cantidad económica de pedido

La cantidad económica de pedido ( EOQ ), también conocida como cantidad financiera de compra o cantidad económica de compra , es la cantidad de pedido que minimiza los costos totales de almacenamiento y de pedido en la gestión de inventarios . Es uno de los modelos clásicos más antiguos de programación de la producción . El modelo fue desarrollado por Ford W. Harris en 1913, pero el consultor R. H. Wilson lo aplicó ampliamente, y tanto él como K. Andler son reconocidos por su análisis exhaustivo. ^{[ 1 ]}

La EOQ indica el número óptimo de unidades a pedir para minimizar el coste total asociado a la compra, entrega y almacenamiento de un producto.

El EOQ (Cantidad Económica de Pedido) solo se aplica cuando la demanda de un producto es constante durante un período de tiempo (como un año) y cada nuevo pedido se entrega completo cuando el inventario llega a cero. Existe un costo fijo para cada pedido, independientemente de la cantidad de artículos solicitados; se supone que un pedido contiene un solo tipo de artículo. También existe un costo por cada unidad almacenada, comúnmente conocido como costo de mantenimiento , que a veces se expresa como un porcentaje del costo de compra del artículo. Si bien la formulación del EOQ es sencilla, factores como las tarifas de transporte y los descuentos por volumen influyen en su aplicación práctica.

Los parámetros necesarios para la solución son la demanda total anual, el costo de compra de cada artículo, el costo fijo de realizar un pedido y el costo de almacenamiento anual de cada artículo. Cabe destacar que la frecuencia de los pedidos también influye en el costo total, si bien este valor puede determinarse a partir de los demás parámetros.

• ${\displaystyle T}$= costo total anual del inventario
• ${\displaystyle P}$= precio unitario de compra , costo unitario de producción
• ${\displaystyle Q}$= cantidad del pedido
• ${\displaystyle Q^{*}}$= cantidad óptima de pedido
• ${\displaystyle D}$= cantidad de demanda anual
• ${\displaystyle K}$= costo fijo por pedido, costo de preparación ( no por unidad, generalmente costo de pedido, envío y manejo. Este no es el costo de los bienes)
• ${\displaystyle h}$= costo anual de mantenimiento por unidad, también conocido como costo de almacenamiento o costo de tenencia ( costo de capital , espacio de almacén, refrigeración , seguro, costo de oportunidad (precio x interés), etc., generalmente no relacionado con el costo de producción unitario)

La fórmula EOQ de un solo artículo encuentra el punto mínimo de la siguiente función de costo:

Coste total = coste de compra o coste de producción + coste de pedido + coste de almacenamiento

Dónde:

• Costo de compra: Este es el costo variable de los bienes: precio unitario de compra × cantidad demandada anualmente. Esto es .${\displaystyle P\times D}$
• Costo de pedido: Este es el costo de realizar pedidos: cada pedido tiene un costo fijo y necesitamos realizar pedidos veces al año. Este es${\displaystyle K}$${\displaystyle D/Q}$${\displaystyle KD/Q}$
• Costo de mantenimiento: la cantidad promedio en existencias (entre completamente reabastecido y vacío) es , por lo que este costo es${\displaystyle Q/2}$${\displaystyle hQ/2}$

${\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}}$.

Para determinar el punto mínimo de la curva de costo total , calcule la derivada del costo total con respecto a Q (suponiendo que todas las demás variables son constantes) e iguálela a 0:

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}$

Al despejar Q, obtenemos Q* (la cantidad óptima de pedido):

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}$

Por lo tanto:

Q* es independiente de P; es una función únicamente de K, D, h.

El valor óptimo Q* también puede hallarse reconociendo que

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}$

donde desaparece el término cuadrático no negativo para el cual se proporciona el costo mínimo${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$${\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}$

• Cantidad requerida anualmente (D) = 10000 unidades
• Costo por pedido (K) = 40
• Costo por unidad (P) = 50
• Costo anual de mantenimiento por unidad = 4
• Interés del mercado = 2%

Cantidad económica de pedido = = 400 unidades ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$

Número de pedidos por año (según el EOQ)${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

Costo total${\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}$

Costo total${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

Si comprobamos el coste total para cualquier cantidad de pedido distinta de 400 (=EOQ), veremos que el coste es mayor. Por ejemplo, suponiendo 500 unidades por pedido, entonces

Costo total${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

De manera similar, si elegimos 300 para la cantidad del pedido, entonces

Costo total${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}$

Esto demuestra que la cantidad económica de pedido siempre redunda en el mejor interés de la empresa.

Una extensión importante del modelo EOQ es la incorporación de descuentos por cantidad. Existen dos tipos principales de descuentos por cantidad: (1) totales y (2) incrementales. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Aquí hay un ejemplo numérico:

• Descuento incremental por unidad: Las unidades 1 a 100 cuestan $30 cada una; las unidades 101 a 199 cuestan $28 cada una; y las unidades 200 en adelante cuestan $26 cada una. Por lo tanto, al pedir 150 unidades, el costo total es de $30 * 100 + $28 * 50.
• Descuento por volumen: un pedido de 1 a 1000 unidades cuesta $50 cada una; un pedido de 1001 a 5000 unidades cuesta $45 cada una; un pedido de más de 5000 unidades cuesta $40 cada una. Por lo tanto, al pedir 1500 unidades, el costo total es de $45 * 1500.

Para encontrar la cantidad óptima de pedido bajo diferentes esquemas de descuento por cantidad, se deben utilizar algoritmos; estos algoritmos se desarrollan bajo el supuesto de que la política EOQ sigue siendo óptima con descuentos por cantidad. Perera et al. (2017) ^{[ 4 ]} establecen esta optimalidad y caracterizan completamente la optimalidad (s,S) dentro del contexto EOQ bajo estructuras de costos generales.

Ante un cliente estratégico que responde de forma óptima a los programas de descuentos, el diseño de un esquema óptimo de descuentos por volumen por parte del proveedor es complejo y debe realizarse con cuidado. Esto es especialmente cierto cuando la demanda del cliente es incierta. Se produce un efecto interesante denominado «efecto látigo inverso», en el que un aumento de la incertidumbre en la demanda del consumidor reduce la incertidumbre en la cantidad de pedidos del proveedor. ^{[ 5 ]}

Se pueden realizar varias extensiones al modelo EOQ, incluidos los costos de pedidos pendientes ^{[ 6 ]} y múltiples artículos. En el caso de que se permitan pedidos pendientes, los costos de mantenimiento de inventario por ciclo son: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Qs-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Qs)^{2},}$

donde s es el número de pedidos pendientes cuando se entrega la cantidad de pedido Q y es la tasa de demanda. El costo de los pedidos pendientes por ciclo es: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}$

donde y son los costos de pedidos pendientes, , siendo T la duración del ciclo y . El costo variable anual promedio es la suma de los costos de pedidos, los costos de mantenimiento de inventario y los costos de pedidos pendientes: ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\hat {\pi }}}$${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$${\displaystyle T_{1}=(Q-s)/\lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}$

Para minimizar, imponga que las derivadas parciales sean iguales a cero: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera se obtiene la siguiente ecuación cuadrática :

${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

Si s=0 o es óptimo. En el primer caso, el lote óptimo viene dado por la fórmula clásica EOQ; en el segundo caso, nunca se realiza un pedido y el coste anual mínimo viene dado por . Si o es óptimo, entonces no debería haber ningún sistema de inventario. Si al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtiene: ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0}$${\displaystyle s=\infty }$${\displaystyle \pi \lambda }$${\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta }$${\displaystyle \pi \lambda >K_{w}}$${\displaystyle s^{*}=0}$${\displaystyle \pi <\delta }$${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$

${\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}$

${\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}$

Si hay pedidos pendientes , el punto de reorden es: ; donde m es el entero más grande y μ la demanda del tiempo de entrega . ${\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}}$${\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}$

Además, el intervalo de pedido económico ^{[ 8 ]} se puede determinar a partir del EOQ y el modelo de cantidad económica de producción (que determina la cantidad óptima de producción) se puede determinar de manera similar.

Una versión del modelo, el modelo Baumol-Tobin , también se ha utilizado para determinar la función de demanda de dinero , donde los saldos monetarios de una persona pueden verse de forma paralela a las existencias de una empresa. ^{[ 9 ]}

Malakooti (2013) ^{[ 10 ]} ha introducido los modelos EOQ multicriterio donde los criterios podrían ser minimizar el costo total, la cantidad de pedido (inventario) y las faltas.

Trippi y Lewin desarrollaron una versión que tiene en cuenta el valor temporal del dinero. ^{[ 11 ]}

Otra extensión importante del modelo EOQ es considerar artículos con calidad imperfecta. Salameh y Jaber (2000) fueron los primeros en estudiar a fondo los artículos imperfectos en un modelo EOQ. Consideran un problema de inventario en el que la demanda es determinista y existe una fracción de artículos imperfectos en el lote, los cuales son seleccionados por el comprador y vendidos al final del ciclo a precio de descuento. ^{[ 12 ]}

Dave Piasecki identifica dos maneras en que se puede implementar el uso de un enfoque EOQ:

• un método de hoja de cálculo , mediante el cual el EOQ para cada artículo de inventario se calcula y registra manualmente.
• Introducción de la fórmula EOQ en un sistema de gestión de inventario nuevo o existente.

Sugiere que una implementación basada en sistemas sería beneficiosa cuando el número de unidades de mantenimiento de existencias supera las 2000 aproximadamente. Se recomienda la actualización anual de datos y fórmulas. Un sistema híbrido implicaría descargar los datos a una hoja de cálculo para realizar los cálculos y luego volver a aplicarlos dentro del sistema de inventario. ^{[ 13 ]}

El modelo EOQ y su modelo hermano, el modelo de cantidad económica de producción (EPQ), han sido criticados por "su conjunto restrictivo de supuestos". ^{[ 14 ]} Guga y Musa utilizan el modelo para un estudio de caso de una empresa albanesa y concluyen que el modelo es "perfecto en teoría, pero no muy adecuado desde la perspectiva práctica de esta empresa". ^{[ 15 ]} Sin embargo, James Cargal señala que la fórmula se desarrolló cuando los cálculos empresariales se realizaban "a mano", o utilizando tablas logarítmicas o una regla de cálculo . El uso de hojas de cálculo y software especializado permite una mayor versatilidad en el uso de la fórmula y la adopción de "supuestos más realistas" que en el modelo original. ^{[ 16 ]}

• Punto de reorden
• existencias de seguridad
• cantidad de producción económica
• Modelo de vendedor de periódicos
• Modelo de tamaño de lote dinámico
• Problema de programación de lotes económicos

• Harris, Ford W. Costo de operaciones (Serie de administración de fábricas), Chicago: Shaw (1915)
• Harris, Ford W. (1913). "Cuántas piezas fabricar a la vez". Factory, la revista de gestión . 10 : 135–136 , 152.
• Camp, WE, "Determinación de la cantidad de pedido de producción", Ingeniería de gestión, 1922
• Wilson, RH (1934). "Una rutina científica para el control de existencias". Harvard Business Review . 13 : 116–28 .
• Plossel, George. Planificación de requerimientos de materiales de Orlicky. Segunda edición. McGraw Hill. 1984. (Primera edición: 1975)
• Erlenkotter, Donald (2014). "El modelo de tamaño de lote económico de Ford Whitman Harris" . International Journal of Production Economics . 155 : 12–15 . doi : 10.1016/j.ijpe.2013.12.008 . S2CID  153794306 .
• Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). "Optimalidad de las políticas (s,S) en modelos EOQ con estructuras de costos generales". International Journal of Production Economics . 187 : 216–228 . doi : 10.1016/j.ijpe.2016.09.017 .
• Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). "Optimalidad de las políticas de inventario (s, S) bajo demanda de renovación y estructuras de costos generales". Production and Operations Management . 27 (2): 368– 383. doi : 10.1111/poms.12795 . hdl : 2027.42/142450 .
• Tsan-Ming Choi (Ed.) Manual de problemas de inventario EOQ: modelos estocásticos y deterministas y aplicaciones, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. doi : 10.1007/978-1-4614-7639-9 .
• Ventura, Robert; Samuel, Stephen (2016). "Optimización de la inyección de combustible en un motor GDI utilizando la cantidad de pedido económica y la función W de Lambert" . Applied Thermal Engineering . 101 : 112–20 . doi : 10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024 .
• Demanda de renovación y optimalidad (s, S) por Perera, Janakiraman y Niu [1]

• El modelo EOQ
• Piasecki, D., Documentos de consultoría sobre operaciones de inventario