Espacio discreto

En topología , un espacio discreto es un ejemplo particularmente simple de espacio topológico o estructura similar, en el que los puntos forman una secuencia discontinua , lo que significa que están aislados entre sí en cierto sentido. La topología discreta es la topología más fina que se puede definir sobre un conjunto. Todo subconjunto es abierto en la topología discreta, de modo que, en particular, todo subconjunto unitario es un conjunto abierto en la topología discreta.

Dado un conjunto${\displaystyle X}$:

• eltopología discreta en${\displaystyle X}$se define permitiendo que cada subconjunto de${\displaystyle X}$estar abierto ^{[ 1 ]} (y por lo tanto también cerrado ), y${\displaystyle X}$es unespacio topológico discreto si está equipado con su topología discreta;
• eluniformidad discreta en${\displaystyle X}$se define permitiendo que cada superconjunto de la diagonal${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$en${\displaystyle X\times X}$ser un séquito y${\displaystyle X}$es unespacio uniforme discreto si está equipado con su uniformidad discreta.
• elmétrica discreta${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle X}$se define por$${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}0&{\text{si}}\ x=y,\\1&{\text{si}}\ x\neq y\end{cases}}}$$para cualquier${\displaystyle x,y\in X.}$En este caso${\displaystyle (X,\rho )}$se llama unespacio métrico discreto o unespacio de puntos aislados .
• asubespacio discreto de algún espacio topológico dado${\displaystyle (Y,\tau )}$se refiere a un subespacio topológico de${\displaystyle (Y,\tau )}$(un subconjunto de${\displaystyle Y}$junto con la topología del subespacio que${\displaystyle (Y,\tau )}$induce sobre ella) cuya topología es igual a la topología discreta. Por ejemplo, si${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$tiene su topología euclidiana habitual entonces${\displaystyle S={\bigl \{}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots {\bigr \}}}$(dotado de la topología de subespacio) es un subespacio discreto de${\displaystyle \mathbb {R} }$pero${\displaystyle S\cup \{0\}}$no lo es.
• un conjunto${\displaystyle S}$es discreto en un espacio métrico${\displaystyle (X,d),}$para${\displaystyle S\subseteq X,}$si por cada${\displaystyle x\in S,}$existe algo${\displaystyle \delta >0}$(Dependiendo de${\displaystyle x}$) tal que${\displaystyle d(x,y)>\delta }$a pesar de${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$; dicho conjunto consta de puntos aislados . Un conjunto${\displaystyle S}$es uniformemente discreto en el espacio métrico${\displaystyle (X,d),}$para${\displaystyle S\subseteq X,}$si existe${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que para cualesquiera dos distintos${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

Un espacio métrico${\displaystyle (E,d)}$Se dice que es uniformemente discreto si existe unradio de embalaje${\displaystyle r>0}$de tal manera que, para cualquier${\displaystyle x,y\in E,}$uno tiene o${\displaystyle x=y}$o${\displaystyle d(x,y)>r.}$^{[ 2 ]} La topología subyacente a un espacio métrico puede ser discreta, sin que la métrica sea uniformemente discreta: por ejemplo, la métrica usual en el conjunto${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

La uniformidad subyacente en un espacio métrico discreto es la uniformidad discreta, y la topología subyacente en un espacio uniforme discreto es la topología discreta. Por lo tanto, las diferentes nociones de espacio discreto son compatibles entre sí. Por otro lado, la topología subyacente de un espacio uniforme o métrico no discreto puede ser discreta; un ejemplo es el espacio métrico.${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$(con métrica heredada de la recta real y dada por${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$). Esta no es la métrica discreta; además, este espacio no es completo y, por lo tanto, no es discreto como un espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como un espacio topológico. Decimos que${\displaystyle X}$es topológicamente discreto pero no uniformemente discreto ni métricamente discreto .

Además:

• La dimensión topológica de un espacio discreto es igual a 0.
• Un espacio topológico es discreto si y solo si sus elementos unitarios son abiertos, lo cual ocurre si y solo si no contiene ningún punto de acumulación .
• Los elementos unitarios forman la base de la topología discreta.
• Un espacio uniforme${\displaystyle X}$es discreto si y solo si la diagonal${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$es un séquito .
• Todo espacio topológico discreto satisface cada uno de los axiomas de separación ; en particular, todo espacio discreto es Hausdorff , es decir, separado.
• Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito .
• Todo espacio discreto uniforme o métrico es completo .
• Combinando los dos hechos anteriores, todo espacio discreto uniforme o métrico es totalmente acotado si y solo si es finito.
• Todo espacio métrico discreto es acotado .
• Todo espacio discreto es primeramente numerable ; además, es segundamente numerable si y solo si es numerable .
• Cada espacio discreto está totalmente desconectado .
• Todo espacio discreto no vacío es de segunda categoría .
• Dos espacios discretos cualesquiera con la misma cardinalidad son homeomorfos .
• Todo espacio discreto es metrizable (mediante la métrica discreta).
• Un espacio finito es metrizable solo si es discreto.
• Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico y${\displaystyle Y}$es un conjunto que lleva la topología discreta, entonces${\displaystyle X}$está cubierto uniformemente por${\displaystyle X\times Y}$(el mapa de proyección es la cobertura deseada)
• La topología de subespacio en los números enteros como subespacio de la recta real es la topología discreta.
• Un espacio discreto es separable si y solo si es numerable.
• Cualquier subespacio topológico de${\displaystyle \mathbb {R} }$(con su topología euclidiana usual ) que es discreta es necesariamente numerable . ^{[ 3 ]}

Cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua , y cualquier función de un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continua . Es decir, el espacio discreto${\displaystyle X}$es gratis en el set${\displaystyle X}$en la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas o en la categoría de espacios uniformes y aplicaciones uniformemente continuas. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el que las estructuras discretas suelen ser libres en conjuntos.

Con los espacios métricos, la situación es más compleja, ya que existen varias categorías de espacios métricos, dependiendo de la elección de los morfismos . Ciertamente, el espacio métrico discreto es libre cuando todos los morfismos son aplicaciones uniformemente continuas o continuas, pero esto no aporta información relevante sobre la estructura métrica , sino únicamente sobre la estructura uniforme o topológica. Se pueden encontrar categorías más relevantes para la estructura métrica limitando los morfismos a aplicaciones Lipschitz continuas o a aplicaciones cortas ; sin embargo, estas categorías no poseen objetos libres (en más de un elemento). No obstante, el espacio métrico discreto es libre en la categoría de espacios métricos acotados y aplicaciones Lipschitz continuas, y también en la categoría de espacios métricos acotados por 1 y aplicaciones cortas. Es decir, cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado es Lipschitz continua, y cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado por 1 es corta.

En la otra dirección, una función${\displaystyle f}$desde un espacio topológico${\displaystyle Y}$a un espacio discreto${\displaystyle X}$es continua si y solo si es localmente constante en el sentido de que cada punto en${\displaystyle Y}$tiene un vecindario en el que${\displaystyle f}$es constante.

Cada ultrafiltro${\displaystyle {\mathcal {U}}}$en un conjunto no vacío${\displaystyle X}$puede asociarse con una topología${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$en${\displaystyle X}$con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$es un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado , pero nunca ambos. Dicho de otro modo, cada subconjunto es abierto o cerrado, pero (a diferencia de la topología discreta) los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados (es decir, clopen ) son${\displaystyle \varnothing }$y${\displaystyle X}$. En comparación, cada subconjunto de${\displaystyle X}$está abierto y cerrado en la topología discreta.

Una estructura discreta se usa a menudo como la "estructura por defecto" en un conjunto que no posee ninguna otra topología, uniformidad o métrica natural; las estructuras discretas a menudo se pueden usar como ejemplos "extremos" para probar suposiciones particulares. Por ejemplo, cualquier grupo puede considerarse un grupo topológico al darle la topología discreta, lo que implica que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas pueden referirse a los grupos ordinarios, no topológicos, estudiados por los algebristas como " grupos discretos ". En algunos casos, esto puede aplicarse útilmente, por ejemplo, en combinación con la dualidad de Pontryagin . Una variedad 0-dimensional (o variedad diferenciable o analítica) no es más que un espacio topológico discreto y numerable (un espacio discreto no numerable no es segundo-numerable). Por lo tanto, podemos ver cualquier grupo discreto numerable como un grupo de Lie 0-dimensional .

Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto de los números naturales es homeomorfo al espacio de los números irracionales , con el homeomorfismo dado por la expansión en fracciones continuas . Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto${\displaystyle \{0,1\}}$es homeomorfo al conjunto de Cantor ; y de hecho , uniformemente homeomorfo al conjunto de Cantor si usamos la uniformidad del producto en el producto. Tal homeomorfismo se da usando la notación ternaria de números. (Véase espacio de Cantor ). Toda fibra de una función localmente inyectiva es necesariamente un subespacio discreto de su dominio .

En los fundamentos de las matemáticas , el estudio de las propiedades de compacidad de los productos de${\displaystyle \{0,1\}}$es fundamental para el enfoque topológico del lema del ultrafiltro (equivalentemente, el teorema del ideal primo booleano ), que es una forma débil del axioma de elección .

En cierto modo, lo opuesto a la topología discreta es la topología trivial (también llamada topología indiscreta ), que posee el menor número posible de conjuntos abiertos (solo el conjunto vacío y el espacio mismo). Mientras que la topología discreta es inicial o libre, la topología indiscreta es final o colibre : toda función de un espacio topológico a un espacio indiscreto es continua, etc.

• Juego de cilindros
• Lista de topologías
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• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología (2.ª  ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. SEÑOR 0507446 . Zbl 0386.54001 .  
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4OCLC 227923899​​