producto de Euler

En teoría de números , un producto de Euler es una expansión de una serie de Dirichlet en un producto infinito indexado por números primos . El producto original de este tipo se definió como la suma de todos los enteros positivos elevados a una determinada potencia, como demostró Leonhard Euler . Esta serie y su continuación en todo el plano complejo se conocerían posteriormente como la función zeta de Riemann .

En general, si a es una función multiplicativa acotada , entonces la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

es igual a

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }P(p,s)\quad {\text{para }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

donde el producto se toma sobre los números primos p , y P ( p , s ) es la suma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

De hecho, si consideramos estas como funciones generadoras formales , la existencia de tal expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que a ( n ) sea multiplicativa: esto dice exactamente que a ( n ) es el producto de a ( p ^k ) siempre que n se factorice como el producto de las potencias p ^k de primos distintos p .

Un caso especial importante es aquel en el que a ( n ) es totalmente multiplicativo , de modo que P ( p , s ) es una serie geométrica . Entonces

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

como es el caso de la función zeta de Riemann , donde a ( n ) = 1 , y más generalmente para los caracteres de Dirichlet .

En la práctica, todos los casos importantes son tales que las expansiones en serie infinita y en producto infinito convergen absolutamente en alguna región.

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos . Esto ya proporciona cierta información, puesto que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por lo tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en dicho semiplano.

En la teoría de formas modulares, es típico tener productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado m y la teoría de representación para GL _m .

Los siguientes ejemplos utilizarán la notación${\displaystyle \mathbb {P} }$para el conjunto de todos los números primos, es decir:

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \mid p{\text{ is prime}}\}.}$

El producto de Euler asociado a la función zeta de Riemann ζ ( s ) , utilizando también la suma de la serie geométrica, es

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

mientras que para la función de Liouville λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} , es

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Utilizando sus recíprocos, se obtienen dos productos de Euler para la función de Möbius μ ( n )

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

y

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Tomando la razón de estos dos obtenemos

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

Dado que para valores pares de s la función zeta de Riemann ^ζ ( s ) tiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional de πs , entonces para exponentes pares, este producto infinito se evalúa como un número racional. Por ejemplo, dado que ζ ( ² ) = π² / 6 , ζ ( 4 ) = π⁴ ^/ 90 y ζ ( 8 ) = π⁸ / ⁹⁴⁵⁰ , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, con el primer resultado conocido por Ramanujan . Esta familia de productos infinitos también es equivalente a

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

donde ω ( n ) cuenta el número de factores primos distintos de n , y 2 ^{ω ( n )} es el número de divisores libres de cuadrados .

Si χ ( n ) es un carácter de Dirichlet del conductor N , de modo que χ es totalmente multiplicativo y χ ( n ) solo depende de n mod N , y χ ( n ) = 0 si n no es coprimo con N , entonces

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Aquí es conveniente omitir las primas p que dividen al conductor N del producto.

Muchas constantes bien conocidas tienen expansiones en productos de Euler.

La fórmula de Leibniz para π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

puede interpretarse como una serie de Dirichlet utilizando el carácter de Dirichlet (único) módulo  4, y convertirse en un producto de Euler de razones superparticulares (fracciones donde el numerador y el denominador difieren en 1):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

donde cada numerador es un número primo y cada denominador es el múltiplo más cercano de 4. ^{[ 1 ]}

Dividiendo el producto de Euler para${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$Según el producto anterior, conocido como problema de Basilea , se encuentra que

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right).}$

Tomando la razón de los dos productos anteriores se obtiene

${\displaystyle 2=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p-1}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p+1}{p-1}}\right).}$

Los productos infinitos deben tomarse en orden creciente de números primos.

Otros productos de Euler para constantes conocidas incluyen:

• La constante prima gemela de Hardy-Littlewood :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161\ldots }$

• La constante de Landau-Ramanujan :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223\ldots \\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223\ldots \end{aligned}}}$

• Constante de Murata (secuencia A065485 en la OEIS ) :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419\ldots }$

• La constante fuertemente despreocupada × ζ (2) ² OEIS : A065472  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883\ldots }$

• Constante de Artin OEIS : A005596  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955\ldots }$

• Constante del paciente de Landau OEIS : A082695  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596\ldots }$

• La constante despreocupada × ζ (2) OEIS : A065463  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442\ldots }$

y su OEIS recíproco : A065489  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562\ldots }$

• La constante Feller-Tornier OEIS : A065493  :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317\ldots }$

• La constante de número de clase cuadrática OEIS : A065465  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513\ldots }$

• La constante sumatoria del totient OEIS : A065483  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

• Constante de Sarnak OEIS : A065476  :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648\ldots }$

• La constante despreocupada OEIS : A065464  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249\ldots }$

• La constante fuertemente despreocupada OEIS : A065473  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747\ldots }$

• Constante de Stephens OEIS : A065478  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959\ldots }$

• Constante de Barban OEIS : A175640  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536\ldots }$

• OEIS  constante de Taniguchi : A175639 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234\ldots }$

• La constante Heath-Brown y Moroz OEIS : A118228  :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176\ldots }$