Paseo aleatorio en tiempo continuo

En matemáticas, una caminata aleatoria en tiempo continuo ( CTRW ) es una generalización de una caminata aleatoria donde la partícula errante espera un tiempo aleatorio entre saltos. Es un proceso de salto estocástico con distribuciones arbitrarias de longitudes de salto y tiempos de espera. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} De manera más general, puede verse como un caso especial de un proceso de renovación de Markov .

El CTRW fue introducido por Montroll y Weiss ^{[ 4 ]} como una generalización de los procesos de difusión física para describir eficazmente la difusión anómala , es decir, los casos superdifusivos y subdifusivos. Una formulación equivalente del CTRW viene dada por ecuaciones maestras generalizadas . ^{[ 5 ]} Se ha establecido una conexión entre los CTRW y las ecuaciones de difusión con derivadas temporales fraccionarias . ^{[ 6 ]} De manera similar, las ecuaciones de difusión fraccionarias espacio-temporales pueden considerarse como CTRW con saltos distribuidos continuamente o aproximaciones continuas de CTRW en redes. ^{[ 7 ]}

Una formulación simple de un CTRW es considerar el proceso estocástico.${\displaystyle X(t)}$definido por

${\displaystyle X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},}$

cuyos incrementos${\displaystyle \Delta X_{i}}$son variables aleatorias i.i.d. que toman valores en un dominio${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle N(t)}$es el número de saltos en el intervalo${\displaystyle (0,t)}$. La probabilidad de que el proceso tome el valor${\displaystyle X}$en ese momento${\displaystyle t}$entonces se da por

${\displaystyle P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).}$

Aquí${\displaystyle P_{n}(X)}$es la probabilidad de que el proceso tome el valor${\displaystyle X}$después${\displaystyle n}$saltos y${\displaystyle P(n,t)}$es la probabilidad de tener${\displaystyle n}$saltos después del tiempo${\displaystyle t}$.

Denotamos por${\displaystyle \tau }$el tiempo de espera entre dos saltos de${\displaystyle N(t)}$y por${\displaystyle \psi (\tau )}$su distribución. La transformada de Laplace de${\displaystyle \psi (\tau )}$se define por

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau \,e^{-\tau s}\psi (\tau ).}$

De manera similar, la función característica de la distribución de saltos${\displaystyle f(\Delta X)}$viene dada por su transformada de Fourier :

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)\,e^{ik\Delta X}f(\Delta X).}$

Se puede demostrar que la transformada de Laplace-Fourier de la probabilidad${\displaystyle P(X,t)}$es dado por

${\displaystyle {\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.}$

La fórmula anterior se conoce como la fórmula de Montroll - Weiss .

El proceso de puntos de Poisson homogéneo es un paseo aleatorio en tiempo continuo con tiempos de retención exponenciales y con cada incremento deterministamente igual a 1.