Motor diferencial

Charles Babbage comenzó a construir una pequeña máquina diferencial alrededor de 1819 ^{[ 4 ]} y la completó en 1822 (Máquina Diferencial 0). ^{[ 5 ]} Anunció su invención el 14 de junio de 1822, en un artículo para la Real Sociedad Astronómica , titulado "Nota sobre la aplicación de maquinaria al cálculo de tablas astronómicas y matemáticas". ^{[ 6 ]} Esta máquina utilizaba el sistema numérico decimal y se accionaba girando una manivela. El gobierno británico estaba interesado, ya que la elaboración de tablas era laboriosa y costosa, y esperaban que la máquina diferencial hiciera la tarea más económica. ^{[ 7 ]}

En 1823, el gobierno británico le dio a Babbage 1700 libras esterlinas para comenzar a trabajar en el proyecto. Aunque el diseño de Babbage era factible, las técnicas metalúrgicas de la época no permitían fabricar económicamente las piezas con la precisión y cantidad requeridas. Por lo tanto, la implementación resultó ser mucho más costosa y con menos probabilidades de éxito que la estimación inicial del gobierno. Según el diseño de 1830 para la Máquina Diferencial n.° 1, tendría alrededor de 25 000 piezas, pesaría 4 ^{toneladas [} 8 ] ^{y operaría} con números de 20 dígitos mediante diferencias de sexto orden. En 1832, Babbage y Joseph Clement produjeron un pequeño modelo funcional (una séptima parte del plan) ^{[ 5 ]} que operaba con números de 6 dígitos mediante diferencias de segundo orden. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Lady Byron describió haber visto el prototipo en funcionamiento en 1833: «Ambas fuimos a ver la máquina pensante (o eso parece) el lunes pasado. Elevó varios números a la segunda y tercera potencia, y extrajo la raíz de una ecuación cuadrática». ^{[ 11 ]} La hija de Lady Byron, Ada Lovelace, se sentiría más tarde fascinada y trabajaría en la creación del primer programa informático destinado a resolver la ecuación de Bernoulli utilizando la máquina diferencial. El trabajo en la máquina más grande se suspendió en 1833.

Para cuando el gobierno abandonó el proyecto en 1842, ^{[ 10 ] [ 12 ]} Babbage había recibido y gastado más de 17 000 libras esterlinas en desarrollo, que aún no lograba obtener una máquina funcional. El gobierno valoraba únicamente la producción de la máquina (tablas producidas económicamente), no el desarrollo (a un costo impredecible) de la máquina en sí. Babbage se negó a reconocer esa situación. ^{[ 7 ]} Mientras tanto, la atención de Babbage se había centrado en el desarrollo de una máquina analítica , lo que socavó aún más la confianza del gobierno en el éxito final de la máquina diferencial. Al mejorar el concepto como una máquina analítica, Babbage había vuelto obsoleto el concepto de máquina diferencial y el proyecto para implementarlo un fracaso total a juicio del gobierno. ^{[ 7 ]}

La máquina diferencial n.º 1, aún incompleta, se exhibió al público en la Exposición Internacional de 1862 en South Kensington , Londres. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Babbage diseñó posteriormente su máquina analítica, mucho más general, pero más tarde diseñó una versión mejorada de la "Máquina Diferencial n.º 2" (números de 31 dígitos y diferencias de séptimo orden), ^{[ 9 ]} entre 1846 y 1849. Babbage pudo aprovechar las ideas desarrolladas para la máquina analítica para que la nueva máquina diferencial calculara más rápidamente utilizando menos piezas. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Inspirado por la máquina diferencial de Babbage en 1834, el inventor sueco Per Georg Scheutz construyó varios modelos experimentales. En 1837, su hijo Edvard propuso construir un modelo funcional en metal, y en 1840 finalizó la parte de cálculo, capaz de calcular series con números de cinco dígitos y diferencias de primer orden, que posteriormente se amplió a tercer orden (1842). En 1843, tras añadir la parte de impresión, el modelo quedó completo.

En 1851, con financiación del gobierno, comenzó la construcción de la máquina más grande y mejorada (números de 15 dígitos y diferencias de cuarto orden), que se terminó en 1853. La máquina se presentó en la Exposición Universal de París de 1855 y luego se vendió en 1856 al Observatorio Dudley en Albany, Nueva York . Entregada en 1857, fue la primera calculadora con impresora vendida. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} En 1857, el gobierno británico encargó la siguiente máquina de diferencias de Scheutz , que se construyó en 1859. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Tenía la misma construcción básica que la anterior, con un peso aproximado de 10 cwt (1100 lb ; 510 kg ) . ^{[ 19 ]}   

Martin Wiberg mejoró la construcción de Scheutz ( hacia 1859 , su máquina tiene la misma capacidad que la de Scheutz: 30 dígitos y sexto orden), pero utilizó su dispositivo únicamente para producir y publicar tablas impresas (tablas de interés en 1860 y tablas logarítmicas en 1875). ^{[ 22 ]}

Alfred Deacon de Londres, hacia 1862, produjo una pequeña máquina diferencial (números de 20 dígitos y diferencias de tercer orden). ^{[ 17 ] [ 23 ]}

El estadounidense George B. Grant comenzó a trabajar en su máquina calculadora en 1869, sin conocer los trabajos de Babbage y Scheutz (Schentz). Un año después (1870) aprendió sobre las máquinas diferenciales y procedió a diseñar una él mismo, describiendo su construcción en 1871. En 1874, el Boston Thursday Club recaudó fondos para la construcción de un modelo a gran escala, que se construyó en 1876. Podía ampliarse para mejorar la precisión y pesaba alrededor de 2000 libras (910 kg) . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 

Christel Hamann construyó una máquina (para números de 16 dígitos y diferencias de segundo orden) en 1909 para las "Tablas de Bauschinger y Peters" ("Tablas logarítmico-trigonométricas con ocho decimales"), que se publicaron por primera vez en Leipzig en 1910. Pesaba unos 40 kilogramos (88 lb) . ^{[ 23 ] [ 26 ] [ 27 ]} 

La Corporación Burroughs construyó alrededor de 1912 una máquina para la Oficina del Almanaque Náutico que se utilizó como máquina diferencial de segundo orden. ^{[ 28 ] : 451 [ 29 ]} Posteriormente, en 1929, fue reemplazada por una Burroughs Clase 11 (números de 13 dígitos y diferencias de segundo orden, o números de 11 dígitos y diferencias de [al menos hasta] quinto orden). ^{[ 30 ]}

Alexander John Thompson construyó alrededor de 1927 una máquina integradora y diferencial (para números de 13 dígitos y diferencias de quinto orden) para su tabla de logaritmos "Logarithmetica britannica". Esta máquina estaba compuesta por cuatro calculadoras Triumphator modificadas. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

En 1928, Leslie Comrie describió cómo usar la máquina calculadora Brunsviga -Dupla como una máquina diferencial de segundo orden (números de 15 dígitos). ^{[ 28 ]} También señaló en 1931 que la National Accounting Machine Clase 3000 podía usarse como una máquina diferencial de sexto orden. ^{[ 23 ] : 137–138}

Durante la década de 1980, Allan G. Bromley , profesor asociado de la Universidad de Sídney , Australia , estudió los dibujos originales de Babbage para las Máquinas Diferencial y Analítica en la biblioteca del Museo de Ciencias de Londres. ^{[ 34 ]} Este trabajo llevó al Museo de Ciencias a construir una sección de cálculo funcional de la máquina diferencial n.° 2 entre 1985 y 1991, bajo la dirección de Doron Swade , entonces conservador de informática. Esto se hizo para celebrar el 200 aniversario del nacimiento de Babbage en 1991. En 2002, también se completó la impresora que Babbage diseñó originalmente para la máquina diferencial. ^{[ 35 ]} La conversión de los dibujos de diseño originales a dibujos adecuados para el uso de los fabricantes de ingeniería reveló algunos errores menores en el diseño de Babbage (posiblemente introducidos como protección en caso de que los planos fueran robados), ^{[ 36 ]} que tuvieron que ser corregidos. La máquina diferencial y la impresora se construyeron con tolerancias alcanzables con la tecnología del siglo XIX, resolviendo así un debate de larga data sobre si el diseño de Babbage podría haber funcionado utilizando los métodos de ingeniería de la época georgiana. La máquina contiene 8000 piezas y pesa aproximadamente 5 toneladas. ^{[ 37 ]}

El propósito principal de la impresora es producir planchas estereotipadas para su uso en imprentas, lo cual logra presionando tipos sobre yeso blando para crear un flong . Babbage pretendía que los resultados de la máquina se transmitieran directamente a la impresión en masa, tras haber reconocido que muchos errores en tablas anteriores no eran resultado de errores de cálculo humanos, sino de fallos en el proceso manual de composición tipográfica . ^{[ 7 ]} La impresión en papel sirve principalmente para comprobar el rendimiento de la máquina.

Además de financiar la construcción del mecanismo de salida para la máquina diferencial del Museo de Ciencias, Nathan Myhrvold encargó la construcción de una segunda Máquina Diferencial N.° 2 completa, que estuvo expuesta en el Museo de Historia de la Computación en Mountain View, California , desde mayo de 2008 hasta enero de 2016. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} Posteriormente fue trasladada a Intellectual Ventures en Seattle , donde se exhibe justo afuera del vestíbulo principal. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

En el diseño de Babbage, se produce una iteración (es decir, un conjunto completo de operaciones de suma y acarreo ) por cada rotación del eje principal. Las columnas pares e impares realizan alternativamente una suma en un ciclo. La secuencia de operaciones para la columna es la siguiente:${\displaystyle n}$es así: ^{[ 44 ]}

1. Contar hacia arriba, recibiendo el valor de la columna${\displaystyle n+1}$(Paso adicional)
2. Realizar propagación de acarreo en el valor contado ascendentemente.
3. Cuenta regresiva hasta cero, agregando a la columna${\displaystyle n-1}$
4. Restablecer el valor de la cuenta regresiva a su valor original.

Los pasos 1, 2, 3 y 4 se repiten en cada columna impar, mientras que los pasos 3, 4, 1 y 2 se repiten en cada columna par.

Si bien el diseño original de Babbage colocaba la manivela directamente en el eje principal, posteriormente se comprendió que la fuerza necesaria para accionar la máquina sería demasiado grande para que una persona la manejara cómodamente. Por lo tanto, los dos modelos construidos incorporan un engranaje reductor de 4:1 en la manivela, y se requieren cuatro revoluciones de la misma para completar un ciclo.

Cada iteración crea un nuevo resultado y se realiza en cuatro pasos que corresponden a cuatro giros completos de la manivela que se muestra en el extremo derecho de la imagen inferior. Los cuatro pasos son:

1. Todas las columnas pares (2, 4, 6, 8) se suman simultáneamente a todas las columnas impares (1, 3, 5, 7). Un brazo de barrido interno hace girar cada columna par para que el número de cada rueda disminuya hasta cero. Cuando una rueda llega a cero, transfiere su valor a un engranaje sectorial ubicado entre las columnas pares e impares. Estos valores se transfieren a la columna impar, haciendo que aumente su conteo. Cualquier valor de la columna impar que pase de "9" a "0" activa una palanca de arrastre .
2. Para las columnas impares, cualquier palanca de acarreo activada incrementa en 1 el dígito adyacente. Esta operación de acarreo se aplica secuencialmente para permitir la propagación de los acarreos. Mientras tanto, las columnas pares vuelven a sus valores originales.
3. Esto es similar al paso 1, excepto que se suman las columnas impares (3, 5, 7) a las pares (2, 4, 6), y los valores de la primera columna se transfieren mediante un engranaje sectorial al mecanismo de impresión en el extremo izquierdo del motor. Cualquier valor de columna par que pase de "9" a "0" activa una palanca de acarreo. El valor de la primera columna, el resultado del polinomio, se envía al mecanismo de impresión conectado.
4. Esto es similar al paso 2, pero para realizar acarreos en las columnas pares y devolver las columnas impares a sus valores originales.

El motor representa los números negativos como complemento a diez . La resta equivale a la suma de un número negativo. Esto funciona de la misma manera que las computadoras modernas realizan la resta, conocida como complemento a dos .

Muchas funciones de uso común son funciones analíticas , que pueden expresarse como series de potencias , por ejemplo, como una serie de Taylor . Los valores iniciales pueden calcularse con cualquier grado de precisión; si se realiza correctamente, el motor proporcionará resultados exactos para los primeros N pasos. Posteriormente, el motor solo ofrecerá una aproximación de la función.

La serie de Taylor expresa la función como una suma obtenida a partir de sus derivadas en un punto. Para muchas funciones, las derivadas de orden superior son triviales de obtener; por ejemplo, la función seno en 0 tiene valores de 0 o${\displaystyle \pm 1}$para todas las derivadas. Si establecemos 0 como el inicio del cálculo, obtenemos la serie de Maclaurin simplificada.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}$

Se puede utilizar el mismo método para calcular los valores iniciales a partir de los coeficientes que para las funciones polinómicas. Los coeficientes constantes del polinomio ahora tendrán el valor

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

El problema con los métodos descritos anteriormente es que los errores se acumulan y la serie tiende a divergir de la función verdadera. Una solución que garantiza un error máximo constante es usar el ajuste de curvas . Se calcula un mínimo de N valores espaciados uniformemente a lo largo del rango de los cálculos deseados. Usando una técnica de ajuste de curvas como la reducción gaussiana, se encuentra una interpolación polinómica de grado N −1 de la función. ^{[ 46 ]} Con el polinomio optimizado, los valores iniciales se pueden calcular como se indicó anteriormente.