Superficie cónica

En geometría , una superficie cónica es una superficie no delimitada en el espacio tridimensional formada por la unión de infinitas líneas que pasan por un punto fijo y una curva espacial .

Una superficie cónica ( general ) es la superficie no delimitada formada por la unión de todas las líneas rectas que pasan por un punto fijo —el vértice— y cualquier punto de una curva espacial fija —la directriz— que no contiene el vértice. Cada una de esas líneas se denomina generatriz de la superficie. La directriz suele considerarse una curva plana , en un plano que no contiene el vértice, pero esto no es un requisito. ^{[ 1 ]}

En general, una superficie cónica consta de dos mitades congruentes no delimitadas unidas por el vértice. Cada mitad se denomina manto y es la unión de todos los rayos que parten del vértice y pasan por un punto de alguna curva espacial fija. ^{[ 2 ]} A veces, el término «superficie cónica» se utiliza para referirse a un solo manto. ^{[ 3 ]}

Si la directriz es un círculo${\displaystyle C}$y el vértice se encuentra en el eje del círculo (la línea que contiene el centro de${\displaystyle C}$y es perpendicular a su plano), se obtiene la superficie cónica circular recta o cono doble . ^{[ 2 ]} De manera más general, cuando la directriz${\displaystyle C}$es una elipse , o cualquier sección cónica , y el vértice es un punto arbitrario que no está en el plano de${\displaystyle C}$, se obtiene un cono elíptico . ^{[ 4 ]}

Una superficie cónica${\displaystyle S}$puede describirse paramétricamente como

${\displaystyle S(t,u)=v+uq(t)}$,

dónde${\displaystyle v}$es el ápice y${\displaystyle q}$es la directriz. ^{[ 5 ]}

Las superficies cónicas son superficies regladas , superficies que tienen una línea recta que pasa por cada uno de sus puntos. ^{[ 6 ]} Los parches de superficies cónicas que evitan el vértice son casos especiales de superficies desarrollables , superficies que se pueden desplegar en un plano plano sin estirarse. Cuando la directriz tiene la propiedad de que el ángulo que subtiende desde el vértice es exactamente${\displaystyle 2\pi }$, entonces cada manto de la superficie cónica, incluido el vértice, es una superficie desarrollable. ^{[ 7 ]}

Una superficie cilíndrica puede considerarse un caso límite de una superficie cónica cuyo vértice se desplaza hasta el infinito en una dirección determinada. De hecho, en geometría proyectiva, una superficie cilíndrica es simplemente un caso especial de una superficie cónica. ^{[ 8 ]}

• Sección cónica
• Cuádrica