Distribución compleja de Wishart

En estadística , la distribución de Wishart compleja es una versión compleja de la distribución de Wishart . Es la distribución de${\displaystyle n}$veces la matriz de covarianza hermitiana de muestra de${\displaystyle n}$variables aleatorias gaussianas independientes de media cero . Tiene soporte para${\displaystyle p\times p}$Matrices hermíticas definidas positivas . ^{[ 1 ]}

La distribución compleja de Wishart también se encuentra en las comunicaciones inalámbricas, al analizar el rendimiento de los canales inalámbricos MIMO con desvanecimiento Rayleigh . ^{[ 2 ]}

La distribución compleja de Wishart es la densidad de una matriz de covarianza muestral de valores complejos. Sea

${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}}$

donde cada${\displaystyle G_{i}}$es un vector columna p independiente de muestras gaussianas complejas aleatorias de media cero y${\displaystyle (.)^{H}}$es una transpuesta hermitiana (conjugada compleja). Si la covarianza de G es${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{H}]=M}$entonces

${\displaystyle S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {CW}}(M,n,p)}$es la distribución central compleja de Wishart con n grados de libertad y matriz de valor medio o de escala , M.

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}^{}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)}$

es la función Gamma multivariada compleja. ^{[ 3 ]}

Utilizando la regla de rotación de traza${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)}$También obtenemos

${\displaystyle f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)}$

lo cual es bastante cercano a la función de densidad de probabilidad multivariada compleja de G mismo. Los elementos de G convencionalmente tienen simetría circular tal que${\displaystyle \mathbb {E} [GG^{T}]=0}$.

Distribución de Wishart compleja inversa La distribución de Wishart compleja inversa de${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {S^{-1}} }$Según Goodman, ^{[ 3 ]} el chamán ^{[ 4 ]} es

${\displaystyle f_{Y}(\mathbf {Y} )={\frac {\left|\mathbf {Y} \right|^{-(n+p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} \mathbf {Y^{-1}} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{-n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\det \left(\mathbf {Y} \right)>0}$

dónde${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {\Gamma ^{-1}} }$.

Si se deriva mediante una transformación de inversión de matriz, el resultado depende del determinante jacobiano complejo.

${\displaystyle {\mathcal {C}}J_{Y}(Y^{-1})=\left|Y\right|^{-2p}}$

Goodman y otros ^{[ 5 ]} analizan estos jacobinos complejos.

La distribución de probabilidad de los valores propios de la distribución hermitiana compleja de Wishart viene dada, por ejemplo, por James ^{[ 6 ]} y Edelman. ^{[ 7 ]} Para un${\displaystyle p\times p}$matriz con${\displaystyle \nu \geq p}$grados de libertad que tenemos

${\displaystyle f(\lambda _{1}\dots \lambda _{p})={\tilde {K}}_{\nu ,p}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\right)\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\nu -p}\prod _{i<j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{2}d\lambda _{1}\dots d\lambda _{p},\;\;\;\lambda _{i}\in \mathbb {R} \geq 0}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {K}}_{\nu ,p}^{-1}=2^{p\nu }\prod _{i=1}^{p}\Gamma (\nu -i+1)\Gamma (p-i+1)}$

Cabe señalar, sin embargo, que Edelman utiliza la definición "matemática" de una variable normal compleja.${\displaystyle Z=X+iY}$donde i.i.d. X e Y tienen cada una una varianza unitaria y la varianza de${\displaystyle Z=\mathbf {E} \left(X^{2}+Y^{2}\right)=2}$Para la definición más común en los círculos de ingeniería, donde X e Y tienen cada una una varianza de 0,5, los valores propios se reducen por un factor de 2.

Esta densidad espectral se puede integrar para obtener la probabilidad de que todos los valores propios de una matriz aleatoria de Wishart se encuentren dentro de un intervalo. ^{[ 8 ]}

La densidad espectral también puede integrarse para obtener la distribución marginal de los valores propios. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

También existen aproximaciones para las distribuciones de valores propios marginales. De Edelman tenemos que si S es una muestra de la distribución compleja de Wishart con${\displaystyle p=\kappa \nu ,\;\;0\leq \kappa \leq 1}$de tal manera que${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(2\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$ entonces en el límite${\displaystyle p\rightarrow \infty }$La distribución de los valores propios converge en probabilidad a la función de distribución de Marchenche-Pastur.

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda /2-({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda /2]}}{4\pi \kappa (\lambda /2)}},\;\;\;2({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq 2({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

Esta distribución se vuelve idéntica al caso real de Wishart, al reemplazar${\displaystyle \lambda }$por${\displaystyle 2\lambda }$, debido a la duplicación de la varianza de la muestra, por lo que en el caso${\displaystyle S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)}$, el pdf se reduce al verdadero Wishart:

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda -({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda ]}}{2\pi \kappa \lambda }},\;\;\;({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq ({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1}$

Un caso especial es${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {8-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 8}$

o, si se utiliza una convención Var( Z ) = 1 entonces

${\displaystyle p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {4-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 4}$.

La distribución semicircular de Wigner surge al realizar el cambio de variable.${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\lambda }}}$en este último y seleccionando el signo de y aleatoriamente obteniendo pdf

${\displaystyle p_{y}(y)={\frac {1}{2\pi }}\left(4-y^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\;-2\leq y\leq 2}$

En lugar de la definición de la matriz de muestra de Wishart anterior,${\displaystyle S_{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$Podemos definir un conjunto gaussiano.

${\displaystyle \mathbf {G} _{i,j}=[G_{1}\dots G_{\nu }]\in \mathbb {C} ^{\,p\times \nu }}$

de tal manera que S es el producto matricial${\displaystyle S=\mathbf {G} \mathbf {G^{H}} }$Los autovalores reales no negativos de S son entonces los valores singulares del conjunto elevados al cuadrado .${\displaystyle \mathbf {G} }$y los módulos de estos últimos tienen una distribución de cuarto de círculo.

En el caso${\displaystyle \kappa >1}$de tal manera que${\displaystyle \nu <p}$entonces${\displaystyle S}$es deficiente en rango con al menos${\displaystyle p-\nu }$valores propios nulos. Sin embargo, los valores singulares de${\displaystyle \mathbf {G} }$son invariantes bajo transposición, por lo tanto, redefiniendo${\displaystyle {\tilde {S}}=\mathbf {G^{H}} \mathbf {G} }$, entonces${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$tiene una distribución de Wishart compleja, tiene rango completo casi con certeza y las distribuciones de valores propios se pueden obtener a partir de${\displaystyle {\tilde {S}}}$en su lugar, utilizando todas las ecuaciones anteriores.

En los casos en que las columnas de${\displaystyle \mathbf {G} }$no son linealmente independientes y${\displaystyle {\tilde {S}}_{\nu \times \nu }}$permanece singular, se puede utilizar una descomposición QR para reducir G a un producto como

${\displaystyle \mathbf {G} =Q{\begin{bmatrix}\mathbf {R} \\0\end{bmatrix}}}$

de tal manera que${\displaystyle \mathbf {R} _{q\times q},\;\;q\leq \nu }$es triangular superior con rango completo y${\displaystyle {\tilde {\tilde {S}}}_{q\times q}=\mathbf {R^{H}} \mathbf {R} }$ha reducido aún más la dimensionalidad.

Los valores propios tienen una importancia práctica en la teoría de las radiocomunicaciones, ya que definen la capacidad del canal de Shannon de un${\displaystyle \nu \times p}$Canal inalámbrico MIMO que, en primera aproximación, se modela como un conjunto gaussiano complejo de media cero.