el factor por el que se multiplica la amplitud de entrada para obtener la amplitud de la respuesta. Tiene las unidades necesarias para convertir las unidades de entrada en unidades de salida.${\displaystyle g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$
• El desfase es . El desfase tiene unidades de radianes, es decir, no tiene dimensiones.${\displaystyle \phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))}$
• El desfase temporal es . Tiene unidades de tiempo. Es el tiempo que transcurre entre el pico de salida y el pico de entrada.${\displaystyle \phi /\omega }$
• La ganancia compleja es . Este es el factor por el que se multiplica la entrada compleja para obtener la salida compleja.${\displaystyle Q(i\omega )/P(i\omega )}$

• Operadores y fórmula de respuesta exponencial
• Fórmula de respuesta exponencial generalizada