Método aniquilador

En matemáticas , el método del aniquilador es un procedimiento utilizado para hallar una solución particular a ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no homogéneas . ^{[ 1 ]} Es similar al método de coeficientes indeterminados , pero en lugar de adivinar la solución particular, en este método la solución particular se determina sistemáticamente. La expresión « coeficientes indeterminados» también puede referirse al paso del método del aniquilador en el que se calculan los coeficientes.

El método del aniquilador se utiliza de la siguiente manera. Dada la ecuación diferencial ordinaria${\displaystyle P(D)y=f(x)}$, encontrar otro operador diferencial${\displaystyle A(D)}$de tal manera que${\displaystyle A(D)f(x)=0}$Este operador se llama aniquilador , de ahí el nombre del método. Aplicando${\displaystyle A(D)}$Al aplicar esta fórmula a ambos lados de la EDO se obtiene una EDO homogénea.${\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}$para lo cual encontramos una base de solución${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$como antes. Luego, la EDO no homogénea original se utiliza para construir un sistema de ecuaciones que restringe los coeficientes de la combinación lineal para satisfacer la EDO.

Este método no es tan general como la variación de parámetros, en el sentido de que no siempre existe un aniquilador.

Dónde${\displaystyle k}$está en los números naturales , y${\displaystyle k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}}$están en las cifras reales .

Si${\displaystyle f(x)}$consiste en la suma de las expresiones dadas en la tabla, el anulador es el producto de los anuladores correspondientes.

Dado${\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}$,${\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5}$. El aniquilador más simple de${\displaystyle \sin(kx)}$es${\displaystyle A(D)=D^{2}+k^{2}}$. Los ceros de${\displaystyle A(z)P(z)}$son${\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}$, por lo tanto, la base de la solución de${\displaystyle A(D)P(D)}$es${\displaystyle \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.}$

Configuración${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}}$encontramos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}$

dando el sistema

${\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}$

${\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}$

que tiene soluciones

${\displaystyle c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}}$,${\displaystyle c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}}$

proporcionando el conjunto de soluciones

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}}$

Esta solución se puede dividir en partes homogéneas y no homogéneas. En particular,${\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}$es una integral particular para la ecuación diferencial no homogénea, y${\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$es una solución complementaria a la ecuación homogénea correspondiente. Los valores de${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Se determinan generalmente mediante un conjunto de condiciones iniciales. Dado que se trata de una ecuación de segundo orden, se necesitan dos de dichas condiciones para determinar estos valores.

Las soluciones fundamentales${\displaystyle y_{1}=e^{(2+i)x}}$y${\displaystyle y_{2}=e^{(2-i)x}}$puede reescribirse aún más utilizando la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}$

${\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}$

Entonces${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x}$y una reasignación adecuada de las constantes da una forma más simple y comprensible de la solución complementaria,${\displaystyle y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)}$.