difusión anisotrópica

En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , la difusión anisotrópica , también llamada difusión de Perona-Malik , es una técnica que busca reducir el ruido de la imagen sin eliminar partes significativas del contenido de la imagen, típicamente bordes, líneas u otros detalles que son importantes para la interpretación de la imagen. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} La difusión anisotrópica se asemeja al proceso que crea un espacio de escala , donde una imagen genera una familia parametrizada de imágenes sucesivamente más y más borrosas basadas en un proceso de difusión . Cada una de las imágenes resultantes en esta familia se da como una convolución entre la imagen y un filtro gaussiano isotrópico 2D , donde el ancho del filtro aumenta con el parámetro. Este proceso de difusión es una transformación lineal e invariante espacial de la imagen original. La difusión anisotrópica es una generalización de este proceso de difusión: produce una familia de imágenes parametrizadas, pero cada imagen resultante es una combinación entre la imagen original y un filtro que depende del contenido local de la imagen original. En consecuencia, la difusión anisotrópica es una transformación no lineal y espacialmente variable de la imagen original.

En su formulación original, presentada por Perona y Malik en 1987, ^{[ 1 ]} el filtro espacialmente variable es de hecho isotrópico pero depende del contenido de la imagen de tal manera que se aproxima a una función impulso cerca de los bordes y otras estructuras que deben conservarse en la imagen en los diferentes niveles del espacio de escala resultante . Esta formulación fue denominada difusión anisotrópica por Perona y Malik aunque el filtro adaptado localmente es isotrópico, pero también ha sido denominada difusión no homogénea y no lineal ^{[ 4 ]} o difusión de Perona-Malik ^{[ 5 ]} por otros autores. Una formulación más general permite que el filtro adaptado localmente sea verdaderamente anisotrópico cerca de estructuras lineales como bordes o líneas: tiene una orientación dada por la estructura de tal manera que se alarga a lo largo de la estructura y se estrecha a través de ella. Dichos métodos se denominan suavizado adaptado a la forma ^{[ 6 ] [ 7 ]} o difusión que mejora la coherencia . ^{[ 8 ]} Como consecuencia, las imágenes resultantes conservan estructuras lineales mientras que al mismo tiempo se realiza un suavizado a lo largo de estas estructuras. Ambos casos pueden describirse mediante una generalización de la ecuación de difusión usual donde el coeficiente de difusión, en lugar de ser un escalar constante, es una función de la posición de la imagen y asume un valor matricial (o tensor ) (véase tensor de estructura ).

Aunque la familia de imágenes resultante puede describirse como una combinación entre la imagen original y filtros espacialmente variables, el filtro adaptado localmente y su combinación con la imagen no tienen por qué implementarse en la práctica. La difusión anisotrópica se implementa normalmente mediante una aproximación de la ecuación de difusión generalizada: cada nueva imagen de la familia se calcula aplicando esta ecuación a la imagen anterior. Por consiguiente, la difusión anisotrópica es un proceso iterativo en el que se utiliza un conjunto relativamente sencillo de cálculos para obtener cada imagen sucesiva de la familia, y este proceso continúa hasta alcanzar un grado de suavizado suficiente.

Formalmente, dejemos${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$denotan un subconjunto del plano y${\displaystyle I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ser una familia de imágenes en escala de grises.${\displaystyle I(\cdot ,0)}$es la imagen de entrada. Entonces, la difusión anisotrópica se define como

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}$

dónde${\displaystyle \Delta }$denota el laplaciano ,${\displaystyle \nabla }$denota el gradiente ,${\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )}$es el operador de divergencia y${\displaystyle c(x,y,t)}$es el coeficiente de difusión.

Para${\displaystyle t>0}$, la imagen de salida está disponible como${\displaystyle I(\cdot ,t)}$, con mayor${\displaystyle t}$produciendo imágenes más borrosas.

${\displaystyle c(x,y,t)}$controla la tasa de difusión y generalmente se elige como una función del gradiente de la imagen para preservar los bordes en la imagen. Pietro Perona y Jitendra Malik fueron pioneros en la idea de la difusión anisotrópica en 1990 y propusieron dos funciones para el coeficiente de difusión:

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}$

y

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}}$

La constante K controla la sensibilidad a los bordes y generalmente se elige experimentalmente o en función del ruido en la imagen.

Dejar${\displaystyle M}$Denotemos la variedad de imágenes suaves, entonces las ecuaciones de difusión presentadas anteriormente pueden interpretarse como las ecuaciones de descenso de gradiente para la minimización del funcional de energía.${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$definido por

${\displaystyle E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx}$

dónde${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$es una función de valor real que está íntimamente relacionada con el coeficiente de difusión. Entonces, para cualquier función de prueba infinitamente diferenciable con soporte compacto${\displaystyle h}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}$

donde la última línea se deriva de la integración multidimensional por partes. Dejando${\displaystyle \nabla E_{I}}$denotemos el gradiente de E con respecto al${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$producto interno evaluado en I, esto da

${\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

Por lo tanto, las ecuaciones de descenso de gradiente en el funcional E vienen dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

Así, al dejar${\displaystyle c=g'}$Se obtienen las ecuaciones de difusión anisotrópica.

El coeficiente de difusión,${\displaystyle c(x,y,t)}$, como proponen Perona y Malik, puede conducir a inestabilidades cuando${\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}}$Se puede demostrar que esta condición equivale a que el coeficiente de difusión físico (distinto del coeficiente de difusión matemático definido por Perona y Malik) se vuelva negativo, lo que provoca una difusión hacia atrás que aumenta los contrastes de intensidad de la imagen en lugar de suavizarlos. Para evitar este problema, es necesaria la regularización, y se ha demostrado que las regularizaciones espaciales conducen a una solución de estado estacionario convergente y constante. ^{[ 9 ]}

Para ello, se analizará uno de los modelos de Perona-Malik modificados ^{[ 10 ]} (también conocido como regularización de la ecuación de PM). En este enfoque, la incógnita se convoluciona con una gaussiana dentro de la no linealidad para obtener una ecuación de Perona-Malik modificada.

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}$

dónde ${\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}$.

La buena formulación de la ecuación se puede lograr mediante esta regularización, pero también introduce un efecto de desenfoque, que es el principal inconveniente de la regularización. Se requiere un conocimiento previo del nivel de ruido, ya que la elección del parámetro de regularización depende de él.

La difusión anisotrópica puede utilizarse para eliminar el ruido de las imágenes digitales sin difuminar los bordes. Con un coeficiente de difusión constante, las ecuaciones de difusión anisotrópica se reducen a la ecuación del calor , equivalente al desenfoque gaussiano. Esto resulta ideal para eliminar el ruido, pero también difumina indiscriminadamente los bordes. Cuando el coeficiente de difusión se elige como una función que evita los bordes, como en el modelo de Perona-Malik, las ecuaciones resultantes favorecen la difusión (y, por lo tanto, el suavizado) en las regiones de menor intensidad de imagen y la suprimen en los bordes pronunciados. De este modo, se preservan los bordes al tiempo que se elimina el ruido de la imagen.

De forma similar a la eliminación de ruido, la difusión anisotrópica puede utilizarse en algoritmos de detección de bordes. Al aplicar la difusión con un coeficiente de difusión que busca bordes durante un número determinado de iteraciones, la imagen puede evolucionar hacia una imagen constante por partes, donde los límites entre los componentes constantes se detectan como bordes.

• Filtro bilateral
• Detección de bordes
• Suavizado que preserva los bordes
• ecuación del calor
• Ruido de imagen
• Reducción de ruido
• Espacio de escala
• eliminación de ruido de variación total
• Variación limitada

• Función PeronaMalikFilter de Mathematica .
• Paquete de difusión anisotrópica no lineal IDL (mejora de bordes y mejora de coherencia):