Sistema disipativo

Un sistema disipativo es un sistema termodinámicamente abierto que opera fuera del equilibrio termodinámico , y a menudo lejos de él, en un entorno con el que intercambia energía y materia . Un tornado puede considerarse un sistema disipativo. Los sistemas disipativos se contraponen a los sistemas conservativos .

Una estructura disipativa es un sistema disipativo cuyo régimen dinámico se encuentra, en cierto sentido, en un estado estacionario reproducible . Este estado estacionario reproducible puede alcanzarse mediante la evolución natural del sistema, mediante artificios o mediante una combinación de ambos.

Una estructura disipativa se caracteriza por la aparición espontánea de ruptura de simetría ( anisotropía ) y la formación de estructuras complejas, a veces caóticas , donde las partículas que interactúan presentan correlaciones de largo alcance. Ejemplos cotidianos incluyen la convección , el flujo turbulento , los ciclones , los huracanes y los organismos vivos . Ejemplos menos comunes incluyen los láseres , las celdas de Bénard , los cúmulos de gotas y la reacción de Belousov-Zhabotinsky . ^{[ 1 ]}

Una forma de modelar matemáticamente un sistema disipativo se presenta en el artículo sobre conjuntos errantes : implica la acción de un grupo sobre un conjunto medible .

Los sistemas disipativos también pueden utilizarse como herramienta para estudiar sistemas económicos y sistemas complejos . ^{[ 2 ]} Por ejemplo, un sistema disipativo que implica el autoensamblaje de nanocables se ha utilizado como modelo para comprender la relación entre la generación de entropía y la robustez de los sistemas biológicos. ^{[ 3 ]}

La descomposición de Hopf establece que los sistemas dinámicos pueden descomponerse en una parte conservativa y otra disipativa; más precisamente, establece que todo espacio de medida con una transformación no singular puede descomponerse en un conjunto conservativo invariante y un conjunto disipativo invariante.

El químico físico ruso-belga Ilya Prigogine , quien acuñó el término estructura disipativa, recibió el Premio Nobel de Química en 1977 por su trabajo pionero sobre estas estructuras, que tienen regímenes dinámicos que pueden considerarse estados estacionarios termodinámicos y que, al menos en ocasiones, pueden describirse mediante principios extremales adecuados en la termodinámica del no equilibrio .

En su discurso de aceptación del Premio Nobel, ^{[ 4 ]} Prigogine explica cómo los sistemas termodinámicos alejados del equilibrio pueden tener un comportamiento drásticamente diferente al de los sistemas cercanos al equilibrio. Cerca del equilibrio, se aplica la hipótesis del equilibrio local y las cantidades termodinámicas típicas, como la energía libre y la entropía, pueden definirse localmente. Se pueden asumir relaciones lineales entre el flujo (generalizado) y las fuerzas del sistema. Dos resultados célebres de la termodinámica lineal son las relaciones recíprocas de Onsager y el principio de producción mínima de entropía . ^{[ 5 ]} Tras los esfuerzos por extender estos resultados a sistemas alejados del equilibrio, se descubrió que no se cumplen en este régimen y se obtuvieron resultados opuestos.

Una forma de analizar rigurosamente estos sistemas es estudiando su estabilidad lejos del equilibrio. Cerca del equilibrio, se puede demostrar la existencia de una función de Lyapunov que asegura que la entropía tiende a un máximo estable. Las fluctuaciones se amortiguan en la vecindad del punto fijo y una descripción macroscópica es suficiente. Sin embargo, lejos del equilibrio, la estabilidad deja de ser una propiedad universal y puede romperse. En sistemas químicos, esto ocurre con la presencia de reacciones autocatalíticas , como en el ejemplo del Brusselator . Si el sistema se lleva más allá de un cierto umbral, las oscilaciones ya no se amortiguan, sino que pueden amplificarse. Matemáticamente, esto corresponde a una bifurcación de Hopf donde aumentar uno de los parámetros más allá de un cierto valor conduce a un comportamiento de ciclo límite . Si se tienen en cuenta los efectos espaciales mediante una ecuación de reacción-difusión , surgen correlaciones de largo alcance y patrones espacialmente ordenados, ^{[ 6 ]} como en el caso de la reacción de Belousov-Zhabotinsky . Los sistemas con estados dinámicos de la materia que surgen como resultado de procesos irreversibles son estructuras disipativas.

Investigaciones recientes han llevado a una reconsideración de las ideas de Prigogine sobre estructuras disipativas en relación con los sistemas biológicos. ^{[ 7 ]}

Willems introdujo por primera vez el concepto de disipatividad en la teoría de sistemas ^{[ 8 ]} para describir sistemas dinámicos mediante propiedades de entrada-salida. Considerando un sistema dinámico descrito por su estado${\displaystyle x(t)}$su aporte${\displaystyle u(t)}$y su producción${\displaystyle y(t)}$La correlación entrada-salida viene dada una tasa de oferta.${\displaystyle w(u(t),y(t))}$Se dice que un sistema es disipativo con respecto a una tasa de suministro si existe una función de almacenamiento continuamente diferenciable.${\displaystyle V(x(t))}$de tal manera que${\displaystyle V(0)=0}$,${\displaystyle V(x(t))\geq 0}$y

${\displaystyle {\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))}$. ^{[ 9 ]}

Como caso especial de disipatividad, se dice que un sistema es pasivo si la desigualdad de disipatividad anterior se cumple con respecto a la tasa de suministro de pasividad.${\displaystyle w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)}$.

La interpretación física es que${\displaystyle V(x)}$es la energía almacenada en el sistema, mientras que${\displaystyle w(u(t),y(t))}$es la energía que se suministra al sistema.

Esta noción tiene una fuerte conexión con la estabilidad de Lyapunov , donde las funciones de almacenamiento pueden desempeñar, bajo ciertas condiciones de controlabilidad y observabilidad del sistema dinámico, el papel de las funciones de Lyapunov.

En términos generales, la teoría de la disipatividad es útil para el diseño de leyes de control por retroalimentación para sistemas lineales y no lineales. La teoría de sistemas disipativos ha sido estudiada por VM Popov , JC Willems , DJ Hill y P. Moylan. En el caso de sistemas lineales invariantes , esto se conoce como funciones de transferencia reales positivas, y una herramienta fundamental es el llamado lema de Kalman-Yakubovich-Popov, que relaciona el espacio de estados y las propiedades del dominio de la frecuencia de los sistemas reales positivos . ^{[ 10 ]} Los sistemas disipativos siguen siendo un campo de investigación activo en sistemas y control, debido a sus importantes aplicaciones.

Dado que la mecánica cuántica , y cualquier sistema dinámico clásico , se basa en gran medida en la mecánica hamiltoniana , para la cual el tiempo es reversible , estas aproximaciones no son intrínsecamente capaces de describir sistemas disipativos. Se ha propuesto que, en principio, se puede acoplar débilmente el sistema —por ejemplo, un oscilador— a un baño térmico , es decir, un conjunto de muchos osciladores en equilibrio térmico con un amplio espectro de banda, y realizar un seguimiento (promedio) sobre el baño. Esto produce una ecuación maestra que es un caso particular de una formulación más general llamada ecuación de Lindblad , que es el equivalente cuántico de la ecuación clásica de Liouville . La forma bien conocida de esta ecuación y su contraparte cuántica toma el tiempo como una variable reversible sobre la cual integrar, pero los fundamentos mismos de las estructuras disipativas imponen un papel irreversible y constructivo para el tiempo.

Investigaciones recientes han visto la extensión cuántica de la teoría de adaptación disipativa de Jeremy England ^{[ 7 ]} (que generaliza las ideas de Prigogine sobre estructuras disipativas a la mecánica estadística lejos del equilibrio, como se indicó anteriormente). La noción de adaptación disipativa cuántica ^{[ 11 ] [ 12 ]} ha resultado fructífera en varios contextos. En la materia viva, encontramos tanto las nociones de autoorganización (patrones repetitivos) como de diversificación y apertura (patrones novedosos). Se ha demostrado que la adaptación disipativa cuántica puede conciliar estos dos aspectos, ya que tiene lugar en un modelo mínimo de autorreplicación. ^{[ 13 ]} Más allá de la emergencia de estados autoorganizados, el concepto de adaptación disipativa cuántica ha llevado al descubrimiento de funcionalidades emergentes (como comportamientos de búsqueda y evitación de energía) en algunos sistemas cuánticos disipativos impulsados. ^{[ 14 ]} La fotosíntesis también ha inspirado la búsqueda de algún tipo de adaptación disipativa cuántica, ya que plantea la cuestión de cuán relevantes son los aspectos cuánticos para la absorción de fotones por complejos captadores de luz. Resulta que la presencia de una excitación deslocalizada en la materia puede costar una cantidad adicional de energía del fotón incidente, lo que lleva a una generalización más sutil de la adaptación disipativa cuántica estándar: en lugar de que el trabajo absorbido sea directamente proporcional a la probabilidad de transferencia de excitación de un sitio a otro (como se espera de la versión estándar), el trabajo absorbido puede, bajo ciertas circunstancias, ser utilizado parcialmente por el sistema en la transferencia de excitación, mientras que otra parte se disipa durante la acumulación de una coherencia cuántica transitoria. ^{[ 15 ]}

El marco de las estructuras disipativas como mecanismo para comprender el comportamiento de los sistemas en constante intercambio de energía se ha aplicado con éxito en diferentes campos y aplicaciones científicas, como en óptica, ^{[ 16 ] [ 17 ]} dinámica y crecimiento de poblaciones ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} y estructuras quimiomecánicas. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

• B. Brogliato, R. Lozano, B. Maschke, O. Egeland, Análisis y control de sistemas disipativos. Teoría y aplicaciones. Springer Verlag, Londres, 2.ª ed., 2007.
• Davies, Paul El plano cósmico Simon & Schuster, Nueva York 1989 (abreviado— 1500 palabras) (resumen— 170 palabras) — estructuras autoorganizadas.
• Philipson, Schuster, Modelado mediante ecuaciones diferenciales no lineales: procesos disipativos y conservativos , World Scientific Publishing Company 2009.
• Prigogine, Ilya, Tiempo, estructura y fluctuaciones . Conferencia Nobel, 8 de diciembre de 1977.
• JC Willems. Sistemas dinámicos disipativos, parte I: Teoría general; parte II: Sistemas lineales con tasas de suministro cuadráticas. Archive for Rational Mechanics Analysis, vol. 45, págs.  321-393, 1972.

• El modelo de sistemas disipativos La Universidad Nacional Australiana