Soluciones exactas de problemas clásicos de fuerza central

En el problema clásico de fuerza central de la mecánica clásica , algunas funciones de energía potencial${\displaystyle V(r)}$Producen movimientos u órbitas que pueden expresarse en términos de funciones bien conocidas, como las funciones trigonométricas y las funciones elípticas . Este artículo describe dichas funciones y las soluciones correspondientes para las órbitas.

Dejar${\displaystyle r=1/u}$. Entonces la ecuación de Binet para${\displaystyle u(\varphi )}$se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central${\displaystyle F(1/u)}$Sin embargo, solo un puñado de fuerzas dan como resultado fórmulas para${\displaystyle u}$en términos de funciones conocidas. La solución para${\displaystyle \varphi }$puede expresarse como una integral sobre${\displaystyle u}$

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración se puede resolver en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley de potencia, es decir, si${\displaystyle F(r)=ar^{n}}$, entonces${\displaystyle u}$se puede expresar en términos de funciones circulares y/o funciones elípticas si${\displaystyle n}$es igual a 1, -2, -3 (funciones circulares) y -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 y -7/3 (funciones elípticas). ^{[ 1 ]}

Si la fuerza es la suma de una ley cuadrática inversa y un término lineal, es decir, si${\displaystyle F(r)={\frac {a}{r^{2}}}+cr}$, el problema también se resuelve explícitamente en términos de funciones elípticas de Weierstrass . ^{[ 2 ]}

• Whittaker ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de tres cuerpos (4.ª  ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-521-35883-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Izzo, D. y Biscani, F. (2014). Solución exacta al problema de aceleración radial constante . Journal of Guidance Control and Dynamic.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )