Modelo matemático

Un modelo matemático es una descripción abstracta de un sistema concreto mediante conceptos y lenguaje matemáticos . El proceso de desarrollo de un modelo matemático se denomina modelado matemático . Los modelos matemáticos se utilizan en numerosos campos, como las matemáticas aplicadas , las ciencias naturales , las ciencias sociales ^[¹^]^[²^] y la ingeniería . En particular, el campo de la investigación operativa estudia el uso del modelado matemático y herramientas relacionadas para resolver problemas en operaciones comerciales o militares. Un modelo puede ayudar a caracterizar un sistema mediante el estudio de los efectos de sus diferentes componentes, lo que permite realizar predicciones sobre su comportamiento o resolver problemas específicos.

Elementos de un modelo matemático

Los modelos matemáticos pueden adoptar diversas formas, como sistemas dinámicos , modelos estadísticos , ecuaciones diferenciales o modelos de teoría de juegos . Estos y otros tipos de modelos pueden superponerse, e incluso un mismo modelo puede involucrar diversas estructuras abstractas. En muchos casos, la calidad de un campo científico depende de la concordancia entre los modelos matemáticos desarrollados teóricamente y los resultados de experimentos repetibles. La falta de concordancia entre los modelos matemáticos teóricos y las mediciones experimentales suele conducir a avances importantes a medida que se desarrollan mejores teorías. En las ciencias físicas , un modelo matemático tradicional contiene la mayoría de los siguientes elementos:

Ecuaciones rectoras
Submodelos suplementarios
1. Definición de ecuaciones
2. Ecuaciones constitutivas
Supuestos y restricciones
1. Condiciones iniciales y de contorno
2. Restricciones clásicas y ecuaciones cinemáticas

Clasificaciones

Los modelos matemáticos son de diferentes tipos:

Lineal frente a no lineal

Si todos los operadores de un modelo matemático presentan linealidad , el modelo resultante se define como lineal. Los demás modelos se consideran no lineales. La definición de linealidad y no linealidad depende del contexto, y los modelos lineales pueden contener expresiones no lineales. Por ejemplo, en un modelo estadístico lineal , se asume que una relación es lineal en los parámetros, pero puede ser no lineal en las variables predictoras. De manera similar, una ecuación diferencial se considera lineal si puede escribirse con operadores diferenciales lineales , aunque puede contener expresiones no lineales. En un modelo de programación matemática , si las funciones objetivo y las restricciones se representan completamente mediante ecuaciones lineales , el modelo se considera lineal. Si una o más funciones objetivo o restricciones se representan mediante una ecuación no lineal , el modelo se denomina no lineal.

La estructura lineal implica que un problema puede descomponerse en partes más simples que pueden tratarse de forma independiente o analizarse a una escala diferente, y por lo tanto, que los resultados seguirán siendo válidos si el problema inicial se recompone o se reescala.

La no linealidad, incluso en sistemas relativamente simples, suele asociarse con fenómenos como el caos y la irreversibilidad . Si bien existen excepciones, los sistemas y modelos no lineales tienden a ser más difíciles de estudiar que los lineales. Un enfoque común para los problemas no lineales es la linealización , pero esto puede resultar problemático si se intenta estudiar aspectos como la irreversibilidad, que están estrechamente ligados a la no linealidad.

Estático versus dinámico

Un modelo dinámico considera los cambios en el estado del sistema que dependen del tiempo, mientras que un modelo estático (o de estado estacionario) calcula el sistema en equilibrio y, por lo tanto, es invariante en el tiempo. Los modelos dinámicos se representan típicamente mediante ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias .

Explícito vs. implícito

Si se conocen todos los parámetros de entrada del modelo general y los parámetros de salida se pueden calcular mediante una serie finita de cálculos, se dice que el modelo es explícito . Pero a veces se conocen los parámetros de salida y las entradas correspondientes deben resolverse mediante un procedimiento iterativo, como el método de Newton o el método de Broyden . En tal caso, se dice que el modelo es implícito . Por ejemplo, las propiedades físicas de un motor a reacción, como las áreas de la turbina y la garganta de la tobera, se pueden calcular explícitamente a partir de un ciclo termodinámico de diseño (caudales de aire y combustible, presiones y temperaturas) en una condición de vuelo y configuración de potencia específicas, pero los ciclos operativos del motor en otras condiciones de vuelo y configuraciones de potencia no se pueden calcular explícitamente a partir de las propiedades físicas constantes.

Discreto frente a continuo

Un modelo discreto trata los objetos como discretos, como las partículas en un modelo molecular o los estados en un modelo estadístico ; mientras que un modelo continuo representa los objetos de manera continua, como el campo de velocidad del fluido en flujos de tuberías, las temperaturas y tensiones en un sólido, y el campo eléctrico que se aplica continuamente sobre todo el modelo debido a una carga puntual.

Determinista frente a probabilístico (estocástico)

Un modelo determinista es aquel en el que cada conjunto de estados de las variables está determinado de forma unívoca por los parámetros del modelo y por los estados previos de dichas variables; por lo tanto, un modelo determinista siempre se comporta de la misma manera para un conjunto dado de condiciones iniciales. Por el contrario, en un modelo estocástico —generalmente llamado « modelo estadístico »— existe aleatoriedad, y los estados de las variables no se describen mediante valores únicos, sino mediante distribuciones de probabilidad .

Deductivo, inductivo o flotante

AUn modelo deductivo es una estructura lógica basada en una teoría. Un modelo inductivo surge de hallazgos empíricos y su generalización. Si un modelo no se basa ni en una teoría ni en una observación, puede describirse como un modelo "flotante". La aplicación de las matemáticas en las ciencias sociales, fuera de la economía, ha sido criticada por la falta de fundamento de sus modelos.^{[ 3 ]} La aplicación de la teoría de las catástrofes en la ciencia se ha caracterizado como un modelo flotante.^{[ 4 ]}

Estratégico frente a no estratégico

Los modelos utilizados en la teoría de juegos se distinguen por modelar agentes con incentivos incompatibles, como especies competidoras o postores en una subasta. Los modelos estratégicos asumen que los jugadores son tomadores de decisiones autónomos que eligen racionalmente acciones que maximizan su función objetivo. Un desafío clave al usar modelos estratégicos es definir y calcular conceptos de solución como el equilibrio de Nash . Una propiedad interesante de los modelos estratégicos es que separan el razonamiento sobre las reglas del juego del razonamiento sobre el comportamiento de los jugadores. ^{[ 5 ]}

Construcción

En los negocios y la ingeniería , se pueden usar modelos matemáticos para maximizar un resultado determinado. El sistema en cuestión requerirá ciertas entradas. El sistema que relaciona las entradas con las salidas también depende de otras variables: variables de decisión , variables de estado , variables exógenas y variables aleatorias . Las variables de decisión a veces se conocen como variables independientes. Las variables exógenas a veces se conocen como parámetros o constantes . Las variables no son independientes entre sí, ya que las variables de estado dependen de las variables de decisión, de entrada, aleatorias y exógenas. Además, las variables de salida dependen del estado del sistema (representado por las variables de estado).

Los objetivos y las restricciones del sistema y sus usuarios pueden representarse como funciones de las variables de salida o de estado. Las funciones objetivo dependerán de la perspectiva del usuario del modelo. Según el contexto, una función objetivo también se conoce como índice de rendimiento , ya que es una medida de interés para el usuario. Si bien no hay límite para la cantidad de funciones objetivo y restricciones que puede tener un modelo, su uso u optimización se vuelve más complejo (computacionalmente) a medida que aumenta su número. Por ejemplo, los economistas suelen aplicar álgebra lineal al utilizar modelos de entrada-salida . Los modelos matemáticos complejos con muchas variables pueden consolidarse mediante el uso de vectores, donde un símbolo representa varias variables.

Información a priori

Para analizar algo con un enfoque típico de "caja negra", solo se tendrá en cuenta el comportamiento del estímulo/respuesta para inferir la *caja* (desconocida) . La representación habitual de este *sistema de caja negra* es un diagrama de flujo de datos centrado en la caja.

Los problemas de modelado matemático suelen clasificarse en modelos de caja negra o caja blanca , según la cantidad de información previa disponible sobre el sistema. Un modelo de caja negra es un sistema del que no se dispone de información previa. Un modelo de caja blanca (también llamado caja transparente) es un sistema del que se dispone de toda la información necesaria. Prácticamente todos los sistemas se sitúan en algún punto intermedio entre los modelos de caja negra y caja blanca, por lo que este concepto solo resulta útil como guía intuitiva para decidir qué enfoque adoptar.

Por lo general, es preferible utilizar la mayor cantidad de información a priori posible para lograr un modelo más preciso. Por lo tanto, los modelos de caja blanca suelen considerarse más sencillos, ya que si se utiliza la información correctamente, el modelo se comportará correctamente. A menudo, la información a priori se presenta en forma de funciones que relacionan diferentes variables. Por ejemplo, si creamos un modelo sobre cómo actúa un medicamento en el organismo humano, sabemos que la cantidad de medicamento en la sangre suele ser una función de decaimiento exponencial , pero aún nos quedan varios parámetros desconocidos: ¿con qué rapidez disminuye la cantidad de medicamento y cuál es la cantidad inicial en la sangre? Este ejemplo, por lo tanto, no es un modelo de caja blanca completo. Estos parámetros deben estimarse mediante algún método antes de poder utilizar el modelo.

En los modelos de caja negra, se intenta estimar tanto la forma funcional de las relaciones entre variables como los parámetros numéricos de dichas funciones. Utilizando información a priori, podríamos obtener, por ejemplo, un conjunto de funciones que probablemente describan adecuadamente el sistema. Si no hay información a priori, intentaríamos usar funciones lo más generales posible para abarcar todos los modelos diferentes. Un enfoque frecuentemente utilizado para los modelos de caja negra son las redes neuronales , que generalmente no hacen suposiciones sobre los datos de entrada. Alternativamente, los algoritmos NARMAX (modelo de media móvil autorregresiva no lineal con entradas exógenas), desarrollados como parte de la identificación de sistemas no lineales ^{[ 6 ],} pueden utilizarse para seleccionar los términos del modelo, determinar su estructura y estimar los parámetros desconocidos en presencia de ruido correlacionado y no lineal. La ventaja de los modelos NARMAX en comparación con las redes neuronales es que NARMAX produce modelos que pueden escribirse y relacionarse con el proceso subyacente, mientras que las redes neuronales producen una aproximación opaca.

Información subjetiva

En ocasiones, resulta útil incorporar información subjetiva a un modelo matemático. Esto puede hacerse basándose en la intuición , la experiencia , la opinión de expertos o la conveniencia de la forma matemática. La estadística bayesiana proporciona un marco teórico para incorporar dicha subjetividad en un análisis riguroso: se especifica una distribución de probabilidad previa (que puede ser subjetiva) y, posteriormente, se actualiza esta distribución en función de datos empíricos.

Un ejemplo de cuándo sería necesario este enfoque es una situación en la que un experimentador dobla ligeramente una moneda y la lanza una vez, registrando si sale cara, y luego se le pide que prediga la probabilidad de que el siguiente lanzamiento también salga cara. Tras doblar la moneda, se desconoce la probabilidad real de que salga cara; por lo tanto, el experimentador tendría que decidir (quizás observando la forma de la moneda) qué distribución previa utilizar. La incorporación de esta información subjetiva podría ser importante para obtener una estimación precisa de la probabilidad.

Complejidad

En general, la complejidad de un modelo implica una compensación entre su simplicidad y precisión. La navaja de Occam es un principio particularmente relevante para el modelado, cuya idea esencial es que, entre modelos con un poder predictivo aproximadamente igual, el más simple es el más deseable. Si bien una mayor complejidad suele mejorar el realismo de un modelo, puede dificultar su comprensión y análisis, y también puede plantear problemas computacionales, incluida la inestabilidad numérica . Thomas Kuhn sostiene que, a medida que la ciencia avanza, las explicaciones tienden a volverse más complejas antes de que un cambio de paradigma ofrezca una simplificación radical. ^{[ 7 ]}

Por ejemplo, al modelar el vuelo de una aeronave, podríamos integrar cada componente mecánico en nuestro modelo, obteniendo así un modelo casi de caja blanca. Sin embargo, el coste computacional de añadir tal cantidad de detalles limitaría considerablemente el uso de dicho modelo. Además, la incertidumbre aumentaría debido a la excesiva complejidad del sistema, ya que cada componente introduce cierta varianza en el modelo. Por lo tanto, suele ser conveniente realizar algunas aproximaciones para reducir el modelo a un tamaño razonable. Los ingenieros suelen aceptar ciertas aproximaciones para obtener un modelo más robusto y sencillo. Por ejemplo, la mecánica clásica de Newton es un modelo aproximado del mundo real. Aun así, el modelo de Newton es suficiente para la mayoría de las situaciones cotidianas, siempre que la velocidad de las partículas sea muy inferior a la de la luz y solo estudiemos macropartículas. Cabe destacar que una mayor precisión no implica necesariamente un mejor modelo. Los modelos estadísticos son propensos al sobreajuste, lo que significa que un modelo se ajusta demasiado a los datos y pierde su capacidad de generalizar a nuevos eventos que no se observaron anteriormente.

Entrenamiento, puesta a punto y ajuste

Cualquier modelo que no sea de caja blanca pura contiene algunos parámetros que pueden usarse para ajustar el modelo al sistema que pretende describir. Si el modelado se realiza mediante una red neuronal artificial u otro aprendizaje automático , la optimización de parámetros se llama entrenamiento , mientras que la optimización de hiperparámetros del modelo se llama ajuste y a menudo utiliza validación cruzada . ^{[ 8 ]} En el modelado más convencional a través de funciones matemáticas dadas explícitamente, los parámetros a menudo se determinan mediante ajuste de curvas .

Evaluación y valoración

Una parte crucial del proceso de modelado es evaluar si un modelo matemático determinado describe un sistema con precisión. Esta pregunta puede ser difícil de responder, ya que implica varios tipos de evaluación.

Predicción de datos empíricos

Por lo general, la parte más sencilla de la evaluación de un modelo consiste en comprobar si predice mediciones experimentales u otros datos empíricos no utilizados en su desarrollo. En modelos con parámetros, un enfoque común es dividir los datos en dos subconjuntos disjuntos: datos de entrenamiento y datos de verificación. Los datos de entrenamiento se utilizan para estimar los parámetros del modelo. Un modelo preciso coincidirá estrechamente con los datos de verificación, aunque estos no se hayan utilizado para establecer sus parámetros. Esta práctica se conoce como validación cruzada en estadística.

Definir una métrica para medir las distancias entre los datos observados y predichos es una herramienta útil para evaluar el ajuste de un modelo. En estadística, teoría de la decisión y algunos modelos económicos , una función de pérdida cumple una función similar. Si bien es relativamente sencillo comprobar la idoneidad de los parámetros, puede resultar más difícil validar la forma matemática general de un modelo. En general, se han desarrollado más herramientas matemáticas para evaluar el ajuste de modelos estadísticos que de modelos que involucran ecuaciones diferenciales . En ocasiones, se pueden utilizar herramientas de estadística no paramétrica para evaluar el ajuste de los datos a una distribución conocida o para desarrollar un modelo general que solo haga suposiciones mínimas sobre su forma matemática.

Alcance del modelo

Evaluar el alcance de un modelo, es decir, determinar a qué situaciones es aplicable, puede resultar menos sencillo. Si el modelo se construyó a partir de un conjunto de datos, es necesario determinar para qué sistemas o situaciones los datos conocidos constituyen un conjunto de datos "típico". La cuestión de si el modelo describe adecuadamente las propiedades del sistema entre los puntos de datos se denomina interpolación , y la misma cuestión para eventos o puntos de datos fuera de los datos observados se denomina extrapolación .

Como ejemplo de las limitaciones típicas del alcance de un modelo, al evaluar la mecánica clásica newtoniana , podemos observar que Newton realizó sus mediciones sin equipos avanzados, por lo que no pudo medir las propiedades de partículas que viajan a velocidades cercanas a la de la luz. Del mismo modo, no midió los movimientos de moléculas y otras partículas pequeñas, sino solo de macropartículas. Por lo tanto, no sorprende que su modelo no se extrapole bien a estos dominios, aunque sea bastante suficiente para la física de la vida cotidiana.

Consideraciones filosóficas

Muchos tipos de modelado implican implícitamente afirmaciones sobre causalidad . Esto suele ser cierto (aunque no siempre) en el caso de los modelos que utilizan ecuaciones diferenciales. Dado que el objetivo del modelado es ampliar nuestra comprensión del mundo, la validez de un modelo no solo reside en su ajuste a las observaciones empíricas, sino también en su capacidad de extrapolar a situaciones o datos que van más allá de los descritos originalmente en el modelo. Esto puede entenderse como la diferenciación entre predicciones cualitativas y cuantitativas. También se puede argumentar que un modelo carece de valor a menos que proporcione alguna perspectiva que vaya más allá de lo que ya se conoce mediante la investigación directa del fenómeno estudiado.

Un ejemplo de esta crítica es el argumento de que los modelos matemáticos de la teoría de la búsqueda óptima de alimento no ofrecen una perspectiva que vaya más allá de las conclusiones de sentido común de la evolución y otros principios básicos de la ecología. ^{[ 9 ]} Cabe señalar también que, si bien el modelado matemático utiliza conceptos y lenguaje matemáticos, no es en sí mismo una rama de las matemáticas y no necesariamente se ajusta a ninguna lógica matemática, sino que suele ser una rama de alguna ciencia u otra disciplina técnica, con conceptos y estándares de argumentación correspondientes. ^{[ 10 ]}

Importancia en las ciencias naturales

Los modelos matemáticos son de gran importancia en las ciencias naturales, especialmente en la física . Las teorías físicas se expresan casi invariablemente mediante modelos matemáticos. A lo largo de la historia, se han desarrollado modelos matemáticos cada vez más precisos. Las leyes de Newton describen con exactitud muchos fenómenos cotidianos, pero en ciertos límites es necesario recurrir a la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica .

En física, es común usar modelos idealizados para simplificar las cosas. Cuerdas sin masa, partículas puntuales, gases ideales y la partícula en una caja son algunos de los muchos modelos simplificados que se usan en física. Las leyes de la física se representan con ecuaciones simples como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Schrödinger . Estas leyes son la base para crear modelos matemáticos de situaciones reales. Muchas situaciones reales son muy complejas y, por lo tanto, se modelan de forma aproximada en una computadora; un modelo que sea computacionalmente factible de calcular se crea a partir de las leyes básicas o de modelos aproximados creados a partir de las leyes básicas. Por ejemplo, las moléculas se pueden modelar mediante modelos de orbitales moleculares que son soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger. En ingeniería , los modelos físicos a menudo se crean mediante métodos matemáticos como el análisis de elementos finitos .

Los distintos modelos matemáticos utilizan geometrías diferentes que no necesariamente describen con precisión la geometría del universo. La geometría euclidiana se usa mucho en la física clásica, mientras que la relatividad especial y la relatividad general son ejemplos de teorías que utilizan geometrías que no son euclidianas. ^{[ 11 ]}

Los modelos computacionales son modelos matemáticos utilizados en simulaciones por computadora de sistemas físicos. ^{[ 12 ]}

Algunas aplicaciones

A menudo, cuando los ingenieros analizan un sistema para controlarlo u optimizarlo, utilizan un modelo matemático. En el análisis, pueden construir un modelo descriptivo del sistema como hipótesis sobre su posible funcionamiento, o intentar estimar cómo un evento imprevisto podría afectarlo. De manera similar, en el control de un sistema, pueden probar diferentes enfoques de control mediante simulaciones .

Un modelo matemático suele describir un sistema mediante un conjunto de variables y un conjunto de ecuaciones que establecen relaciones entre ellas. Las variables pueden ser de diversos tipos: números reales o enteros , valores booleanos o cadenas de caracteres , por ejemplo. Estas variables representan propiedades del sistema, como las salidas medidas, a menudo en forma de señales , datos de temporización , contadores y eventos. El modelo propiamente dicho es el conjunto de funciones que describen las relaciones entre las diferentes variables.

Ejemplos

En informática, uno de los ejemplos más comunes son los modelos matemáticos de diversas máquinas. Un ejemplo es el autómata finito determinista (AFD), que se define como un concepto matemático abstracto, pero debido a su naturaleza determinista, puede implementarse en hardware y software para resolver diversos problemas específicos. Por ejemplo, el siguiente es un AFD M con un alfabeto binario, que requiere que la entrada contenga un número par de ceros:

{\displaystyle M} — El diagrama de estados para $M$

M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)

dónde

$Q=\{S_{1},S_{2}\},$
$\Sigma =\{0,1\},$
$q_{0}=S_{1},$
$F=\{S_{1}\},$ y
$\delta$ se define mediante la siguiente tabla de transición de estados :

El estado

S_{1}

representa que ha habido un número par de 0 en la entrada hasta ahora, mientras que

S_{2}

significa un número impar. Un 1 en la entrada no cambia el estado del autómata. Cuando la entrada termina, el estado mostrará si la entrada contenía un número par de 0 o no. Si la entrada contenía un número par de 0,

M

terminará en el estado

S_{1},

un estado de aceptación, por lo que la cadena de entrada será aceptada.

El idioma reconocido por

M

es el lenguaje regular dado por la expresión regular 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*, donde "*" es la estrella de Kleene , por ejemplo, 1* denota cualquier número no negativo (posiblemente cero) de símbolos "1".

Muchas actividades cotidianas que realizamos sin pensarlo son usos de modelos matemáticos. Una proyección cartográfica de una región de la Tierra sobre una superficie plana y pequeña es un modelo que puede utilizarse para diversos fines, como la planificación de viajes. ^{[ 13 ]}
Otra actividad sencilla consiste en predecir la posición de un vehículo a partir de su posición inicial, dirección y velocidad, utilizando la ecuación que establece que la distancia recorrida es el producto del tiempo y la velocidad. Esto se conoce como navegación a estima cuando se utiliza de forma más formal. El modelado matemático de esta manera no requiere necesariamente matemáticas formales; se ha demostrado que los animales utilizan la navegación a estima. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}
Crecimiento de la población . Un modelo simple (aunque aproximado) de crecimiento de la población es el modelo de crecimiento malthusiano . Un modelo de crecimiento de la población un poco más realista y ampliamente utilizado es la función logística y sus extensiones.
Modelo de una partícula en un campo potencial . En este modelo, consideramos una partícula como un punto de masa que describe una trayectoria en el espacio, la cual se modela mediante una función que da sus coordenadas en el espacio en función del tiempo. El campo potencial viene dado por una función. $V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R}$ y la trayectoria, que es una función $\mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},$ es la solución de la ecuación diferencial: $-{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,$ que también se puede escribir como $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].$

Cabe señalar que este modelo presupone que la partícula es una masa puntual, lo cual se sabe que es falso en muchos casos en los que utilizamos este modelo; por ejemplo, como modelo de movimiento planetario.

Modelo de comportamiento racional para un consumidor . En este modelo suponemos que un consumidor se enfrenta a una elección de $n$ productos etiquetados $1,2,\dots ,n$ cada uno con un precio de mercado $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.$ Se supone que el consumidor tiene una función de utilidad ordinal. $U$ (ordinal en el sentido de que solo el signo de las diferencias entre dos utilidades, y no el nivel de cada utilidad, es significativo), dependiendo de las cantidades de bienes. $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ consumido. El modelo asume además que el consumidor tiene un presupuesto $M$ que se utiliza para comprar un vector $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ de tal manera que se maximice $U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$ El problema del comportamiento racional en este modelo se convierte entonces en un problema de optimización matemática , es decir: $\max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ sujeto a: $\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,$ $x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.$ Este modelo se ha utilizado en una amplia variedad de contextos económicos, como en la teoría del equilibrio general, para demostrar la existencia y la eficiencia de Pareto de los equilibrios económicos.
El modelo de detección de vecinos es un modelo que explica la formación de hongos a partir de una red fúngica inicialmente caótica.
En informática , se pueden utilizar modelos matemáticos para simular redes informáticas.
En mecánica , se pueden utilizar modelos matemáticos para analizar el movimiento de un modelo de cohete.

Referencias

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Lecturas adicionales

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Aplicaciones específicas

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Enlaces externos

Referencia general

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Paquete Plus para profesores y estudiantes: Modelización matemática. Reúne todos los artículos sobre modelización matemática de Plus Magazine , la revista de matemáticas en línea producida por el Millennium Mathematics Project de la Universidad de Cambridge.

Filosófico

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