Orden denso

En matemáticas , un orden parcial o un orden total < en un conjunto${\displaystyle X}$Se dice que es denso si, para todo${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle X}$para qué${\displaystyle x<y}$, hay un${\displaystyle z}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle x<z<y}$Es decir, para cualesquiera dos elementos, uno menor que el otro, hay otro elemento entre ellos. Para órdenes totales, esto se puede simplificar a "para cualesquiera dos elementos distintos, hay otro elemento entre ellos", ya que todos los elementos de un orden total son comparables .

De forma equivalente, un orden parcial es denso precisamente si su relación de recubrimiento es vacía.

Los números racionales como un conjunto linealmente ordenado son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, toda extensión de anillo ordenada arquimediana de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$es un conjunto densamente ordenado.

Por otro lado, el ordenamiento lineal de los números enteros no es denso.

Georg Cantor demostró que todo par de conjuntos numerables densos totalmente ordenados no vacíos, sin cotas inferiores ni superiores, son isomorfos en orden . ^{[ 1 ]} Esto convierte la teoría de los órdenes lineales densos sin cotas en un ejemplo de una teoría ω-categórica, donde ω es el ordinal límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo en orden entre los números racionales y otros conjuntos numerables densos, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las demostraciones de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . ^{[ 2 ]}

La función de signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales , y entre los racionales y los racionales diádicos .

Se dice que una relación binaria R es densa si, para todo x e y relacionados por R , existe un z tal que x y z , y también z e y , están relacionados por R. Formalmente:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$Alternativamente, en términos de composición de R consigo mismo, la condición densa puede expresarse como R ⊆ ( R  ; R ). ^{[ 3 ]}

Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:

• R es reflexivo ;
• R es correflexivo ;
• R es cuasirreflexiva ;
• R es euclidiana izquierda o derecha ; o
• R es simétrico y semiconexo , y X tiene al menos 3 elementos.

Ninguna de ellas es necesaria . Por ejemplo, existe una relación R que no es reflexiva pero sí densa. Una relación no vacía y densa no puede ser antitransitiva .

Un orden parcial estricto < es un orden denso si y solo si < es una relación densa. Una relación densa que también es transitiva se denomina idempotente .

• Conjunto denso : un subconjunto de un espacio topológico cuya clausura es todo el espacio.
• Denso en sí mismo : un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico tal que${\displaystyle A}$no contiene un punto aislado
• Semántica de Kripke : una relación de accesibilidad densa corresponde al axioma${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

• David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Lógica dinámica , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6pág.  6 y siguientes