Suma directa

Se distingue entre sumas directas internas y externas, aunque ambas son isomorfas. Si primero se definen los sumandos y luego se define la suma directa en términos de los sumandos, existe una suma directa externa. Por ejemplo, si los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$se definen, seguidos de${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$Se dice que la suma directa es externa.

Si, por otro lado, alguna estructura algebraica${\displaystyle S}$se define y${\displaystyle S}$se define entonces como una suma directa de dos subestructuras${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, se dice que la suma directa es interna. En ese caso, cada elemento de${\displaystyle S}$se puede expresar de forma única como una combinación algebraica de un elemento de${\displaystyle V}$y un elemento de${\displaystyle W}$. Para un ejemplo de suma directa interna, considere${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$(los enteros módulo seis), cuyos elementos son${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$Esto se puede expresar como una suma directa interna.${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$.

La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de suma directa. Dados dos grupos de este tipo${\displaystyle (A,\circ )}$y${\displaystyle (B,\bullet ),}$su suma directa${\displaystyle A\oplus B}$es lo mismo que su producto directo . Es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano.${\displaystyle A\times B}$y la operación del grupo${\displaystyle \,\cdot \,}$se define componente por componente: $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$ Esta definición se generaliza a sumas directas de un número finito de grupos abelianos.

Para una familia arbitraria de grupos${\displaystyle A_{i}}$indexado por${\displaystyle i\in I,}$su suma directa ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ es el subgrupo del producto directo que consta de los elementos${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$que tienen soporte finito , donde, por definición,${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ is said to have finite support if ${\displaystyle a_{i}}$ is the identity element of ${\displaystyle A_{i}}$ for all but finitely many ${\displaystyle i.}$^[4] The direct sum of an infinite family ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ of non-trivial groups is a proper subgroup of the product group ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

The direct sum of modules is a construction that combines several modules into a new module.

The most familiar examples of that construction occur in considering vector spaces, which are modules over a field. The construction may also be extended to Banach spaces and Hilbert spaces.

An additive category is an abstraction of the properties of the category of modules.^[5][6] In such a category, finite products and coproducts agree, and the direct sum is either of them: cf. biproduct.

More generally,^[3] in category theory the direct sum is often but not always the coproduct in the category of the mathematical objects in question. For example, in the category of abelian groups, the direct sum is a coproduct. That is also true in the category of modules.

The direct sum of group representations generalizes the direct sum of the underlying modules by adding a group action. Specifically, given a group${\displaystyle G}$ and two representations${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle G}$ (or, more generally, two ${\displaystyle G}$-modules), the direct sum of the representations is ${\displaystyle V\oplus W}$ with the action of ${\displaystyle g\in G}$ given component-wise, that is, $${\displaystyle g(v,w):=(gv,gw).}$$

An equivalent way of defining the direct sum is as follows: Given two representations ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ and ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ the vector space of the direct sum is ${\displaystyle V\oplus W}$ and the homomorphism ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ is given by ${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ where ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$ is the natural map obtained by coordinate-wise action as above.

Furthermore, if ${\displaystyle V,\,W}$ are finite dimensional, then, given a basis of ${\displaystyle V,\,W}$, ${\displaystyle \rho _{V}}$ and ${\displaystyle \rho _{W}}$ are matrix-valued. In this case, ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ is given as $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Moreover, if ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ are viewed as modules over the group ring${\displaystyle kG}$, where ${\displaystyle k}$ is the field, the direct sum of the representations ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ is equal to their direct sum as ${\displaystyle kG}$-modules.

The direct product${\displaystyle R\times S}$ of rings should not be written as ${\displaystyle R\oplus S}$, since ${\displaystyle R\times S}$ does not receive natural ring homomorphisms from ${\displaystyle R}$ and ${\displaystyle S}$.^[7] In particular, the map ${\displaystyle R\to R\times S}$ sending ${\displaystyle r}$ to ${\displaystyle (r,0)}$ is not a ring homomorphism since it fails to send 1 to ${\displaystyle (1,1)}$ (assuming that ${\displaystyle 0\neq 1}$ in ${\displaystyle S}$). Thus, ${\displaystyle R\times S}$no es un coproducto en la categoría de anillos y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensorial de anillos . ^{[ 8 ]} En la categoría de anillos, el coproducto se obtiene mediante una construcción similar al producto libre de grupos.)

El uso de la terminología y notación de suma directa es especialmente problemático al tratar con familias infinitas de anillos. Si${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$es una colección infinita de anillos no triviales, la suma directa de los grupos aditivos subyacentes puede equiparse con la multiplicación término a término, pero eso produce un rng , un anillo sin identidad multiplicativa.

Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle m_{1}\times n_{1}}$matriz y${\displaystyle \mathbf {B} }$es un${\displaystyle m_{2}\times n_{2}}$matriz, luego la suma directa${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$se define como el${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\times (n_{1}+n_{2})}$matriz diagonal por bloques${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Un espacio vectorial topológico (TVS)${\displaystyle X,}$como un espacio de Banach , se dice que es una suma directa topológica de dos subespacios vectoriales.${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$si el mapa de adición $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (lo que significa que este mapa lineal es un homeomorfismo biyectivo ) en cuyo caso${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$se dice que son complementos topológicos en${\displaystyle X.}$ Eso es cierto si y solo si se consideran como grupos topológicos aditivos (de modo que se ignora la multiplicación escalar),${\displaystyle X}$es la suma directa topológica de los subgrupos topológicos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N.}$ Si este es el caso y si${\displaystyle X}$¿Es Hausdorff entonces?${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son necesariamente subespacios cerrados de${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo${\displaystyle X}$, siempre hay otro subespacio vectorial${\displaystyle N}$de${\displaystyle X,}$llamado complemento algebraico de${\displaystyle M}$en${\displaystyle X,}$de tal manera que${\displaystyle X}$es la suma directa algebraica de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, lo cual sucede si y solo si el mapa de suma${\displaystyle M\times N\to X}$es un isomorfismo de espacio vectorial .

A diferencia de las sumas directas algebraicas, la existencia de dicho complemento ya no está garantizada para las sumas directas topológicas.

Un subespacio vectorial${\displaystyle M}$de${\displaystyle X}$Se dice que es un subespacio ( topológicamente ) complementado de${\displaystyle X}$si existe algún subespacio vectorial${\displaystyle N}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle X}$es la suma directa topológica de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N.}$ Un subespacio vectorial se denomina no complementado si no es un subespacio complementado. Por ejemplo, todo subespacio vectorial de un espacio vectorial de Hausdorff que no sea un subconjunto cerrado es necesariamente no complementado. Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert es complementado. Sin embargo, todo espacio de Banach que no sea un espacio de Hilbert posee necesariamente algún subespacio vectorial cerrado no complementado.