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Submuestreo (procesamiento de señales)

En el procesamiento de señales digitales , el submuestreo , la compresión y la decimación son términos asociados al proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señal...

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En el procesamiento de señales digitales , el submuestreo , la compresión y la decimación son términos asociados al proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales multivelocidad . Tanto el submuestreo como la decimación pueden ser sinónimos de compresión , o pueden describir un proceso completo de reducción de ancho de banda ( filtrado ) y reducción de la frecuencia de muestreo. [ 1 ] [ 2 ] Cuando el proceso se realiza sobre una secuencia de muestras de una señal o una función continua, produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido muestreando la señal a una menor frecuencia (o densidad , como en el caso de una fotografía).

La decimación es un término que históricamente significa la eliminación de cada décima muestra . [ a ] Pero en el procesamiento de señales, la decimación por un factor de 10 significa conservar solo una de cada diez muestras. Este factor multiplica el intervalo de muestreo o, equivalentemente, divide la frecuencia de muestreo. Por ejemplo, si el audio de un disco compacto a 44 100 muestras/segundo se diezma por un factor de 5/4, la frecuencia de muestreo resultante es de 35 280. Un componente del sistema que realiza la decimación se llama decimador . La decimación por un factor entero también se llama compresión . [ 3 ] [ 4 ]

Submuestreo por un factor entero

La reducción de la tasa por un factor entero M puede explicarse como un proceso de dos pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente: [ 5 ]

  1. Reduzca los componentes de señal de alta frecuencia con un filtro digital de paso bajo .
  2. Diezmar la señal filtrada por M ; es decir, conservar solo cada M -ésima muestra.

El paso 2 por sí solo genera aliasing indeseado (es decir, los componentes de señal de alta frecuencia se copian en la banda de baja frecuencia y se confunden con frecuencias más bajas). El paso 1, cuando es necesario, suprime el aliasing a un nivel aceptable. En esta aplicación, el filtro se denomina filtro anti-aliasing y su diseño se describe a continuación. Consulte también la sección sobre submuestreo para obtener información sobre la decimación de funciones y señales de paso de banda .

Cuando el filtro anti-aliasing es un diseño IIR , se basa en la retroalimentación de la salida a la entrada, antes del segundo paso. Con el filtrado FIR , es fácil calcular solo cada M -ésima salida. El cálculo realizado por un filtro FIR decimador para la n -ésima muestra de salida es un producto escalar : [ b ]

y[norte]=∑k=0K−1incógnita[norteMETRO−k]⋅h[k],{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}

donde la secuencia h [•] es la respuesta impulsional y K es su longitud. x [•] representa la secuencia de entrada que se está submuestreando. En un procesador de propósito general, después de calcular y [ n ], la forma más sencilla de calcular y [ n +1] es avanzar el índice inicial en el arreglo x [•] en M y recalcular el producto escalar. En el caso de M =2, h [•] puede diseñarse como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no es necesario incluirlos en los productos escalares.

Los coeficientes de respuesta impulsional tomados a intervalos de M forman una subsecuencia, y hay M de dichas subsecuencias (fases) multiplexadas entre sí. El producto escalar es la suma de los productos escalares de cada subsecuencia con las muestras correspondientes de la secuencia x [•]. Además, debido al submuestreo por M , el flujo de muestras x [•] involucrado en cualquiera de los M productos escalares nunca está involucrado en los demás productos escalares. Por lo tanto, M filtros FIR de bajo orden filtran cada uno una de las M fases multiplexadas del flujo de entrada, y las M salidas se suman. Este punto de vista ofrece una implementación diferente que podría ser ventajosa en una arquitectura multiprocesador. En otras palabras, el flujo de entrada se desmultiplexa y se envía a través de un banco de M filtros cuyas salidas se suman. Cuando se implementa de esta manera, se denomina filtro polifásico .

Para mayor claridad, mencionamos ahora que una implementación posible, aunque improbable, de cada fase consiste en reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia del arreglo h [•], procesar la secuencia original x [•] a la tasa de entrada (lo que significa multiplicar por ceros) y diezmar la salida por un factor de M. La equivalencia de este método ineficiente y la implementación descrita anteriormente se conoce como la primera identidad de Noble . [ 6 ] [ c ] A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico.

Figura 1: Estos gráficos muestran las distribuciones espectrales de una función sobremuestreada y la misma función muestreada a 1/3 de la velocidad original. El ancho de banda, B, en este ejemplo es lo suficientemente pequeño como para que el muestreo más lento no cause solapamiento (aliasing). A veces, una función muestreada se remuestrea a una velocidad menor conservando solo cada M- ésima muestra y descartando las demás, lo que se conoce comúnmente como "diezmado". El posible aliasing se evita filtrando las muestras con un filtro de paso bajo antes del diezmado. El ancho de banda máximo del filtro se presenta en las unidades de ancho de banda utilizadas en las aplicaciones de diseño de filtros más comunes.

Filtro anti-aliasing

Sea X ( f ) la transformada de Fourier de cualquier función, x ( t ), cuyas muestras en algún intervalo, T , son iguales a la secuencia x [ n ]. Entonces la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es una representación en serie de Fourier de una suma periódica de X ( f ): [ d ]

∑norte=−∞∞incógnita(norteT)⏞incógnita[norte] mi−i2πFnorteT⏟DTFT=1T∑k=−∞∞incógnita(F−kT).{\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}

Cuando T tiene unidades de segundos,F{\displaystyle f}tiene unidades de hercios . Reemplazando T por MT en las fórmulas anteriores se obtiene la DTFT de la secuencia diezmada, x [ nM ]:

∑norte=−∞∞incógnita(norte⋅METROT) mi−i2πFnorte(METROT)=1METROT∑k=−∞∞incógnita(F−kMETROT).{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}

La suma periódica se ha reducido en amplitud y periodicidad por un factor de M. Un ejemplo de ambas distribuciones se muestra en las dos trazas de la Fig. 1. [ e ] [ f ] [ g ] El aliasing ocurre cuando las copias adyacentes de X ( f ) se superponen. El propósito del filtro anti-aliasing es asegurar que la periodicidad reducida no cree superposición. La condición que asegura que las copias de X ( f ) no se superpongan entre sí es:B<0,5T⋅1METRO,{\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}por lo que esa es la frecuencia de corte máxima de un filtro anti-aliasing ideal . [ A ]

Por un factor racional

Sea M/L el factor de decimación, [ B ] donde: M, L ∈Z{\displaystyle \mathbb {Z} }; M > L.

  1. Aumentar (remuestrear) la secuencia por un factor de L. Esto se llama sobremuestreo o interpolación .
  2. Diezmar por un factor de M

El paso 1 requiere un filtro de paso bajo después de aumentar ( expandir ) la tasa de datos, y el paso 2 requiere un filtro de paso bajo antes de la decimación. Por lo tanto, ambas operaciones se pueden realizar con un solo filtro con la menor de las dos frecuencias de corte. Para el caso M  > L , el corte del filtro anti-aliasing,  0,5METRO{\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja.

Véase también

Notas

  1. ↑ Los filtros paso bajo realizables tienen una "zona de transición" donde la respuesta disminuye desde valores cercanos a uno hasta valores cercanos a cero. En la práctica, la frecuencia de corte se sitúa lo suficientemente por debajo de la frecuencia de corte teórica como para que la zona de transición del filtro quede contenida por debajo de dicha frecuencia.
  2. ↑ Técnicas generales para la conversión de frecuencia de muestreo por factor R ∈R+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}incluyen la interpolación polinómica y la estructura de Farrow. [ 7 ]

Citas de página

  1. ↑ Harris 2004. "6.1". pág. 128.
  2. ↑ Crochiere y Rabiner "2". pág. 32. ec. 2.55a.
  3. ↑ Harris 2004. "2.2.1". pág. 25.
  4. ↑ Oppenheim y Schafer . "4.2". pág. 143. ecuación 4.6, donde : Ω≜2πF,{\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,} incógnitas(iΩ)≜∑norte=−∞∞incógnita(norteT) mi−iΩnorteT,{\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},} y incógnitado(i2πF)≜incógnita(F).{\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}
  5. ↑ Harris 2004. "2.2". pág. 22. fig. 2.10.
  6. ↑ Oppenheim y Schafer . "4.6". pág. 171. fig. 4.22.
  7. ↑ Tan 2008 . "1.2.1". fig 12.2.

Referencias

  1. ↑ Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4". Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág . 168. ISBN   0-13-754920-2.
  2. ↑ Tan, Li (21 de abril de 2008). "Upsampling and downsampling" . eetimes.com . EE Times . Consultado el 10 de abril de 2017. El proceso de reducir una frecuencia de muestreo por un factor entero se denomina submuestreo de una secuencia de datos. También nos referimos al submuestreo como decimación . El término decimación, utilizado para el proceso de submuestreo, ha sido aceptado y utilizado en muchos libros de texto y campos.
  3. ↑ Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2". Procesamiento de señales digitales multivelocidad . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pág. 32. ISBN  0136051626.
  4. ↑ Poularikas, Alexander D. (septiembre de 1998). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (1.ª ed.). CRC Press. págs. 42–48 . ISBN   0849385792.
  5. ↑ Harris, Frederic J. (24 de mayo de 2004). "2.2". Procesamiento de señales multivelocidad para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. págs. 20–21 . ISBN  0131465112El proceso de submuestreo puede visualizarse como una progresión en dos pasos. El proceso comienza con una serie de entrada x(n) procesada por un filtro h(n) para obtener la secuencia de salida y(n) con ancho de banda reducido. La frecuencia de muestreo de la secuencia de salida se reduce entonces a una tasa proporcional al ancho de banda de la señal reducida. En realidad, los procesos de reducción de ancho de banda y de frecuencia de muestreo se combinan en un único proceso denominado filtro multivelocidad .
  6. ↑ Strang, Gilbert ; Nguyen, Truong (1996-10-01). Wavelets and Filter Banks (2.ª ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 100–101 . ISBN   0961408871Ningún ingeniero sensato haría eso .
  7. ^ Milić, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag. 192.ISBN​  978-1-60566-178-0En general , este enfoque es aplicable cuando la relación Fy/Fx es un número racional o irracional, y es adecuado tanto para el aumento como para la disminución de la frecuencia de muestreo.

Lecturas adicionales

  • Proakis, John G. (2000). Procesamiento digital de señales: principios, algoritmos y aplicaciones (3.ª  ed.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.
  • Lyons, Richard (2001). Comprensión del procesamiento digital de señales . Prentice Hall. pág.  304. ISBN 0-201-63467-8La disminución de la frecuencia de muestreo se conoce como diezmado.
  • Antoniou, Andreas (2006). Procesamiento digital de señales . McGraw-Hill. pág . 830. ISBN  0-07-145424-1Los deciminadores se pueden usar para reducir la frecuencia de muestreo, mientras que los interpoladores se pueden usar para aumentarla.
  • Milic, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag.  35.ISBN​ 978-1-60566-178-0Los sistemas de conversión de frecuencia de muestreo se utilizan para cambiar la frecuencia de muestreo de una señal. El proceso de disminución de la frecuencia de muestreo se denomina decimación, y el proceso de aumento de la frecuencia de muestreo se denomina interpolación .
  • T. Schilcher. Aplicaciones de RF en el procesamiento digital de señales // "Procesamiento digital de señales". Actas de la Escuela de Aceleradores del CERN, Sigtuna, Suecia, del 31 de mayo al 9 de junio de 2007. - Ginebra, Suiza: CERN (2008). - Pág. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003.
  • Sliusar II, Slyusar VI, Voloshko SV, Smolyar VG Acceso óptico de próxima generación basado en N-OFDM con decimación.// Tercera Conferencia Científico-Práctica Internacional "Problemas de las Infocomunicaciones. Ciencia y Tecnología (PIC S&T'2016)". – Járkov. - 3-6 de octubre de 2016.
  • Saska Lindfors, Aarno Pärssinen, Kari AI Halonen. Un submuestreador de diezmado CMOS de 3 V y 230 MHz.// Transacciones IEEE en circuitos y sistemas: vol. 52, núm. 2, febrero de 2005. – Pág. 110.