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Electrostática

Cacahuetes de espuma adheridos al pelaje de un gato debido a la electricidad estática . El pelaje del gato se carga debido al efecto triboeléctrico . El campo eléctrico del pela...

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Un gato atigrado cubierto de bolitas de poliestireno expandido.
Cacahuetes de espuma adheridos al pelaje de un gato debido a la electricidad estática . El pelaje del gato se carga debido al efecto triboeléctrico . El campo eléctrico del pelaje cargado provoca la polarización de las moléculas de la espuma debido a la inducción electrostática , lo que resulta en una ligera atracción de los trozos de plástico ligeros hacia el pelaje. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Este efecto también es la causa de la adherencia estática en la ropa.

La electrostática es una rama de la física que estudia las cargas eléctricas estacionarias o de movimiento lento en objetos macroscópicos, donde los efectos cuánticos pueden despreciarse. En estas circunstancias, el campo eléctrico, el potencial eléctrico y la densidad de carga están relacionados sin las complicaciones derivadas de los efectos magnéticos.

Desde la antigüedad clásica , se sabe que algunos materiales, como el ámbar , atraen partículas ligeras después de frotarlos . [ 5 ] La palabra griega ḗlektron ( ἤλεκτρον ), que significa 'ámbar', fue así la raíz de la palabra electricidad . Los fenómenos electrostáticos surgen de las fuerzas que las cargas eléctricas ejercen entre sí. Dichas fuerzas se describen mediante la ley de Coulomb .

Existen numerosos ejemplos de fenómenos electrostáticos, desde aquellos tan simples como la atracción del envoltorio de plástico hacia la mano después de retirarlo del paquete, hasta la explosión aparentemente espontánea de silos de grano, los daños a componentes electrónicos durante la fabricación y el funcionamiento de fotocopiadoras e impresoras láser .

Ley de Coulomb

La ley de Coulomb establece que: [ 6 ]

La magnitud de la fuerza electrostática de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

La fuerza actúa a lo largo de la línea recta que las une. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas es repulsiva; si tienen signos diferentes, la fuerza entre ellas es atractiva.

Sir{\displaystyle r}es la distancia (en metros ) entre dos cargas, entonces la fuerza entre dos cargas puntualesQ{\displaystyle Q}yq{\displaystyle q}es:

F=14πε0|Qq|r2,{\displaystyle F={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{|Qq| \over r^{2}},}

donde ε 0 =8,854 187 8188 (14) × 10 −12  F⋅m −1 ‍ [7 ] es la permitividad del vacío . [ 8 ]

La unidad SI de ε 0 es equivalentemente A 2 ⋅ s 4 ⋅kg −1 ⋅m −3 o C 2 ⋅ N −1 ⋅m −2 o F ⋅m −1 .

Campo eléctrico

El campo electrostático (líneas con flechas) de una carga positiva cercana (+) provoca la separación de las cargas móviles en los objetos conductores debido a la inducción electrostática . Las cargas negativas (azul) son atraídas y se desplazan hacia la superficie del objeto que da a la carga externa. Las cargas positivas (rojo) son repelidas y se desplazan hacia la superficie opuesta. Estas cargas superficiales inducidas tienen el tamaño y la forma precisos para que su campo eléctrico opuesto cancele el campo eléctrico de la carga externa en todo el interior del metal. Por lo tanto, el campo electrostático en todo el interior de un objeto conductor es cero y el potencial electrostático es constante.

El campo eléctrico,mi{\displaystyle \mathbf {E} }, en unidades de newtons por culombio o voltios por metro, es un campo vectorial que puede definirse en todas partes, excepto en la ubicación de cargas puntuales (donde diverge al infinito). [ 9 ] Se define como la fuerza electrostáticaF{\displaystyle \mathbf {F} }sobre una pequeña carga de prueba hipotética en el punto debido a la ley de Coulomb, dividida por la cargaq{\displaystyle q}

mi=Fq{\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {F} \over q}}

Las líneas de campo eléctrico son útiles para visualizar el campo eléctrico. Estas líneas comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas. Son paralelas a la dirección del campo eléctrico en cada punto, y la densidad de estas líneas es una medida de la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto dado.

Una colección denorte{\displaystyle n}partículas de cargaqi{\displaystyle q_{i}}, ubicados en puntosri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}(llamados puntos fuente ) genera el campo eléctrico enr{\displaystyle \mathbf {r} }(llamado punto de campo ) de: [ 9 ]

mi(r)=14πε0∑i=1norteqir−ri^|r−ri|2=14πε0∑i=1norteqir−ri|r−ri|3,{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r-r_{i}} }} \over {|\mathbf {r-r_{i}} |}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r-r_{i}} \over {|\mathbf {r-r_{i}} |}^{3}},}

dónder−ri{\textstyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}es el vector de desplazamiento desde un punto de origenri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}al punto de campor{\displaystyle \mathbf {r} }, yr−ri^ =dmiF r−ri|r−ri|{\textstyle {\hat {\mathbf {r-r_{i}} }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r-r_{i}} }{|\mathbf {r-r_{i}} |}}}es el vector unitario del vector de desplazamiento que indica la dirección del campo debido a la fuente en el puntori{\displaystyle \mathbf {r_{i}} }. Para una carga puntual única,q{\displaystyle q}En el origen, la magnitud de este campo eléctrico es mi=q/4πε0r2{\displaystyle E=q/4\pi \varepsilon _ {0}r^{2}}y apunta en dirección opuesta a esa carga si es positiva. El hecho de que la fuerza (y por lo tanto el campo) se pueda calcular sumando todas las contribuciones debidas a partículas fuente individuales es un ejemplo del principio de superposición . El campo eléctrico producido por una distribución de cargas viene dado por la densidad de carga volumétrica.ρ(r){\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}y se puede obtener convirtiendo esta suma en una integral triple :

mi(r)=14πε0∭ρ(r′)r−r′|r−r′|3d3|r′|{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {rr'} \over {|\mathbf {rr'} |}^{3}}\mathrm {d} ^{3}|\mathbf {r} '|}

Ley de Gauss

La ley de Gauss [ 10 ] [ 11 ] establece que "el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre, de cualquier forma, dibujada en un campo eléctrico, es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie". Muchos problemas numéricos pueden resolverse considerando una superficie gaussiana alrededor de un cuerpo. Matemáticamente, la ley de Gauss adopta la forma de una ecuación integral:

Φmi=∮Smi⋅dA=Qadjuntoε0=∫Vρε0d3r,{\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={Q_{\text{enclosed}} \over \varepsilon _{0}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\mathrm {d} ^{3}r,}

dónded3r=dincógnita dy dz{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}es un elemento de volumen. Si la carga se distribuye sobre una superficie o a lo largo de una línea, reemplaceρd3r{\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}porσdA{\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}oλdℓ{\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }El teorema de la divergencia permite escribir la ley de Gauss en forma diferencial:

∇⋅mi=ρε0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}.}

dónde∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot }es el operador de divergencia .

Ecuaciones de Poisson y Laplace

La definición de potencial electrostático, combinada con la forma diferencial de la ley de Gauss (arriba), proporciona una relación entre el potencial Φ y la densidad de carga ρ :

∇2ϕ=−ρε0.{\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}

Esta relación es una forma de la ecuación de Poisson . [ 12 ] En ausencia de carga eléctrica no apareada, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace :

∇2ϕ=0,{\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}

aproximación electrostática

Resumen de las relaciones electrostáticas entre potencial eléctrico, campo eléctrico y densidad de carga. Aquí,r=incógnita−incógnita′{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }.

Si se puede suponer que el campo eléctrico en un sistema resulta de cargas estáticas, es decir, un sistema que no presenta campos magnéticos variables en el tiempo significativos, el sistema se analiza justificadamente utilizando únicamente los principios de la electrostática. Esto se denomina "aproximación electrostática". [ 13 ]

La validez de la aproximación electrostática se basa en la suposición de que el campo eléctrico es irrotacional , o casi irrotacional:

∇×mi≈0.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \approx 0.}

Según la ley de Faraday , esta suposición implica la ausencia o casi ausencia de campos magnéticos variables en el tiempo:

∂B∂t≈0.{\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}\approx 0.}

En otras palabras, la electrostática no requiere la ausencia de campos magnéticos o corrientes eléctricas. Más bien, si existen campos magnéticos o corrientes eléctricas , no deben cambiar con el tiempo, o en el peor de los casos, deben cambiar con el tiempo muy lentamente . En algunos problemas, tanto la electrostática como la magnetostática pueden ser necesarias para predicciones precisas, pero el acoplamiento entre ambas aún puede ignorarse. Tanto la electrostática como la magnetostática pueden considerarse límites galileanos no relativistas para el electromagnetismo. [ 14 ] Además, la electrostática convencional ignora los efectos cuánticos, que deben agregarse para una descripción completa. [ 9 ] : 2

Potencial electrostático

Como el campo eléctrico es irrotacional , es posible expresar el campo eléctrico como el gradiente de una función escalar,ϕ{\displaystyle \phi }, llamado potencial electrostático (también conocido como voltaje ). Un campo eléctrico,mi{\displaystyle E}, apunta desde regiones de alto potencial eléctrico a regiones de bajo potencial eléctrico, expresado matemáticamente como

mi=−∇ϕ.{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}

El teorema del gradiente se puede utilizar para establecer que el potencial electrostático es la cantidad de trabajo por unidad de carga requerida para mover una carga desde un puntoa{\displaystyle a}señalarb{\displaystyle b}con la siguiente integral de línea :

−∫abmi⋅dℓ=ϕ(b)−ϕ(a).{\displaystyle -\int _{a}^{b}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }=\phi (\mathbf {b} )-\phi (\mathbf {a} ).}

A partir de estas ecuaciones, vemos que el potencial eléctrico es constante en cualquier región en la que el campo eléctrico se anula (como ocurre dentro de un objeto conductor).

energía electrostática

La energía potencial de una partícula de prueba ,Umisoltero{\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}, se puede calcular a partir de una integral de línea del trabajo,qnortemi⋅dℓ{\displaystyle q_{n}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }. Integramos desde un punto en el infinito y asumimos una colección denorte{\displaystyle N}partículas de cargaQnorte{\displaystyle Q_{n}}ya están situados en los puntosri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}Esta energía potencial (en julios ) es:

Umisoltero=qϕ(r)=q4πε0∑i=1norteQi‖Ri‖{\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\mathbf {R} _{i}}}\right\|}}}

dóndeRi=r−ri{\displaystyle \mathbf {\mathcal {R_{i}}} =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}es la distancia de cada cargaQi{\displaystyle Q_{i}}de la carga de pruebaq{\displaystyle q}, que está situado en el puntor{\displaystyle \mathbf {r} }, yϕ(r){\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}es el potencial eléctrico que estaría enr{\displaystyle \mathbf {r} }si la carga de prueba no estuviera presente. Si solo hay dos cargas presentes, la energía potencial esQ1Q2/(4πε0r){\displaystyle Q_{1}Q_{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r)}La energía potencial eléctrica total debida a un conjunto de N cargas se calcula sumando la de cada partícula:

Umitotal=14πε0∑j=1norteQj∑i=1j−1Qirij=12∑i=1norteQiϕi,{\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}

donde la siguiente suma desde j = 1 hasta N excluye i = j :

ϕi=14πε0∑j≠ij=1norteQjrij.{\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}

Este potencial eléctrico,ϕi{\displaystyle \phi _{i}}es lo que se mediría enri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}si el cargoQi{\displaystyle Q_{i}}Faltaban. Esta fórmula obviamente excluye la energía (infinita) que se requeriría para ensamblar cada carga puntual a partir de una nube de carga dispersa. La suma sobre las cargas se puede convertir en una densidad de carga integral utilizando la prescripción.∑(⋯)→∫(⋯)ρd3r{\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}:

Umitotal=12∫ρ(r)ϕ(r)d3r=ε02∫|mi|2d3r,{\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}

Esta segunda expresión para la energía electrostática utiliza el hecho de que el campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial eléctrico, así como identidades del cálculo vectorial de una manera que se asemeja a la integración por partes . Estas dos integrales para la energía del campo eléctrico parecen indicar dos fórmulas mutuamente excluyentes para la densidad de energía electrostática, a saber:12ρϕ{\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }y12ε0mi2{\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}; dan valores iguales para la energía electrostática total solo si ambas se integran sobre todo el espacio.

Presión electrostática

Dentro de un conductor eléctrico , no hay campo eléctrico. [ 15 ] El campo eléctrico externo se ha equilibrado mediante cargas superficiales debido al movimiento de portadores de carga , ya sea hacia o desde otras partes del material, conocido como inducción electrostática . La ecuación que relaciona el campo justo encima de una pequeña porción de la superficie y la carga superficial es mi⋅norte^=σϵ0{\displaystyle \mathbf {E\cdot {\hat {n}}} ={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}} dónde

  • norte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }= el vector normal unitario de la superficie,
  • σ{\displaystyle \mathbf {\sigma } }= la densidad de carga superficial.

El campo eléctrico promedio, la mitad del valor externo, [ 16 ] también ejerce una fuerza ( ley de Coulomb ) sobre el parche conductor donde la fuerzaF{\displaystyle \mathbf {f} }es dado por

F=12ϵ0σ2norte^{\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{2\epsilon _{0}}}\sigma ^{2}\mathbf {\hat {n}} }.

En términos del campo justo fuera de la superficie, la fuerza es equivalente a una presión dada por:

PAG=ε02(mi⋅norte^)2,{\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}(\mathbf {E\cdot {\hat {n}}} )^{2},}

Esta presión actúa perpendicularmente a la superficie del conductor, independientemente de si: las cargas móviles son electrones, huecos o protones móviles ; el signo de la carga superficial; o el signo de la componente normal a la superficie del campo eléctrico. [ 16 ] Nótese que existe una forma similar para la electroestricción en un dieléctrico . [ 17 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Ling, Samuel J.; Moebs, William; Sanny, Jeff (2019). Física Universitaria, vol. 2 . AbiertoStax. ISBN 9781947172210.Capítulo 30: Conductores, aislantes y carga por inducción
  2. ↑ Bloomfield, Louis A. (2015). Cómo funcionan las cosas: La física de la vida cotidiana . John Wiley and Sons. pág. 270. ISBN  9781119013846.
  3. ↑ "Polarización" . Electricidad estática – Lección 1 – Terminología y conceptos básicos . El aula de física. 2020. Consultado el 18 de junio de 2021 .
  4. ↑ Thompson, Xochitl Zamora (2004). "¡Cárgalo! Todo sobre la atracción y repulsión eléctrica" . Enseñar ingeniería: currículo STEM para K-12 . Universidad de Colorado . Recuperado el 18 de junio de 2021 .
  5. ↑ Brockman, CJ (octubre de 1929). "La historia de la electricidad antes del descubrimiento de la pila voltaica". Journal of Chemical Education . 6 (10): 1726– 1732. doi : 10.1021/ed006p1726 .
  6. ↑ J, Griffiths (2017). Introducción a la electrodinámica . Cambridge University Press. págs. 296–354 . doi : 10.1017/9781108333511.008 . ISBN  978-1-108-33351-1. Consultado el 11 de agosto de 2023 .
  7. ↑ "Valor CODATA 2022: permitividad eléctrica del vacío" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
  8. ↑ Matthew Sadiku (2009). Elementos de electromagnetismo . Oxford University Press. pág. 104. ISBN  9780195387759.
  9. 1 2 3 Purcell, Edward M. (2013). Electricidad y magnetismo . Cambridge University Press. págs. 16–18 . ISBN  978-1107014022.
  10. ↑ «Sur l'attraction des sphéroides elliptiques, por M. de La Grange» . Colección General de Matemáticas . doi : 10.1163/9789004460409_mor2-b29447057 . Consultado el 11 de agosto de 2023 .
  11. ^ Gauss, Carl Friedrich (15 de enero de 1978) [1877], "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum, método nova tractata" , Werke , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 279–286 , doi : 10.1007/978-3-642-49319-5_8 , ISBN  978-3-642-49320-1, consultado el 11 de agosto de 2023
  12. ^ Poisson, M; ciencias (Francia), Académie royale des (1827). Mémoires de l'Académie (royale) des sciences de l'Institut (imperial) de France . vol. 6. París. 
  13. ↑ Montgomery, David (1970). "Validez de la aproximación electrostática". Física de fluidos . 13 (5): 1401– 1403. Bibcode : 1970PhFl...13.1401M . doi : 10.1063/1.1693079 . hdl : 2060/19700015014 .
  14. ↑ Heras, JA (2010). "Los límites galileanos de las ecuaciones de Maxwell". American Journal of Physics . 78 (10): 1048– 1055. arXiv : 1012.1068 . Bibcode : 2010AmJPh..78.1048H . doi : 10.1119/1.3442798 . S2CID 118443242 . 
  15. ↑ Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricidad y magnetismo . Cambridge Univ. Press. págs. 127–128 . ISBN  978-1107014022.
  16. 1 2 Griffiths, David J. (2 de noviembre de 2023). Introducción a la electrodinámica (5.ª ed.). Cambridge University Press. págs. §2.5.3. doi : 10.1017/9781009397735 . ISBN   978-1-009-39773-5.
  17. ↑ Sundar, V.; Newnham, RE (1992-10-01). "Electrostricción y polarización" . Ferroelectrics . 135 (1): 431– 446. doi : 10.1080/00150199208230043 . ISSN 0015-0193 . 

Lecturas adicionales

  • Hermann A. Haus; James R. Melcher (1989). Campos electromagnéticos y energía . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-249020-X.
  • Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane (1992). Física . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80457-6.
  • Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con la electrostática en Wikimedia Commons.
  • Las Lecciones de Física de Feynman, Vol. II, Cap. 4: Electrostática
  • Introducción a la electrostática : Las cargas puntuales pueden tratarse como una distribución utilizando la función delta de Dirac.

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