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Articulo de referencia

Método de coeficientes indeterminados

En matemáticas , el método de coeficientes indeterminados es una técnica para encontrar una solución particular a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas y rel...

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En matemáticas , el método de coeficientes indeterminados es una técnica para encontrar una solución particular a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas y relaciones de recurrencia . Está estrechamente relacionado con el método del anulador , pero en lugar de utilizar un operador diferencial específico (el anulador) para hallar la mejor forma posible de la solución, se realiza una suposición o hipótesis sobre la forma adecuada, la cual se comprueba derivando la ecuación resultante. Para ecuaciones complejas, el método del anulador o la variación de parámetros requiere menos tiempo de cálculo.

El método de coeficientes indeterminados no es tan general como el de variación de parámetros , ya que solo funciona para ecuaciones diferenciales que siguen ciertas formas. [ 1 ]

Descripción del método

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de la forma

∑i=0nortedoiy(i)+y(norte+1)=gramo(incógnita){\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}
dóndey(i){\displaystyle y^{(i)}}denota la i-ésima derivada dey{\displaystyle y}, ydoi{\displaystyle c_{i}}denota una función deincógnita{\displaystyle x}.

El método de coeficientes indeterminados proporciona un método directo para obtener la solución de esta EDO cuando se cumplen dos criterios: [ 2 ]

  1. doi{\displaystyle c_{i}}son constantes.
  2. g ( x ) es una constante, una función polinómica, una función exponencial.miαincógnita{\displaystyle e^{\alpha x}}funciones seno o cosenopecado⁡βincógnita{\displaystyle \sin {\beta x}}oporque⁡βincógnita{\displaystyle \cos {\beta x}}, o sumas y productos finitos de estas funciones (α{\displaystyle {\alpha }},β{\displaystyle {\beta }}constantes).

El método consiste en encontrar la solución homogénea general.ydo{\displaystyle y_{c}}para la ecuación diferencial homogénea lineal complementaria

∑i=0nortedoiy(i)+y(norte+1)=0,{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}

y una integral particularypag{\displaystyle y_{p}}de la ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea basada engramo(incógnita){\displaystyle g(x)}. Entonces, la solución generaly{\displaystyle y}a la ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea sería

y=ydo+ypag.{\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}[ 3 ]

Sigramo(incógnita){\displaystyle g(x)}consiste en la suma de dos funcionesh(incógnita)+w(incógnita){\displaystyle h(x)+w(x)}y decimos queypag1{\displaystyle y_{p_{1}}}es la solución basada enh(incógnita){\displaystyle h(x)}yypag2{\displaystyle y_{p_{2}}}la solución basada enw(incógnita){\displaystyle w(x)}. Entonces, utilizando un principio de superposición , podemos decir que la integral particularypag{\displaystyle y_{p}}es [ 3 ]

ypag=ypag1+ypag2.{\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}

Formas típicas de la integral particular

Para hallar la integral en cuestión, necesitamos inferir su forma, dejando algunos coeficientes como variables a resolver. Esto se representa mediante la primera derivada de la función complementaria. A continuación, se muestra una tabla con algunas funciones típicas y la solución aproximada para cada una.

Si un término de la integral particular anterior para y aparece en la solución homogénea, es necesario multiplicarlo por una potencia suficientemente grande de x para que la solución sea independiente. Si la función de x es una suma de términos de la tabla anterior, la integral particular se puede estimar utilizando una suma de los términos correspondientes para y . [ 1 ]

Ejemplos

Ejemplo 1

Halla una integral particular de la ecuación

y″+y=tporque⁡t.{\displaystyle y''+y=t\cos t.}

El lado derecho t  cos t tiene la forma 

PAGnortemiαtporque⁡βt{\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}}

con n = 2, α = 0 y β = 1.

Dado que α + iβ = i es una raíz simple de la ecuación característica

λ2+1=0{\displaystyle \lambda ^{2}+1=0}

deberíamos probar una integral particular de la forma

ypag=t[F1(t)miαtporque⁡βt+GRAMO1(t)miαtpecado⁡βt]=t[F1(t)porque⁡t+GRAMO1(t)pecado⁡t]=t[(A0t+A1)porque⁡t+(B0t+B1)pecado⁡t]=(A0t2+A1t)porque⁡t+(B0t2+B1t)pecado⁡t.{\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}}

Sustituyendo y p en la ecuación diferencial, tenemos la identidad

tporque⁡t=ypag″+ypag=[(A0t2+A1t)porque⁡t+(B0t2+B1t)pecado⁡t]″+[(A0t2+A1t)porque⁡t+(B0t2+B1t)pecado⁡t]=[2A0porque⁡t+2(2A0t+A1)(−pecado⁡t)+(A0t2+A1t)(−porque⁡t)+2B0pecado⁡t+2(2B0t+B1)porque⁡t+(B0t2+B1t)(−pecado⁡t)]+[(A0t2+A1t)porque⁡t+(B0t2+B1t)pecado⁡t]=[4B0t+(2A0+2B1)]porque⁡t+[−4A0t+(−2A1+2B0)]pecado⁡t.{\displaystyle {\begin{aligned}t\cos t&=y_{p}''+y_{p}\\&=\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]''+\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=\left[2A_{0}\cos t+2\left(2A_{0}t+A_{1}\right)(-\sin t)+\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)(-\cos t)+2B_{0}\sin t+2\left(2B_{0}t+B_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)(-\sin t)\right]\\&\qquad +\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos t+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin t.\end{aligned}}}

Comparando ambos lados, tenemos

{1=4B00=2A0+2B10=−4A00=−2A1+2B0{\displaystyle {\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}}

que tiene la solución

A0=0,A1=B0=14,B1=0.{\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.}

Entonces tenemos una integral particular.

ypag=14tporque⁡t+14t2pecado⁡t.{\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.}

Ejemplo 2

Consideremos la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea:

dydincógnita=y+miincógnita.{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.}

Esto es como el primer ejemplo anterior, excepto que la parte no homogénea (miincógnita{\displaystyle e^{x}}) no es linealmente independiente de la solución general de la parte homogénea (do1miincógnita{\displaystyle c_{1}e^{x}}); como resultado, tenemos que multiplicar nuestra estimación por una potencia suficientemente grande de x para que sea linealmente independiente.

Nuestra suposición es la siguiente:

ypag=Aincógnitamiincógnita.{\displaystyle y_{p}=Axe^{x}.}

Sustituyendo esta función y su derivada en la ecuación diferencial, se puede despejar A :

ddincógnita(Aincógnitamiincógnita)=Aincógnitamiincógnita+miincógnita{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}}
Aincógnitamiincógnita+Amiincógnita=Aincógnitamiincógnita+miincógnita{\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}}
A=1.{\displaystyle A=1.}

Por lo tanto, la solución general a esta ecuación diferencial es:

y=do1miincógnita+incógnitamiincógnita.{\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.}

Ejemplo 3

Halla la solución general de la ecuación:

dydt=t2−y{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y}

t2{\displaystyle t^{2}}es un polinomio de grado 2, por lo que buscamos una solución usando la misma forma,

ypag=At2+Bt+do,{\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C,}

Sustituyendo esta función en particular en la ecuación original se obtiene:

2At+B=t2−(At2+Bt+do),{\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),}
2At+B=(1−A)t2−Bt−do,{\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,}
(A−1)t2+(2A+B)t+(B+do)=0.{\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.}

lo que da como resultado:

A−1=0,2A+B=0,B+do=0.{\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.}

Despejando las constantes obtenemos:

ypag=t2−2t+2{\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2}

Para encontrar la solución general,

y=ypag+ydo{\displaystyle y=y_{p}+y_{c}}

dóndeydo{\displaystyle y_{c}}es la solución homogéneaydo=do1mi−t{\displaystyle y_{c}=c_{1}e^{-t}}Por lo tanto, la solución general es:

y=t2−2t+2+do1mi−t{\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}}

Referencias

  1. 1 2 Ralph P. Grimaldi (2000). "Relaciones de recurrencia no homogéneas". Sección 3.3.3 del Manual de matemáticas discretas y combinatorias . Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.
  2. ↑ Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). Matemáticas avanzadas para ingeniería . Jones and Bartlett. pág. 125. ISBN  978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  3. 1 2 Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso de ecuaciones diferenciales . Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.
  • Boyce, WE; DiPrima, RC (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (4.ª  ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.
  • Riley, KF; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  • Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Dover. ISBN 978-0-486-64940-5.
  • de Oliveira, ORB (2013). "Una fórmula que sustituye los coeficientes indeterminados y los métodos del aniquilador". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol . 44 (3): 462– 468. arXiv : 1110.4425 . Bibcode : 2013IJMES..44..462R . doi : 10.1080/0020739X.2012.714496 . S2CID 55834468 .