Constructivismo (filosofía de las matemáticas)

En el análisis real clásico , una forma de definir un número real es como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales .

En matemáticas constructivas, una forma de construir un número real es como una función ƒ que toma un número entero positivo.${\displaystyle n}$y produce una función racional ƒ ( n ), junto con una función g que toma un entero positivo n y produce un entero positivo g ( n ) tal que

${\displaystyle \forall n\ \forall i,j\geq g(n)\quad |f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}$

De modo que, a medida que n aumenta, los valores de ƒ ( n ) se aproximan cada vez más. Podemos usar ƒ y g conjuntamente para calcular una aproximación racional lo más cercana posible al número real que representan.

Según esta definición, una representación simple del número real e es:

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\quad g(n)=n.}$

Esta definición corresponde a la definición clásica que utiliza sucesiones de Cauchy, excepto por un giro constructivo: para una sucesión de Cauchy clásica, se requiere que, para cualquier distancia dada, exista (en un sentido clásico) un elemento en la sucesión después del cual todos los elementos estén más cerca entre sí que esa distancia. En la versión constructiva, se requiere que, para cualquier distancia dada, sea posible especificar un punto en la sucesión donde esto sucede (esta especificación requerida se suele llamar módulo de convergencia ). De hecho, la interpretación constructiva estándar de la afirmación matemática

${\displaystyle \forall n:\exists m:\forall i,j\geq m:|f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}$

es precisamente la existencia de la función que calcula el módulo de convergencia. Así, la diferencia entre las dos definiciones de números reales puede entenderse como la diferencia en la interpretación de la afirmación "para todo... existe...".

Esto plantea la cuestión de qué tipo de función de un conjunto numerable a otro, como f y g , puede construirse realmente. Las distintas versiones del constructivismo difieren en este punto. Las construcciones pueden definirse de forma tan amplia como secuencias de libre elección , que es la visión intuicionista, o tan restringidamente como algoritmos (o, más técnicamente, funciones computables ), o incluso dejarse sin especificar. Si, por ejemplo, se adopta la visión algorítmica, entonces los números reales construidos aquí son esencialmente lo que clásicamente se denominaría números computables .

La interpretación algorítmica anterior parecería contradecir las nociones clásicas de cardinalidad . Al enumerar algoritmos, podemos demostrar que los números computables son clásicamente numerables. Sin embargo, el argumento diagonal de Cantor demuestra que los números reales tienen cardinalidad no numerable. Identificar los números reales con los números computables sería, por lo tanto, una contradicción. Además, el argumento diagonal parece perfectamente constructivo.

En efecto, el argumento diagonal de Cantor puede presentarse de forma constructiva, en el sentido de que, dada una biyección entre los números naturales y los reales, se construye un número real que no pertenece al rango de la función, estableciendo así una contradicción. Se pueden enumerar algoritmos para construir una función T , sobre la cual asumimos inicialmente que es una función de los números naturales a los reales. Sin embargo, a cada algoritmo puede corresponderle o no un número real, ya que el algoritmo puede no satisfacer las restricciones, o incluso ser no terminante ( T es una función parcial ), por lo que no produce la biyección requerida. En resumen, quien sostiene que los números reales son (individualmente) efectivamente computables interpreta el resultado de Cantor como una demostración de que los números reales (colectivamente) no son recursivamente enumerables .

Sin embargo, cabría esperar que, dado que T es una función parcial de los números naturales sobre los números reales, los números reales sean, por lo tanto, no más que numerables. Y, puesto que todo número natural puede representarse trivialmente como un número real, los números reales sean, por lo tanto, no menos que numerables. Son, por consiguiente, exactamente numerables. No obstante, este razonamiento no es constructivo, ya que aún no construye la biyección requerida. El teorema clásico que prueba la existencia de una biyección en tales circunstancias, a saber, el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , no es constructivo. Recientemente se ha demostrado que el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder implica la ley del tercero excluido , por lo que no puede haber una demostración constructiva del teorema. ^{[ 4 ]}

El estatus del axioma de elección en las matemáticas constructivas se complica por los diferentes enfoques de los distintos programas constructivistas. Un significado trivial de "constructivo", utilizado informalmente por los matemáticos, es "demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección". Sin embargo, los defensores de formas más restringidas de matemáticas constructivas afirmarían que ZF en sí mismo no es un sistema constructivo.

En las teorías intuicionistas de la teoría de tipos (especialmente en la aritmética de tipos superiores), se permiten muchas formas del axioma de elección. Por ejemplo, el axioma AC ₁₁ puede parafrasearse diciendo que para cualquier relación R en el conjunto de los números reales, si se ha demostrado que para cada número real x existe un número real y tal que R ( x , y ) se cumple, entonces existe en realidad una función F tal que R ( x , F ( x )) se cumple para todos los números reales. Principios de elección similares se aceptan para todos los tipos finitos. La motivación para aceptar estos principios aparentemente no constructivos es la comprensión intuicionista de la demostración de que "para cada número real x existe un número real y tal que R ( x , y ) se cumple". Según la interpretación BHK , esta demostración en sí misma es esencialmente la función F que se busca. Los principios de elección que aceptan los intuicionistas no implican la ley del tercero excluido .

Sin embargo, en ciertos sistemas axiomáticos de la teoría constructiva de conjuntos, el axioma de elección implica la ley del tercero excluido (en presencia de otros axiomas), como lo demuestra el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill . Algunas teorías constructivas de conjuntos incluyen formas más débiles del axioma de elección, como el axioma de elección dependiente en la teoría de conjuntos de Myhill.

La teoría clásica de la medida es fundamentalmente no constructiva, ya que la definición clásica de la medida de Lebesgue no describe ningún método para calcular la medida de un conjunto ni la integral de una función. De hecho, si se considera una función simplemente como una regla que "recibe un número real como entrada y produce un número real como salida", entonces no puede existir ningún algoritmo para calcular la integral de una función, puesto que cualquier algoritmo solo podría considerar un número finito de valores de la función a la vez, y un número finito de valores no es suficiente para calcular la integral con una precisión no trivial. La solución a este problema, desarrollada por primera vez en Bishop (1967) , consiste en considerar únicamente funciones que se expresan como el límite puntual de funciones continuas (con módulo de continuidad conocido), con información sobre la tasa de convergencia. Una ventaja de la teoría constructivista de la medida es que, si se puede demostrar que un conjunto es constructivamente de medida completa, entonces existe un algoritmo para encontrar un punto en ese conjunto (véase de nuevo Bishop (1967) ).