Estrés (mecánica)

En mecánica de medios continuos , la tensión es una magnitud física que describe las fuerzas presentes durante la deformación . Por ejemplo, un objeto que se estira, como una banda elástica, está sometido a tensión y puede sufrir elongación . Un objeto que se comprime, como una esponja arrugada, está sometido a compresión y puede sufrir acortamiento. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Cuanto mayor sea la fuerza y ​​menor el área de la sección transversal del cuerpo sobre el que actúa, mayor será la tensión. La tensión tiene dimensiones de fuerza por unidad de área, con unidades del SI de newtons por metro cuadrado (N/m² ⁾ o pascal (Pa). ^{[ 1 ]}

La tensión expresa las fuerzas internas que las partículas vecinas de un material continuo ejercen entre sí, mientras que la deformación es la medida de la deformación relativa del material. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, cuando una barra vertical sólida soporta un peso suspendido , cada partícula de la barra empuja a las partículas que se encuentran inmediatamente debajo. Cuando un líquido se encuentra en un recipiente cerrado bajo presión , cada partícula es empujada por todas las partículas circundantes. Las paredes del recipiente y la superficie que induce la presión (como un pistón) ejercen presión sobre ellas en una reacción (newtoniana) . Estas fuerzas macroscópicas son, en realidad, el resultado neto de un gran número de fuerzas intermoleculares y colisiones entre las partículas de esas moléculas . La tensión se representa frecuentemente con la letra griega minúscula sigma ( σ ). ^{[ 3 ]}

La deformación interna de un material puede surgir por diversos mecanismos, como la tensión aplicada por fuerzas externas al material en su conjunto (como la gravedad ) o a su superficie (como las fuerzas de contacto , la presión externa o la fricción ). Cualquier deformación de un material sólido genera una tensión elástica interna , análoga a la fuerza de reacción de un resorte , que tiende a devolver el material a su estado original sin deformar. En líquidos y gases , solo las deformaciones que modifican el volumen generan tensión elástica persistente. Si la deformación cambia gradualmente con el tiempo, incluso en fluidos suele existir cierta tensión viscosa que se opone a dicho cambio. Las tensiones elásticas y viscosas se suelen agrupar bajo el nombre de tensión mecánica .

Puede existir una tensión significativa incluso cuando la deformación es insignificante o inexistente (una suposición común al modelar el flujo de agua). La tensión puede existir en ausencia de fuerzas externas; esta tensión intrínseca es importante, por ejemplo, en el hormigón pretensado y el vidrio templado . También se puede imponer tensión a un material sin la aplicación de fuerzas netas , por ejemplo, mediante cambios de temperatura o composición química , o mediante campos electromagnéticos externos (como en los materiales piezoeléctricos y magnetostrictivos ).

La relación entre la tensión mecánica, la deformación y la velocidad de deformación puede ser bastante compleja, aunque una aproximación lineal puede ser suficiente en la práctica si las magnitudes son suficientemente pequeñas. Una tensión que supere ciertos límites de resistencia del material provocará una deformación permanente (como flujo plástico , fractura o cavitación ) o incluso alterará su estructura cristalina y composición química .

Puente de la época romana en Suiza . Los arcos de piedra del puente están sometidos a esfuerzos de compresión .

Puente inca sobre el río Apurímac . La cuerda del puente está sometida a esfuerzos de tracción .

Los seres humanos conocen la existencia de tensiones internas en los materiales desde la antigüedad. Hasta el siglo XVII, este conocimiento era en gran medida intuitivo y empírico, aunque esto no impidió el desarrollo de tecnologías relativamente avanzadas como el arco compuesto y el soplado de vidrio . ^{[ 4 ]}

A lo largo de varios milenios, arquitectos y constructores, en particular, aprendieron a ensamblar vigas de madera y bloques de piedra cuidadosamente moldeados para resistir, transmitir y distribuir la tensión de la manera más eficaz, con ingeniosos dispositivos como los capiteles , arcos , cúpulas , cerchas y arbotantes de las catedrales góticas .

Los arquitectos antiguos y medievales desarrollaron algunos métodos geométricos y fórmulas simples para calcular las dimensiones adecuadas de pilares y vigas, pero la comprensión científica de la tensión solo fue posible después de que se inventaran las herramientas necesarias en los siglos XVII y XVIII: el método experimental riguroso de Galileo Galilei , las coordenadas y la geometría analítica de René Descartes , y las leyes del movimiento y el equilibrio y el cálculo de infinitesimales de Newton . [ ^{5 ] Con} esas herramientas, Augustin-Louis Cauchy pudo dar el primer modelo matemático riguroso y general de un cuerpo elástico deformado al introducir las nociones de tensión y deformación. ^{[ 6 ]} Cauchy observó que la fuerza a través de una superficie imaginaria era una función lineal de su vector normal; y, además, que debía ser una función simétrica (con momento total cero). La comprensión de la tensión en líquidos comenzó con Newton, quien proporcionó una fórmula diferencial para las fuerzas de fricción (esfuerzo cortante) en flujo laminar paralelo .

La tensión se define como la fuerza que actúa sobre un pequeño límite por unidad de área de dicho límite, para todas las orientaciones del mismo. ^{[ 7 ]} Derivada de una magnitud física (fuerza) y una magnitud puramente geométrica (área), la tensión es también una magnitud física, como la velocidad, el par o la energía , que puede cuantificarse y analizarse sin considerar explícitamente la naturaleza del material ni sus causas físicas.

Siguiendo las premisas básicas de la mecánica de medios continuos, la tensión es un concepto macroscópico . Es decir, las partículas consideradas en su definición y análisis deben ser lo suficientemente pequeñas como para ser tratadas como homogéneas en composición y estado, pero aún lo suficientemente grandes como para ignorar los efectos cuánticos y los movimientos detallados de las moléculas. Así, la fuerza entre dos partículas es en realidad el promedio de un gran número de fuerzas atómicas entre sus moléculas; y las cantidades físicas como la masa, la velocidad y las fuerzas que actúan a través del volumen de los cuerpos tridimensionales, como la gravedad, se suponen distribuidas suavemente sobre ellos. ^{[ 8 ] : 90–106} Dependiendo del contexto, también se puede suponer que las partículas son lo suficientemente grandes como para permitir el promedio de otras características microscópicas, como los granos de una varilla de metal o las fibras de un trozo de madera .

Cuantitativamente, la tensión se expresa mediante el vector de tracción de Cauchy T, definido como la fuerza de tracción F entre partes adyacentes del material a través de una superficie separadora imaginaria S , dividida por el área de S. ^{[ 9 ] : 41–50} En un fluido en reposo , la fuerza es perpendicular a la superficie y es la presión conocida . En un sólido , o en un flujo de líquido viscoso , la fuerza F puede no ser perpendicular a S ; por lo tanto, la tensión a través de una superficie debe considerarse una cantidad vectorial, no una escalar. Además, la dirección y la magnitud generalmente dependen de la orientación de S. Por lo tanto, el estado de tensión del material debe describirse mediante un tensor , llamado tensor de tensión (de Cauchy) ; que es una función lineal que relaciona el vector normal n de una superficie S con el vector de tracción T a través de S. Con respecto a cualquier sistema de coordenadas elegido , el tensor de tensión de Cauchy puede representarse como una matriz simétrica de números reales de 3×3. Incluso dentro de un cuerpo homogéneo , el tensor de tensión puede variar de un lugar a otro y puede cambiar con el tiempo; por lo tanto, la tensión dentro de un material es, en general, un campo tensorial que varía con el tiempo .

La dimensión de la tensión es la de la presión , por lo que sus coordenadas se miden en las mismas unidades que la presión: pascales (Pa, es decir, newtons por metro cuadrado ) en el Sistema Internacional , o libras por pulgada cuadrada (psi) en el Sistema Imperial . Dado que las tensiones mecánicas superan fácilmente el millón de pascales, el MPa, que significa megapascal, es una unidad común de tensión.

La tensión en un cuerpo material puede deberse a múltiples causas físicas, incluyendo influencias externas y procesos físicos internos. Algunos de estos agentes (como la gravedad, los cambios de temperatura y fase , y los campos electromagnéticos) actúan sobre el volumen del material, variando continuamente con la posición y el tiempo. Otros agentes (como las cargas externas y la fricción, la presión ambiental y las fuerzas de contacto) pueden crear tensiones y fuerzas que se concentran en ciertas superficies, líneas o puntos; y posiblemente también en intervalos de tiempo muy cortos (como en los impulsos debidos a colisiones). En la materia activa , la autopropulsión de partículas microscópicas genera perfiles de tensión macroscópicos. ^{[ 11 ]} En general, la distribución de la tensión en un cuerpo se expresa como una función continua a trozos del espacio y el tiempo.

Por el contrario, la tensión suele estar correlacionada con diversos efectos sobre el material, incluyendo posiblemente cambios en propiedades físicas como la birrefringencia , la polarización y la permeabilidad . La imposición de tensión por un agente externo suele crear cierta deformación en el material, aunque sea demasiado pequeña para detectarla. En un material sólido, dicha deformación generará a su vez una tensión elástica interna, análoga a la fuerza de reacción de un resorte estirado , que tiende a restaurar el material a su estado original sin deformar. Los materiales fluidos (líquidos, gases y plasmas ), por definición, solo pueden oponerse a deformaciones que cambien su volumen. Si la deformación cambia con el tiempo, incluso en los fluidos suele haber cierta tensión viscosa que se opone a ese cambio. Dichas tensiones pueden ser de naturaleza cortante o normal. El origen molecular de las tensiones cortantes en los fluidos se describe en el artículo sobre viscosidad . Lo mismo para las tensiones viscosas normales se puede encontrar en Sharma (2019). ^{[ 12 ]}

La relación entre la tensión y sus efectos y causas, incluyendo la deformación y la tasa de cambio de la deformación, puede ser bastante compleja (aunque una aproximación lineal puede ser suficiente en la práctica si las cantidades son suficientemente pequeñas). Una tensión que exceda ciertos límites de resistencia del material dará lugar a una deformación permanente (como flujo plástico , fractura , cavitación ) o incluso a un cambio en su estructura cristalina y composición química .

En algunas situaciones, la tensión dentro de un cuerpo puede describirse adecuadamente mediante un solo número o un solo vector (un número y una dirección). Tres de estas situaciones de tensión simples , que se encuentran frecuentemente en el diseño de ingeniería, son la tensión normal uniaxial , la tensión cortante simple y la tensión normal isotrópica . ^{[ 13 ]}

Normal uniaxial

Una situación común con un patrón de tensión simple es cuando una varilla recta, con material y sección transversal uniformes, está sometida a tensión por fuerzas opuestas de magnitud${\displaystyle F}$a lo largo de su eje. Si el sistema está en equilibrio y no cambia con el tiempo, y se puede despreciar el peso de la barra, entonces a través de cada sección transversal de la barra la parte superior debe tirar de la parte inferior con la misma fuerza, F, con continuidad a través de toda el área de la sección transversal , A. Por lo tanto, la tensión σ a lo largo de la barra, a través de cualquier superficie horizontal, se puede expresar simplemente con un solo número σ, calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F , y el área de la sección transversal , A.$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$Por otro lado, si se imagina que la barra se corta longitudinalmente, paralelamente al eje, no habrá fuerza (por lo tanto, no habrá tensión) entre las dos mitades a través del corte. Este tipo de tensión puede denominarse tensión normal (simple) o tensión uniaxial; específicamente, tensión de tracción (uniaxial, simple, etc.). ^{[ 13 ]} Si la carga es de compresión sobre la barra, en lugar de estirarla, el análisis es el mismo excepto que la fuerza F y la tensión${\displaystyle \sigma }$cambia de signo y la tensión se denomina tensión de compresión.

Este análisis supone que la tensión se distribuye uniformemente en toda la sección transversal. En la práctica, dependiendo de cómo se fije la barra en los extremos y cómo se haya fabricado, esta suposición puede no ser válida. En ese caso, el valor${\displaystyle \sigma }$= F / A será solo la tensión promedio, llamada tensión de ingeniería o tensión nominal . Si la longitud L de la barra es muchas veces su diámetro D , y no tiene defectos importantes ni tensiones internas , entonces se puede suponer que la tensión está distribuida uniformemente en cualquier sección transversal que esté a más de unas pocas veces D de ambos extremos. (Esta observación se conoce como el principio de Saint-Venant ).

La tensión normal se presenta en muchas otras situaciones además de la tracción y compresión axial. Si una barra elástica con sección transversal uniforme y simétrica se dobla en uno de sus planos de simetría, la tensión de flexión resultante seguirá siendo normal (perpendicular a la sección transversal), pero variará a lo largo de la misma: la parte exterior estará sometida a tracción, mientras que la parte interior estará comprimida. Otra variante de la tensión normal es la tensión circunferencial que se produce en las paredes de una tubería o recipiente cilíndrico lleno de fluido a presión.

Cortar

Otro tipo simple de tensión ocurre cuando una capa uniformemente gruesa de material elástico, como pegamento o caucho, está firmemente unida a dos cuerpos rígidos que son estirados en direcciones opuestas por fuerzas paralelas a la capa; o una sección de una barra de metal blando que está siendo cortada por las mordazas de una herramienta similar a unas tijeras . Sea F la magnitud de esas fuerzas y M el plano medio de esa capa. Al igual que en el caso de tensión normal, la parte de la capa a un lado de M debe tirar de la otra parte con la misma fuerza F. Suponiendo que se conoce la dirección de las fuerzas, la tensión a través de M se puede expresar simplemente mediante un solo número.${\displaystyle \tau }$, calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F y el área de la sección transversal , A.$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$A diferencia de la tensión normal, esta tensión cortante simple está dirigida paralelamente a la sección transversal considerada, en lugar de perpendicularmente a ella. ^{[ 13 ]} Para cualquier plano S que sea perpendicular a la capa, la fuerza interna neta a través de S , y por lo tanto la tensión, será cero.

Como en el caso de una barra cargada axialmente, en la práctica la tensión cortante puede no estar distribuida uniformemente sobre la capa; por lo tanto, como antes, la relación F / A será solo una tensión promedio ("nominal", "de ingeniería"). Ese promedio suele ser suficiente para fines prácticos. ^{[ 14 ] : 292} La tensión cortante también se observa cuando una barra cilíndrica como un eje está sometida a pares opuestos en sus extremos. En ese caso, la tensión cortante en cada sección transversal es paralela a la sección transversal, pero orientada tangencialmente con respecto al eje, y aumenta con la distancia al eje. Se produce una tensión cortante significativa en la placa central (el "alma") de las vigas en I bajo cargas de flexión, debido a que el alma restringe las placas de los extremos ("alas").

isotrópico

Otro tipo de tensión simple se produce cuando el cuerpo material está sometido a compresión o tensión uniformes en todas las direcciones. Este es el caso, por ejemplo, de una porción de líquido o gas en reposo, ya sea que esté contenida en algún recipiente o forme parte de una masa mayor de fluido; o dentro de un cubo de material elástico que está siendo comprimido o estirado en sus seis caras por fuerzas perpendiculares iguales; siempre que, en ambos casos, el material sea homogéneo, sin tensiones internas, y que se pueda despreciar el efecto de la gravedad y otras fuerzas externas.

En estas situaciones, la tensión a través de cualquier superficie interna imaginaria resulta ser de igual magnitud y siempre dirigida perpendicularmente a la superficie, independientemente de su orientación. Este tipo de tensión puede denominarse isotrópica normal o simplemente isotrópica ; si es compresiva, se denomina presión hidrostática o simplemente presión . Por definición, los gases no pueden soportar esfuerzos de tracción, pero algunos líquidos pueden soportar grandes cantidades de esfuerzo de tracción isotrópico en determinadas circunstancias. Véase tubo Z.

A menudo, los cuerpos mecánicos experimentan más de un tipo de esfuerzo al mismo tiempo; esto se denomina esfuerzo combinado . En el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante, la magnitud del esfuerzo es máxima para las superficies que son perpendiculares a una determinada dirección.${\displaystyle d}$y cero en cualquier superficie que sea paralela a${\displaystyle d}$Cuando la tensión cortante es cero únicamente en superficies perpendiculares a una dirección específica, se denomina tensión biaxial y puede considerarse como la suma de dos tensiones normales o cortantes. En el caso más general, denominado tensión triaxial , la tensión es distinta de cero en todos los elementos de la superficie.

Las tensiones combinadas no pueden describirse mediante un único vector. Incluso si el material se somete a la misma tensión en todo el volumen del cuerpo, la tensión en cualquier superficie teórica dependerá de la orientación de dicha superficie de una manera compleja.

Cauchy observó que el vector de tensión${\displaystyle T}$La fuerza transversal a una superficie siempre será una función lineal del vector normal de la superficie.${\displaystyle n}$, el vector de longitud unitaria que es perpendicular a él. Es decir,${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$, donde la función${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$Satisface $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$$ para cualquier vector${\displaystyle u,v}$y cualquier número real${\displaystyle \alpha,\beta}$. La función${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, ahora llamado tensor de tensiones (de Cauchy) , describe completamente el estado de tensión de un cuerpo sometido a tensión uniforme. (Hoy en día, cualquier conexión lineal entre dos cantidades vectoriales físicas se denomina tensor , lo que refleja el uso original de Cauchy para describir las "tensiones" (tensiones) en un material). En el cálculo tensorial ,${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$se clasifica como un tensor de segundo orden de tipo (0,2) o (1,1) según la convención.

Al igual que cualquier mapeo lineal entre vectores, el tensor de tensión puede representarse en cualquier sistema de coordenadas cartesianas elegido mediante una matriz de números reales de 3×3. Dependiendo de si las coordenadas están numeradas${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$o llamado${\displaystyle x,y,z}$, la matriz puede escribirse como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ o $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$ El vector de tensión${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$a través de una superficie con vector normal${\displaystyle n}$(que es covariante - "fila; horizontal" - vector) con coordenadas${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$es entonces un producto matricial${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$(donde T en el índice superior es la transposición , y como resultado obtenemos el vector covariante (fila)) (observe el tensor de estrés de Cauchy ), es decir $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

La relación lineal entre${\displaystyle T}$y${\displaystyle n}$Se deduce de las leyes fundamentales de conservación del momento lineal y equilibrio estático de fuerzas, y por lo tanto es matemáticamente exacto, para cualquier material y cualquier situación de tensión. Los componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto de un material satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero). Además, el principio de conservación del momento angular implica que el tensor de tensiones es simétrico , es decir${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$,${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$, y${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$Por lo tanto, el estado de tensión del medio en cualquier punto e instante puede especificarse mediante solo seis parámetros independientes, en lugar de nueve. Estos pueden escribirse $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$$ donde los elementos${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$se denominan tensiones normales ortogonales (en relación con el sistema de coordenadas elegido), y${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$las tensiones de corte ortogonales .

placas delgadas

Los objetos fabricados por el ser humano suelen elaborarse a partir de planchas de diversos materiales mediante operaciones que no alteran su naturaleza esencialmente bidimensional, como el corte, la perforación, el doblado suave y la soldadura de los bordes. La descripción de las tensiones en estos cuerpos se simplifica al modelarlos como superficies bidimensionales en lugar de cuerpos tridimensionales.

Desde esta perspectiva, se redefine una "partícula" como una porción infinitesimal de la superficie de la placa, de modo que el límite entre partículas adyacentes se convierte en un elemento de línea infinitesimal; ambos se extienden implícitamente en la tercera dimensión, perpendiculares a (atravesando) la placa. La "tensión" se redefine entonces como una medida de las fuerzas internas entre dos "partículas" adyacentes a través de su elemento de línea común, dividida por la longitud de dicha línea. Algunos componentes del tensor de tensión pueden ignorarse, pero dado que las partículas no son infinitesimales en la tercera dimensión, ya no se puede ignorar el par que una partícula ejerce sobre sus vecinas. Este par se modela como una tensión de flexión que tiende a modificar la curvatura de la placa. Estas simplificaciones pueden no ser válidas en soldaduras, curvas pronunciadas y pliegues (donde el radio de curvatura es comparable al espesor de la placa).

vigas delgadas

El análisis de esfuerzos puede simplificarse considerablemente también para barras, vigas o alambres delgados de composición y sección transversal uniformes (o que varían suavemente) que se someten a flexión y torsión moderadas. Para estos cuerpos, se pueden considerar únicamente las secciones transversales perpendiculares al eje de la barra, y redefinir una "partícula" como un trozo de alambre con una longitud infinitesimal entre dos de dichas secciones transversales. El esfuerzo ordinario se reduce entonces a una magnitud escalar (tensión o compresión de la barra), pero también se debe tener en cuenta un esfuerzo de flexión (que tiende a cambiar la curvatura de la barra en alguna dirección perpendicular al eje) y un esfuerzo de torsión (que tiende a torcerla o enderezarla alrededor de su eje).

El análisis de esfuerzos es una rama de la física aplicada que se ocupa de determinar la distribución interna de las fuerzas en los objetos sólidos. Es una herramienta esencial en ingeniería para el estudio y diseño de estructuras como túneles, presas, piezas mecánicas y armazones estructurales, bajo cargas prescritas o previstas. También es importante en muchas otras disciplinas; por ejemplo, en geología, para estudiar fenómenos como la tectónica de placas , el vulcanismo y las avalanchas ; y en biología, para comprender la anatomía de los seres vivos.

Métodos

El análisis de tensiones puede realizarse experimentalmente, aplicando cargas al artefacto real o a un modelo a escala y midiendo las tensiones resultantes mediante diversos métodos disponibles. Este enfoque se utiliza a menudo para la certificación y el control de seguridad. La mayor parte de las tensiones se analizan mediante métodos matemáticos, especialmente durante el diseño. El problema básico del análisis de tensiones puede formularse mediante las ecuaciones de movimiento de Euler para cuerpos continuos (que son consecuencia de las leyes de Newton para la conservación del momento lineal y el momento angular ) y el principio de tensión de Euler-Cauchy , junto con las ecuaciones constitutivas apropiadas. De este modo, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que involucran el campo tensorial de tensiones y el campo tensorial de deformaciones , como funciones desconocidas que deben determinarse. Las fuerzas externas del cuerpo aparecen como el término independiente ("lado derecho") en las ecuaciones diferenciales, mientras que las fuerzas concentradas aparecen como condiciones de contorno. Por lo tanto, el problema básico del análisis de tensiones es un problema de valores en la frontera .

El análisis de tensiones en estructuras elásticas se basa en la teoría de la elasticidad y la teoría de deformaciones infinitesimales . Cuando las cargas aplicadas provocan deformación permanente, es necesario utilizar ecuaciones constitutivas más complejas que consideren los procesos físicos involucrados ( flujo plástico , fractura , cambio de fase , etc.). Las estructuras de ingeniería suelen diseñarse de manera que las tensiones máximas esperadas se encuentren dentro del rango de elasticidad lineal (la generalización de la ley de Hooke para medios continuos); es decir, las deformaciones causadas por las tensiones internas están linealmente relacionadas con ellas. En este caso, las ecuaciones diferenciales que definen el tensor de tensiones son lineales, y el problema se simplifica considerablemente. Por un lado, la tensión en cualquier punto también será una función lineal de las cargas. Para tensiones suficientemente pequeñas, incluso los sistemas no lineales pueden considerarse lineales.

El análisis de tensiones se simplifica cuando las dimensiones físicas y la distribución de cargas permiten tratar la estructura como unidimensional o bidimensional. En el análisis de cerchas, por ejemplo, se puede suponer que el campo de tensiones es uniforme y uniaxial en cada elemento. En ese caso, las ecuaciones diferenciales se reducen a un conjunto finito de ecuaciones (generalmente lineales) con un número finito de incógnitas. En otros contextos, se puede reducir el problema tridimensional a uno bidimensional, o bien sustituir los tensores generales de tensión y deformación por modelos más sencillos como tracción/compresión uniaxial, cortante simple, etc.

Sin embargo, para casos bidimensionales o tridimensionales, es necesario resolver un problema de ecuaciones diferenciales parciales. Se pueden obtener soluciones analíticas o en forma cerrada para las ecuaciones diferenciales cuando la geometría, las relaciones constitutivas y las condiciones de contorno son suficientemente simples. De lo contrario, generalmente se recurre a aproximaciones numéricas como el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas y el método de elementos de contorno .

Otras medidas de tensión útiles incluyen los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff de primer y segundo orden , el tensor de tensión de Biot y el tensor de tensión de Kirchhoff .