Método de promedios más altos

Los métodos de promedios más altos , divisores o de división y redondeo ^{[ 1 ]} son una familia de reglas de asignación , es decir, algoritmos para la división justa de escaños en una legislatura entre varios grupos (como partidos políticos o estados ). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} De manera más general, los métodos divisores se utilizan para redondear las partes de un total a una fracción con un denominador fijo (por ejemplo, puntos porcentuales, que deben sumar 100). ^{[ 2 ]}

Los métodos buscan tratar a los votantes por igual, asegurando que los legisladores representen a un número igual de votantes al garantizar que cada partido tenga la misma proporción de escaños por voto (o divisor ). ^{[ 3 ]}^{: 30} Estos métodos dividen el número de votos por el número de votos por escaño para obtener la distribución final. Al hacerlo, el método mantiene la representación proporcional , ya que un partido con, por ejemplo, el doble de votos ganará aproximadamente el doble de escaños. ^{[ 3 ]}^{: 30}

Los métodos de divisores son generalmente preferidos por los teóricos de la elección social y los matemáticos a los métodos del resto mayor , ya que producen resultados más proporcionales según la mayoría de las métricas y son menos susceptibles a las paradojas de reparto . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} En particular, los métodos de divisores evitan la paradoja de la población y los efectos de los elementos que perjudican , a diferencia de los métodos del resto mayor. ^{[ 5 ]}

Historia

Los métodos de división fueron inventados por primera vez por Thomas Jefferson para cumplir con el requisito de la Constitución de los Estados Unidos de que los estados tengan como máximo un representante por cada 30 000 habitantes. Su solución fue dividir la población de cada estado entre 30 000 antes de redondear hacia abajo. ^{[ 3 ]}^{: 20}

El reparto de escaños se convertiría en un tema importante de debate en el Congreso, especialmente después del descubrimiento de patologías en muchas reglas de redondeo aparentemente razonables. ^{[ 3 ]}^{: 20} Debates similares aparecerían en Europa después de la adopción de la representación proporcional , generalmente como resultado de los grandes partidos que intentaban introducir umbrales y otras barreras de entrada para los pequeños partidos. ^{[ 7 ]} Tales repartos a menudo tienen consecuencias sustanciales, como en el redistribuidor de 1870 , cuando el Congreso utilizó un reparto ad hoc para favorecer a los estados republicanos . ^{[ 8 ]} Si el total de votos electorales de cada estado hubiera sido exactamente igual a su derecho , o si el Congreso hubiera utilizado el método Webster/Sainte-Laguë o un método de resto mayor (como lo había hecho desde 1840), la elección de 1876 habría sido para Tilden en lugar de Hayes . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 3 ]}^{: 3, 37}

Definiciones

Los dos nombres que reciben estos métodos —promedios máximos y divisores— reflejan dos maneras diferentes de concebirlos y sus dos invenciones independientes. Sin embargo, ambos procedimientos son equivalentes y dan el mismo resultado. ^{[ 1 ]}

Los métodos de divisor se basan en reglas de redondeo , definidas mediante una secuencia de marcadores $post(k)$ , donde $k \leq post(k) \leq k + 1.$ Cada marcador señala el límite entre los números naturales, y los números se redondean hacia abajo solo si son menores que el marcador. ^{[ 2 ]}

Procedimiento del divisor

El procedimiento del divisor asigna los escaños buscando un divisor o cuota electoral . Este divisor puede entenderse como el número de votos que un partido necesita para obtener un escaño adicional en la legislatura, la población ideal de un distrito congresional o el número de votantes representados por cada legislador. ^{[ 1 ]}

Si cada legislador representara un número igual de votantes, el número de escaños para cada estado podría hallarse dividiendo la población por el divisor. ^{[ 1 ]} Sin embargo, las asignaciones de escaños deben ser números enteros, por lo que para hallar la distribución para un estado dado debemos redondear (usando la secuencia de señalización) después de dividir. Así, la distribución de cada partido viene dada por: ^{[ 1 ]}

${\text{asientos}}=\operatorname {ronda} \left({\frac {\text{votos}}{\text{divisor}}}\right)$

Por lo general, el divisor se establece inicialmente igual a la cuota de Hare . Sin embargo, este procedimiento puede asignar demasiados o muy pocos escaños. En este caso, la distribución de escaños para cada estado no sumará el tamaño total de la legislatura. Se puede encontrar un divisor viable mediante prueba y error . ^{[ 10 ]}

Procedimiento de promedios más altos

Con el algoritmo de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, el partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se hayan asignado todos los escaños. ^{[ 1 ]}

Sin embargo, no está claro si es mejor considerar el promedio de votos antes de asignar el escaño, cuál será el promedio después de la asignación, o si deberíamos optar por una corrección de continuidad . Cada uno de estos enfoques produce distribuciones ligeramente diferentes. ^{[ 1 ]} Muchas leyes electorales utilizan el promedio antes de asignar el escaño. En general, podemos definir los promedios utilizando la secuencia de indicadores:

${\text{promedio}}:={\frac {\text{votos}}{\operatorname {post} ({\text{asientos}})}}$

Métodos específicos

Si bien todos los métodos de división comparten el mismo procedimiento general, difieren en la elección de la secuencia de marcadores y, por lo tanto, en la regla de redondeo. Cabe señalar que, para los métodos en los que el primer marcador es cero, todo partido con al menos un voto recibirá un escaño antes de que cualquier partido reciba un segundo escaño; en la práctica, esto suele significar que cada partido debe recibir al menos un escaño, a menos que quede descalificado por algún umbral electoral . ^{[ 2 ]}

Método de D'Hondt (Jefferson)

Thomas Jefferson fue el primero en proponer un método de divisores en 1792; ^{[ 1 ]} posteriormente, el politólogo belga Victor d'Hondt lo desarrolló de forma independiente en 1878. Este método asigna al representante a la lista que estaría más subrepresentada al final de la ronda. ^{[ 1 ]} Sigue siendo el método más común para la representación proporcional hasta el día de hoy. ^{[ 1 ]}

El método D'Hondt utiliza la secuencia $\operatorname {publicación} (k)=k+1$ , es decir (1, 2, 3, ...), ^{[ 11 ]} lo que significa que siempre redondeará hacia abajo la asignación de un partido. ^{[ 1 ]}

Una distribución según el método D'Hondt nunca cae por debajo del límite inferior del marco ideal y minimiza la sobrerrepresentación en el peor de los casos en la legislatura. ^{[ 1 ]} Sin embargo, su desempeño es deficiente cuando se evalúa según la mayoría de las demás métricas de proporcionalidad. ^{[ 12 ]} La regla generalmente otorga a los partidos grandes un número excesivo de escaños, y su porcentaje de escaños a menudo excede su derecho redondeado al alza. ^{[ 3 ]}^{: 81}

Esta patología provocó burlas generalizadas hacia el método D'Hondt cuando se supo que este podía "redondear" la asignación de Nueva York de 40,5 a 42, y el senador Mahlon Dickerson afirmó que el escaño adicional debía provenir de los " fantasmas de representantes fallecidos ". ^{[ 3 ]}^{: 34}

El método de Adams

El método de Adams fue concebido por John Quincy Adams tras observar que el método D'Hondt asignaba muy pocos escaños a los estados más pequeños. ^{[ 13 ]} Puede describirse como el inverso del método D'Hondt; otorga un escaño al partido que tiene la mayor cantidad de votos por escaño antes de que se agregue el nuevo escaño. La función divisora es $post(k) = k$ , lo que equivale a redondear siempre hacia arriba. ^{[ 12 ]}

La distribución de Adams nunca excede el límite superior del marco ideal y minimiza la subrepresentación en el peor de los casos. ^{[ 1 ]} Sin embargo, al igual que el método D'Hondt, el método de Adams tiene un desempeño deficiente según la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^{[ 12 ]} También suele violar la cuota de escaños inferior . ^{[ 14 ]}

El método de Adams fue sugerido como parte del compromiso de Cambridge para la distribución de escaños del Parlamento Europeo entre los Estados miembros, con el objetivo de satisfacer la proporcionalidad degresiva . ^{[ 15 ]}

Método Webster/Sainte-Laguë (Schepers)

El método Webster/Sainte-Laguë fue descrito por primera vez en 1832 por el estadista y senador estadounidense Daniel Webster y, posteriormente, de forma independiente en 1910 por el matemático francés André Sainte-Laguë . En 1980, el físico alemán Hans Schepers , entonces jefe del Grupo de Procesamiento de Datos del Bundestag , sugirió que se modificara la distribución de escaños según el método D'Hondt para evitar perjudicar a los partidos minoritarios. ^{[ 16 ]} Los medios alemanes comenzaron a utilizar el término Método Schepers y, posteriormente, la literatura alemana suele denominarlo Sainte-Laguë/Schepers. ^{[ 16 ]}

El método Webster/Sainte-Laguë utiliza la secuencia de postes de cerca $post(k) = k + 0,5$ (es decir, 0,5, 1,5, 2,5); esto corresponde a la regla de redondeo estándar . De forma equivalente, se pueden usar los números enteros impares (1, 3, 5...) para calcular los promedios. ^{[ 1 ]}^{[ 17 ]}

El método Webster/Sainte-Laguë muestra una proporción de escaños por voto más equitativa para partidos de diferentes tamaños ^{[ 18 ]} entre los métodos de distribución; produce distribuciones más proporcionales que D'Hondt según casi todas las métricas de representación errónea. ^{[ 19 ]} Por ello, suele ser preferido a D'Hondt por politólogos y matemáticos, al menos en situaciones donde la manipulación es difícil o improbable (como en parlamentos grandes). ^{[ 20 ]} También es notable por minimizar el sesgo de escaños incluso cuando se trata de partidos que obtienen un número muy pequeño de escaños. ^{[ 21 ]} El método Webster/Sainte-Laguë puede, en teoría, violar el marco ideal , aunque esto es extremadamente raro incluso para parlamentos moderadamente grandes; nunca se ha observado que viole la cuota en ninguna distribución del Congreso de los Estados Unidos . ^{[ 20 ]}

En distritos pequeños sin umbral , los partidos pueden manipular el método Webster/Sainte-Laguë dividiéndose en muchas listas, cada una de las cuales obtiene un escaño completo con menos votos que la cuota de Hare . Esto se suele solucionar modificando el primer divisor para que sea ligeramente mayor (a menudo un valor de 0,7 o 1), lo que crea un umbral implícito . ^{[ 22 ]}

Método de Huntington-Hill

En el método $de$ Huntington-Hill , la secuencia de marcadores es $post(k) = \sqrtk (k +1)$ , la media geométrica de los números vecinos. Conceptualmente, este método redondea al entero que tiene la menor diferencia relativa (porcentual) . Por ejemplo, la diferencia entre 2,47 y 3 es de aproximadamente el 19%, mientras que la diferencia con 2 es de aproximadamente el 21%, por lo que 2,47 se redondea hacia arriba. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de los Estados Unidos entre los estados. ^{[ 1 ]}

El método Huntington-Hill tiende a producir resultados muy similares al método Webster/Sainte-Laguë, excepto que garantiza a cada estado o partido al menos un escaño (véase Método de promedios más altos § Asignaciones de cero escaños ). Cuando se utilizó por primera vez para asignar escaños en la Cámara de Representantes de los Estados Unidos , ambos métodos produjeron resultados idénticos; en su segundo uso, solo difirieron en la asignación de un solo escaño a Michigan o Arkansas . ^{[ 3 ]}^{: 58}

Comparación de propiedades

Asignaciones de cero escaños

Los métodos de Huntington-Hill, Dean y Adams tienen un valor de 0 para el primer punto de referencia, lo que da un promedio de ∞. Por lo tanto, sin un umbral, todos los partidos que hayan recibido al menos un voto también recibirán al menos un escaño. ^{[ 1 ]} Esta propiedad puede ser deseable (como al asignar escaños a los estados ) o indeseable (como al asignar escaños a las listas de partidos en una elección), en cuyo caso el primer divisor puede ajustarse para crear un umbral natural. ^{[ 23 ]}

Inclinación

Existen diversas métricas para medir el sesgo en la asignación de escaños . Si bien el método Webster/Sainte-Laguë a veces se describe como "únicamente" imparcial, ^{[ 20 ]} esta singularidad se basa en una definición técnica de sesgo , que se define como la diferencia promedio entre el número de escaños de un estado y su derecho a escaños . En otras palabras, un método se considera imparcial si el número de escaños que recibe un estado es, en promedio a lo largo de muchas elecciones, igual a su derecho a escaños. ^{[ 20 ]}

Según esta definición, el método Webster/Sainte-Laguë es el método de distribución menos sesgado, ^{[ 21 ]} mientras que Huntington-Hill muestra un ligero sesgo hacia los partidos más pequeños. ^{[ 20 ]} Sin embargo, otros investigadores han observado que definiciones ligeramente diferentes de sesgo, generalmente basadas en errores porcentuales , arrojan el resultado opuesto (el método Huntington-Hill no tiene sesgo, mientras que el método Webster/Sainte-Laguë tiene un ligero sesgo hacia los partidos grandes). ^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}

En la práctica, la diferencia entre estas definiciones es pequeña al tratar con partidos o estados con más de un escaño. ^{[ 21 ]} Por lo tanto, tanto el método Huntington-Hill como el Webster/Sainte-Laguë pueden considerarse métodos imparciales o de bajo sesgo (a diferencia de los métodos D'Hondt o Adams). ^{[ 21 ]}^{[ 24 ]} Un informe de 1929 al Congreso de los Estados Unidos por la Academia Nacional de Ciencias recomendó el método Huntington-Hill, ^{[ 25 ]} mientras que la Corte Suprema de los Estados Unidos ha dictaminado que la elección entre estos sistemas es una cuestión de opinión. ^{[ 24 ]}

Comparación y ejemplos

Ejemplo: D'Hondt

El siguiente ejemplo muestra cómo el método D'Hondt puede diferir sustancialmente de métodos menos sesgados como el de Webster/Sainte-Laguë. En estas elecciones, el partido más grande obtiene el 46% de los votos, pero consigue el 52,5% de los escaños, suficiente para obtener la mayoría absoluta frente a una coalición de todos los demás partidos (que en conjunto alcanzan el 54% de los votos). Además, lo logra incumpliendo el sistema de cuotas: el partido más grande solo tiene derecho a 9,7 escaños, pero gana 11 independientemente de ello. El distrito congresional más grande es casi el doble de grande que el más pequeño. El método de Webster/Sainte-Laguë no presenta ninguna de estas características, con un error máximo del 22,6%.

Ejemplo: Adams

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que el método de Adams no logra otorgar la mayoría a un partido que obtiene el 55% de los votos, violando nuevamente su derecho a la cuota.

Ejemplo: Todos los sistemas

A continuación se muestra un ejemplo resuelto para todos los sistemas de votación. Nótese cómo los métodos de Huntington-Hill y Adams asignan un escaño a cada partido antes de asignar más, a diferencia de los métodos de Webster/Sainte-Laguë o D'Hondt.

Calculadora de papelería

La siguiente tabla calcula la distribución de escaños para cualquier función de señalización fija. En otras palabras, redondea la distribución si el promedio de votos supera la barra seleccionada.

Propiedades

Monotonicidad

Los métodos de divisor generalmente son preferidos por los matemáticos a los métodos de resto mayor ^{[ 26 ]} porque son menos susceptibles a las paradojas de reparto . ^{[ 5 ]} En particular, los métodos de divisor satisfacen la monotonicidad de la población , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños. ^{[ 5 ]} Tales paradojas de población ocurren al aumentar la cuota electoral , lo que puede hacer que los restos de diferentes estados respondan de manera errática. ^{[ 3 ]}^{: Tbl.A7.2} Los métodos de divisor también satisfacen la monotonicidad de recursos o de la cámara , que dice que aumentar el número de escaños en una legislatura no debería hacer que un estado pierda un escaño. ^[⁵^]^[³^]^:^Cor.4.3.1

Desigualdad min-max

Cada método divisor puede definirse utilizando la desigualdad min-max. Si los corchetes denotan la indexación de la matriz, una asignación es válida si y solo si: ^{[ 1 ]}^{: 78–81}

$máx . votos[partido] / puesto(asientos[partido]) ⁠ \leq mín . votos[partido] / puesto(asientos[partido]+1) ⁠$

En otras palabras, es imposible disminuir el promedio de votos más alto reasignando un escaño de un partido a otro. Cada número en este rango es un divisor posible. Si la desigualdad es estricta, la solución es única; de lo contrario, hay un empate exacto en la etapa final de asignación. ^{[ 1 ]}^{: 83}

violación de la regla de cuotas

Como desventaja, los métodos de división podrían infringir la regla de cuotas : podrían asignar a algunos agentes menos de su cuota mínima (cuota redondeada hacia abajo) o más de su cuota máxima (cuota redondeada hacia arriba). Esto se puede solucionar utilizando métodos de división con límite de cuota , aunque esto implique perder la monotonicidad de la población.

Los experimentos de simulación muestran que los diferentes métodos de división tienen probabilidades muy diferentes de violar la cuota (cuando el número de votos se selecciona mediante una distribución exponencial):

La probabilidad para Adams y D'Hondt es del 98%;
La probabilidad de D'Hondt con un requisito mínimo de 1 es del 78%;
La probabilidad para Dean es de aproximadamente el 9%, y para Huntington-Hill de aproximadamente el 4%;
La probabilidad para Webster/Sainte-Laguë es la más pequeña: solo un 0,16%.

Familias de métodos

Los métodos de división descritos anteriormente pueden generalizarse en familias.

Promedio generalizado

En general, es posible construir un método de reparto a partir de cualquier función de promedio generalizado , definiendo la función de señalización como $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^{[ 1 ]}

Familia estacionaria

Un método divisor se llama estacionario ^{[ 27 ]}^{: 68} si para algún número real $r\in [0,1]$ , sus señales son de la forma $d(k)=k+r$ Los métodos de Adams, Webster/Sainte-Laguë y d'Hondt son estacionarios, mientras que los de Dean y Huntington-Hill no lo son. Un método estacionario corresponde a redondear los números hacia arriba si superan la media aritmética ponderada de $k$ y $k + 1.$ [ ^{1 ] Valores} más pequeños de $r$ son más favorables para las partes más pequeñas. ^{[ 21 ]}

Las elecciones danesas asignan escaños de forma igualitaria a nivel provincial mediante circunscripciones plurinominales. Divide el número de votos recibidos por un partido en una circunscripción plurinominal entre 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. La secuencia de asignación se define como $post$ $(k) = k + 1/3$ $; esto busca asignar escaños de$ forma más equitativa que directamente proporcional. ^{[ 28 ]}

El poder significa familia

La familia de métodos de divisores de media potencia incluye los métodos de Adams, Huntington-Hill, Webster/Sainte-Laguë, Dean y D'Hondt (ya sea directamente o como límites). Para una constante $p$ dada , el método de media potencia tiene la función indicadora $post(k) = p \sqrt k p + (k + 1) p$ . El método de Huntington-Hill corresponde al límite cuando $p$ tiende a 0, mientras que Adams y D'Hondt representan los límites cuando $p$ tiende a infinito negativo o positivo. ^{[ 1 ]}

La familia también incluye el método de Dean, menos común, para $p = -1$ , que corresponde a la media armónica . El método de Dean es equivalente a redondear al promedio más cercano : cada estado tiene su número de escaños redondeado de manera que se minimice la diferencia entre el tamaño promedio del distrito y el tamaño ideal del distrito. Por ejemplo: ^{[ 3 ]}^{: 29}

La población representativa de Massachusetts en 1830 era de 610.408 habitantes: si recibiera 12 escaños, el tamaño promedio de su circunscripción sería de 50.867; si recibiera 13, sería de 46.954. Por lo tanto, si el divisor fuera 47.700, como propuso Polk, Massachusetts debería recibir 13 escaños, ya que 46.954 está más cerca de 47.700 que 50.867.

Redondeando al promedio de votos con el menor error relativo se obtiene nuevamente el método de Huntington-Hill porque $| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ , es decir, las diferencias relativas son reversibles. Este hecho fue fundamental para el uso que hizo Edward V. Huntington de errores relativos (en lugar de absolutos) para medir la representación errónea, y para su defensa de la regla de Hill: ^{[ 29 ]} Huntington argumentó que la elección del método de reparto no debería depender de cómo se reordena la ecuación para la representación equitativa, y que solo el error relativo (minimizado por la regla de Hill) satisface esta propiedad. ^{[ 3 ]}^{: 53}

La familia Stolarsky es mala.

De manera similar, la media de Stolarsky puede utilizarse para definir una familia de métodos divisores que minimiza el índice de entropía generalizada de la representación errónea. ^{[ 30 ]} Esta familia incluye la media logarítmica , la media geométrica , la media idéntica y la media aritmética . Las medias de Stolarsky pueden justificarse como minimizadoras de estas métricas de representación errónea, que son de gran importancia en el estudio de la teoría de la información . ^{[ 31 ]}

Modificaciones

Umbrales

Muchos países tienen umbrales electorales para la representación, donde los partidos deben obtener una fracción específica de los votos para estar representados; los partidos con menos votos que el umbral requerido para la representación son eliminados. ^{[ 22 ]} Otros países modifican el primer divisor para introducir un umbral natural ; al usar el método Webster/Sainte-Laguë, el primer divisor suele fijarse en 0,7 o 1,0 (este último denominado modificación de escaño completo ). ^{[ 22 ]}

Cláusulas de preservación de la mayoría y de prevención de la mayoría

Una cláusula de preservación de la mayoría garantiza que cualquier partido que obtenga la mayoría de los votos recibirá al menos la mitad de los escaños en una legislatura. ^{[ 22 ]} Sin dicha cláusula, es posible que un partido con algo más de la mitad de los votos reciba apenas menos de la mitad de los escaños (si se utiliza un método distinto al de D'Hondt). ^{[ 22 ]} Esto se suele lograr añadiendo escaños a la legislatura hasta encontrar una distribución que preserve la mayoría para el parlamento. ^{[ 22 ]}

Por el contrario, una cláusula de prevención de mayoría garantiza que ningún partido recibirá más de la mitad de los escaños en una legislatura a menos que obtenga la mayoría de los votos; esto se logra calculando una secuencia de postes de valla "incompleta" que solo cubre la primera mitad de los escaños, mientras que los postes de valla para la segunda mitad se calculan solo para el partido que obtiene la mayoría de los votos. Esta cláusula se encuentra en la ley electoral de Israel. ^{[ 32 ]} .

acuerdo de voto excedente

Algunos sistemas electorales, como las elecciones al parlamento nacional en Suiza e Israel , y las elecciones al Parlamento Europeo en Dinamarca , permiten acuerdos de voto excedente, mediante los cuales dos o más partidos se consideran un solo bloque a efectos de la asignación de escaños; dentro de este bloque, se lleva a cabo una segunda asignación de escaños entre las partes del acuerdo.

Método del divisor con límite de cuota

El método del divisor con límite de cuota es un método de asignación en el que se comienza asignando a cada estado su cuota mínima de escaños. Luego, se añaden escaños uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que la adición de un escaño adicional no provoque que el estado supere su cuota máxima. ^{[ 33 ]} Sin embargo, los métodos del divisor con límite de cuota violan el criterio de participación (también llamado monotonicidad de la población ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de obtener más votos. ^{[ 3 ]}^{: Tbl.A7.2}

Referencias

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