paquete normal

Sea una variedad riemanniana y una subvariedad riemanniana . Definimos, para un dado , un vector normal a siempre que para todo (de modo que sea ortogonal a ). El conjunto de todos tales se denomina entonces espacio normal a en .${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g(n,v)=0}$${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle \mathrm {N} _ {p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$

Así como el espacio total del fibrado tangente a una variedad se construye a partir de todos los espacios tangentes a la variedad, el espacio total del fibrado normal ^{[ 1 ]} a se define como${\displaystyle \mathrm {N} S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

El fibrado conormal se define como el fibrado dual del fibrado normal. Se puede realizar de forma natural como un subfibrado del fibrado cotangente (de ).${\displaystyle M}$

De forma más abstracta, dada una inmersión (por ejemplo, una incrustación), se puede definir un fibrado normal de en , mediante en cada punto de , tomando el espacio cociente del espacio tangente en por el espacio tangente en . Para una variedad riemanniana se puede identificar este cociente con el complemento ortogonal, pero en general no se puede (tal elección es equivalente a una sección de la proyección ).${\displaystyle i:N\to M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p:V\to V/W}$

Así, el fibrado normal es en general un cociente del fibrado tangente del espacio ambiente restringido al subespacio .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Formalmente, el fibrado normal ^{[ 2 ]} a en es un fibrado cociente del fibrado tangente en : se tiene la sucesión exacta corta de fibrados vectoriales en :${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

donde es la restricción del fibrado tangente en a (propiamente, el retroceso del fibrado tangente en a un fibrado vectorial en mediante la aplicación ). La fibra del fibrado normal en se denomina espacio normal en (de en ).${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$${\displaystyle p\in N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

Si es una subvariedad lisa de una variedad , podemos elegir coordenadas locales alrededor de tal manera que esté definida localmente por ; entonces con esta elección de coordenadas${\displaystyle Y\subsetequ X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

y el haz ideal se genera localmente por . Por lo tanto, podemos definir un emparejamiento no degenerado${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

que induce un isomorfismo de haces . Podemos reformular este hecho introduciendo el fibrado conormal definido mediante la sucesión exacta conormal.${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$,

entonces , es decir, las secciones del fibrado conormal son los vectores cotangentes que se anulan en .${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {T} Y}$

Cuando es un punto, entonces el haz ideal es el haz de gérmenes suaves que se anulan en y el isomorfismo se reduce a la definición del espacio tangente en términos de gérmenes de funciones suaves en${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$.