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Distribución normal compleja

En teoría de probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denotada o , caracteriza a las variables aleatorias complejas cuyas partes reales e imaginarias son...

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En teoría de probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denotada o , caracteriza a las variables aleatorias complejas cuyas partes reales e imaginarias son conjuntamente normales . [1] La familia normal compleja tiene tres parámetros: el parámetro de ubicación μ , la matriz de covarianza y la matriz de relación . La normal compleja estándar es la distribución univariante con , , y . do norte {\displaystyle {\mathcal {CN}}} norte do {\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}} Γ {\estilo de visualización \Gamma} do {\estilo de visualización C} micras = 0 {\displaystyle \mu = 0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma = 1} do = 0 {\estilo de visualización C=0}

Una subclase importante de la familia normal compleja se denomina normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de matriz de relación cero y media cero: y . [2] Este caso se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se lo denomina simplemente normal compleja en la literatura. micras = 0 {\displaystyle \mu = 0} do = 0 {\estilo de visualización C=0}

Definiciones

Variable aleatoria normal estándar compleja

La variable aleatoria normal compleja estándar o variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja cuyas partes reales e imaginarias son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y varianza . [3] : p. 494  [4] : pp. 501  Formalmente, O {\estilo de visualización Z} 1 / 2 {\estilo de visualización 1/2}

donde denota que es una variable aleatoria normal compleja estándar. O ∼ do norte ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} O {\estilo de visualización Z}

Variable aleatoria normal compleja

Supóngase que y son variables aleatorias reales tales que es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces la variable aleatoria compleja se denomina variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . [3] : p. 500  incógnita {\estilo de visualización X} Y {\estilo de visualización Y} ( incógnita , Y ) yo {\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }} O = incógnita + i Y {\displaystyle Z=X+iY}

Vector aleatorio normal estándar complejo

Un vector aleatorio complejo n-dimensional es un vector aleatorio normal estándar complejo o un vector aleatorio gaussiano estándar complejo si sus componentes son independientes y todos ellos son variables aleatorias normales complejas estándar como se definió anteriormente. [3] : p. 502  [4] : pp. 501  Es decir, un vector aleatorio normal complejo estándar se denota . O = ( O 1 , … , O norte ) yo {\displaystyle \mathbf {Z} = (Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }} O {\displaystyle \mathbf {Z}} O ∼ do norte ( 0 , I norte ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}

Vector aleatorio normal complejo

Si y son vectores aleatorios en tales que es un vector aleatorio normal con componentes. Entonces decimos que el vector aleatorio complejo incógnita = ( incógnita 1 , … , incógnita norte ) yo {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} Y = ( Y 1 , … , Y norte ) yo {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }} R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ incógnita , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X},\mathbf {Y}]} 2 norte {\estilo de visualización 2n}

O = incógnita + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}

es un vector aleatorio normal complejo o un vector aleatorio gaussiano complejo .

Media, covarianza y relación

La distribución gaussiana compleja se puede describir con tres parámetros: [5]

micras = mi ⁡ [ O ] , Γ = mi ⁡ [ ( O − micras ) ( O − micras ) yo ] , do = mi ⁡ [ ( O − micras ) ( O − micras ) yo ] , {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\ mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} } ],}

donde denota la transpuesta matricial de , y denota la transpuesta conjugada . [3] : pág. 504  [4] : págs. 500  O yo {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }} O {\displaystyle \mathbf {Z}} O yo {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}

Aquí el parámetro de ubicación es un vector complejo n-dimensional; la matriz de covarianza es hermítica y definida no negativa ; y, la matriz de relación o matriz de pseudo-covarianza es simétrica . El vector aleatorio normal complejo ahora puede denotarse como Además, las matrices y son tales que la matriz micras {\estilo de visualización \mu} Γ {\estilo de visualización \Gamma} do {\estilo de visualización C} O {\displaystyle \mathbf {Z}} O   ∼   do norte ( micras ,   Γ ,   do ) . {\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).} Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C}

P = Γ ¯ − C H Γ − 1 C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}

es también definida no negativa donde denota el conjugado complejo de . [5] Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma }

Relaciones entre matrices de covarianza

Como ocurre con cualquier vector aleatorio complejo, las matrices y pueden relacionarse con las matrices de covarianza de y mediante expresiones Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} X = ℜ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )} Y = ℑ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}

V X X ≡ E ⁡ [ ( X − μ X ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Re ⁡ [ Γ + C ] , V X Y ≡ E ⁡ [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Im ⁡ [ − Γ + C ] , V Y X ≡ E ⁡ [ ( Y − μ Y ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Im ⁡ [ Γ + C ] , V Y Y ≡ E ⁡ [ ( Y − μ Y ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Re ⁡ [ Γ − C ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}

y a la inversa

Γ = V X X + V Y Y + i ( V Y X − V X Y ) , C = V X X − V Y Y + i ( V Y X + V X Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}

Función de densidad

La función de densidad de probabilidad para una distribución normal compleja se puede calcular como

f ( z ) = 1 π n det ( Γ ) det ( P ) exp { − 1 2 ( ( z ¯ − μ ¯ ) ⊺ , ( z − μ ) ⊺ ) ( Γ C C ¯ Γ ¯ ) − 1 ( z − μ z ¯ − μ ¯ ) } = det ( P − 1 ¯ − R ∗ P − 1 R ) det ( P − 1 ) π n e − ( z − μ ) ∗ P − 1 ¯ ( z − μ ) + Re ⁡ ( ( z − μ ) ⊺ R ⊺ P − 1 ¯ ( z − μ ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}

donde y . R = C H Γ − 1 {\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}} P = Γ ¯ − R C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}

Función característica

La función característica de la distribución normal compleja está dada por [5]

φ ( w ) = exp { i Re ⁡ ( w ¯ ′ μ ) − 1 4 ( w ¯ ′ Γ w + Re ⁡ ( w ¯ ′ C w ¯ ) ) } , {\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}

donde el argumento es un vector complejo n -dimensional. w {\displaystyle w}

Propiedades

  • Si es un vector n normal complejo , una matriz m×n y un vector m constante , entonces la transformada lineal se distribuirá también de forma compleja-normal: Z {\displaystyle \mathbf {Z} } A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} b {\displaystyle b} A Z + b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}
Z   ∼   C N ( μ , Γ , C ) ⇒ A Z + b   ∼   C N ( A μ + b , A Γ A H , A C A T ) {\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}
  • Si es un n -vector normal complejo , entonces Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
2 [ ( Z − μ ) H P − 1 ¯ ( Z − μ ) − Re ⁡ ( ( Z − μ ) T R T P − 1 ¯ ( Z − μ ) ) ]   ∼   χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}
  • Teorema del límite central . Si son variables aleatorias complejas independientes e idénticamente distribuidas, entonces Z 1 , … , Z T {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}
T ( 1 T ∑ t = 1 T Z t − E ⁡ [ Z t ] )   → d   C N ( 0 , Γ , C ) , {\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}
donde y . Γ = E ⁡ [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]} C = E ⁡ [ Z Z T ] {\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}

Caja central simétrica circular

Definición

Un vector aleatorio complejo se denomina circularmente simétrico si para cada determinista la distribución de es igual a la distribución de . [4] : págs. 500–501  Z {\displaystyle \mathbf {Z} } φ ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )} e i φ Z {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} }

Los vectores aleatorios complejos normales centrales que son circularmente simétricos son de particular interés porque están completamente especificados por la matriz de covarianza . Γ {\displaystyle \Gamma }

La distribución normal compleja circularmente simétrica (central) corresponde al caso de media cero y matriz de relación cero, es decir y . [3] : p. 507  [7] Esto generalmente se denota μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0}

Z ∼ C N ( 0 , Γ ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}

Distribución de partes reales e imaginarias

Si es normal compleja circularmente simétrica (central), entonces el vector es normal multivariado con estructura de covarianza. Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} } [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}

( X Y )   ∼   N ( [ 0 0 ] ,   1 2 [ Re Γ − Im Γ Im Γ Re Γ ] ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}

dónde . Γ = E ⁡ [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}

Función de densidad de probabilidad

Para la matriz de covarianza no singular , su distribución también se puede simplificar como [3] : p. 508  Γ {\displaystyle \Gamma }

f Z ( z ) = 1 π n det ( Γ ) e − ( z − μ ) H Γ − 1 ( z − μ ) {\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}} .

Por lo tanto, si se desconocen la media distinta de cero y la matriz de covarianza , una función de verosimilitud logarítmica adecuada para un único vector de observación sería μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z}

ln ⁡ ( L ( μ , Γ ) ) = − ln ⁡ ( det ( Γ ) ) − ( z − μ ) ¯ ′ Γ − 1 ( z − μ ) − n ln ⁡ ( π ) . {\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}

La distribución normal compleja estándar (definida en la ecuación 1 ) corresponde a la distribución de una variable aleatoria escalar con , y . Por lo tanto, la distribución normal compleja estándar tiene densidad μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1}

f Z ( z ) = 1 π e − z ¯ z = 1 π e − | z | 2 . {\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}

Propiedades

La expresión anterior demuestra por qué el caso , se denomina “circularmente simétrico”. La función de densidad depende únicamente de la magnitud de , pero no de su argumento . Por lo tanto, la magnitud de una variable aleatoria normal compleja estándar tendrá la distribución de Rayleigh y la magnitud al cuadrado tendrá la distribución exponencial , mientras que el argumento se distribuirá uniformemente en . C = 0 {\displaystyle C=0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|} | z | 2 {\displaystyle |z|^{2}} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}

Si son vectores aleatorios normales circulares complejos n -dimensionales independientes e idénticamente distribuidos con , entonces la norma aleatoria al cuadrado { Z 1 , … , Z k } {\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}} μ = 0 {\displaystyle \mu =0}

Q = ∑ j = 1 k Z j H Z j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}

tiene la distribución chi-cuadrado generalizada y la matriz aleatoria

W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}

Tiene una distribución Wishart compleja con grados de libertad. Esta distribución se puede describir mediante la función de densidad k {\displaystyle k}

f ( w ) = det ( Γ − 1 ) k det ( w ) k − n π n ( n − 1 ) / 2 ∏ j = 1 k ( k − j ) !   e − tr ⁡ ( Γ − 1 w ) {\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}

donde , y es una matriz no definida negativa. k ≥ n {\displaystyle k\geq n} w {\displaystyle w} n × n {\displaystyle n\times n}

Véase también

Referencias

  1. ^ Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una determinada distribución gaussiana compleja multivariante (una introducción)". Anales de estadística matemática . 34 (1): 152–177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR  2991290.
  2. ^ Capítulo de libro, Gallager.R, pág. 9.
  3. ^ abcdef Lapidoth, A. (2009). Una base para la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
  4. ^ abcd Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.
  5. ^ abc Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637–2640. Bibcode :1996ITSP...44.2637P. doi :10.1109/78.539051.
  6. ^ Daniel Wollschlaeger. "La distribución Hoyt (Documentación para el paquete R 'shotGroups' versión 0.6.2)".[ enlace muerto permanente ]
  7. ^ Capítulo de libro, Gallager.R
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