Rayleigh se desvanece

El requisito de que haya muchos dispersores presentes significa que el desvanecimiento de Rayleigh puede ser un modelo útil en centros urbanos densamente construidos donde no hay línea de visión entre el transmisor y el receptor y muchos edificios y otros objetos atenúan , reflejan , refractan y difractan la señal. Trabajos experimentales en Manhattan han encontrado allí un desvanecimiento cercano a Rayleigh. ^{[ 3 ]} En la propagación de señales troposféricas e ionosféricas las muchas partículas en las capas atmosféricas actúan como dispersores y este tipo de entorno también puede aproximarse al desvanecimiento de Rayleigh. Si el entorno es tal que, además de la dispersión, hay una señal fuertemente dominante vista en el receptor, generalmente causada por una línea de visión , entonces la media del proceso aleatorio ya no será cero, sino que variará alrededor del nivel de potencia de la trayectoria dominante. Tal situación puede modelarse mejor como desvanecimiento de Rice .

Cabe señalar que el desvanecimiento de Rayleigh es un efecto a pequeña escala. Existen propiedades del entorno, como la atenuación de la señal y el sombreado, sobre las cuales se superpone el desvanecimiento.

La rapidez con la que se desvanece el canal se verá afectada por la velocidad de movimiento del receptor y/o transmisor. El movimiento provoca un desplazamiento Doppler en los componentes de la señal recibida. Las figuras muestran la variación de potencia durante 1 segundo de una señal constante después de pasar por un canal de desvanecimiento Rayleigh de una sola trayectoria con un desplazamiento Doppler máximo de 10  Hz y 100  Hz. Estos desplazamientos Doppler corresponden a velocidades de aproximadamente 6  km/h (4  mph) y 60  km/h (40  mph) respectivamente a 1800  MHz, una de las frecuencias de operación para teléfonos móviles GSM . Esta es la forma clásica del desvanecimiento Rayleigh. Nótese en particular el "desvanecimiento profundo" donde la intensidad de la señal puede caer en un factor de varios miles, o 30–40 dB .

La tasa de cruce de nivel es una medida de la rapidez del desvanecimiento. Cuantifica con qué frecuencia el desvanecimiento cruza un umbral, generalmente en la dirección positiva. Para el desvanecimiento de Rayleigh, la tasa de cruce de nivel es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {LCR} ={\sqrt {2\pi }}f_{d}\rho e^{-\rho ^{2}}}$

dónde${\displaystyle f_{d}}$es el desplazamiento Doppler máximo y${\displaystyle \,\!\rho }$es el nivel umbral normalizado al nivel de señal cuadrático medio (RMS):

${\displaystyle \rho ={\frac {R_{\mathrm {umbral} }}{R_{\mathrm {rms} }}}.}$

La duración media del desvanecimiento cuantifica cuánto tiempo permanece la señal por debajo del umbral.${\displaystyle \,\!\rho }$. Para el desvanecimiento de Rayleigh, la duración promedio del desvanecimiento es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {AFD} ={\frac {e^{\rho ^{2}}-1}{\rho f_{d}{\sqrt {2\pi }}}}.}$

La tasa de cruce de nivel y la duración media del desvanecimiento, tomadas en conjunto, proporcionan un medio útil para caracterizar la gravedad del desvanecimiento a lo largo del tiempo.

Para un valor umbral normalizado particular${\displaystyle \rho }$, el producto de la duración media del desvanecimiento y la tasa de cruce de nivel es una constante y viene dado por

${\displaystyle \mathrm {AFD} \times \mathrm {LCR} =1-e^{-\rho ^{2}}.}$

La densidad espectral de potencia Doppler de un canal con desvanecimiento describe cuánto ensanchamiento espectral provoca. Esto muestra cómo una frecuencia pura, por ejemplo, una sinusoide pura, que es un impulso en el dominio de la frecuencia, se ensancha en frecuencia al pasar por el canal. Es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación temporal. Para el desvanecimiento de Rayleigh con una antena receptora vertical con igual sensibilidad en todas las direcciones, se ha demostrado que es: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{\pi f_{d}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{f_{d}}}\right)^{2}}}}},}$

dónde${\displaystyle \,\!\nu }$es el desplazamiento de frecuencia relativo a la frecuencia portadora. Esta ecuación es válida solo para valores de${\displaystyle \,\!\nu }$entre${\displaystyle \pm f_{d}}$El espectro es cero fuera de este rango. Este espectro se muestra en la figura para un desplazamiento Doppler máximo de 10  Hz. La forma clásica de este espectro Doppler es la de un cuenco o una bañera.

En su libro, ^{[ 6 ]} Jakes popularizó un modelo para el desvanecimiento de Rayleigh basado en la suma de sinusoides . Supongamos que los dispersores están distribuidos uniformemente alrededor de un círculo en ángulos${\displaystyle \alpha _{n}}$con${\displaystyle k}$rayos que emergen de cada dispersor. El desplazamiento Doppler en el rayo${\displaystyle n}$es

${\displaystyle \,\!f_{n}=f_{d}\cos \alpha _{n}}$

y, con${\displaystyle M}$tales dispersores, el desvanecimiento de Rayleigh de la${\displaystyle k^{\text{o}}}$forma de onda a lo largo del tiempo${\displaystyle t}$puede modelarse como:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(t,k)=2{\sqrt {2}}\left[\sum _{n=1}^{M}\right.&\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{n}t+\theta _{n,k}\right)\\[4pt]&\left.{}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \alpha +j\sin \alpha \right)\cos(2\pi f_{d}t)\right].\end{aligned}}}$

Aquí,${\displaystyle \,\!\alpha }$y el${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$y${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$son parámetros del modelo con${\displaystyle \,\!\alpha }$normalmente se establece en cero,${\displaystyle \,\!\beta _{n}}$elegido de manera que no haya correlación cruzada entre las partes real e imaginaria de${\displaystyle R(t)}$:

${\displaystyle \,\!\beta _{n}={\frac {\pi n}{M+1}}}$

y${\displaystyle \,\!\theta _{n,k}}$se utiliza para generar múltiples formas de onda. Si se está modelando un canal de una sola trayectoria, de modo que solo haya una forma de onda, entonces${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$puede ser cero. Si se está modelando un canal multitrayecto selectivo en frecuencia de modo que se necesiten múltiples formas de onda, Jakes sugiere que las formas de onda no correlacionadas vienen dadas por

${\displaystyle \theta _{n,k}=\beta _{n}+{\frac {2\pi (k-1)}{M+1}}.}$

De hecho, se ha demostrado que las formas de onda están correlacionadas entre sí —tienen una correlación cruzada distinta de cero— excepto en circunstancias especiales. ^{[ 7 ]} El modelo también es determinista (no tiene ningún elemento aleatorio una vez que se eligen los parámetros). Un modelo de Jakes modificado ^{[ 8 ]} elige espaciamientos ligeramente diferentes para los dispersores y escala sus formas de onda utilizando secuencias de Walsh-Hadamard para asegurar una correlación cruzada nula.

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\pi (n-0.5)}{2M}}{\text{ and }}\beta _{n}={\frac {\pi n}{M}},}$

Esto da como resultado el siguiente modelo, generalmente denominado modelo de Dent o modelo de Jakes modificado:

${\displaystyle R(t,k)={\sqrt {\frac {2}{M}}}\sum _{n=1}^{M}A_{k}(n)\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{d}t\cos \alpha _{n}+\theta _{n}\right).}$

Las funciones de ponderación${\displaystyle A_{k}(n)}$son los${\displaystyle k}$^{secuencia de} Walsh-Hadamard en${\displaystyle n}$Dado que estas tienen correlación cruzada cero por diseño, este modelo da como resultado formas de onda no correlacionadas. Las fases${\displaystyle \,\!\theta _{n}}$Se pueden inicializar aleatoriamente y no afectan a las propiedades de correlación. La transformada rápida de Walsh permite generar muestras de forma eficiente utilizando este modelo.

El modelo de Jakes también popularizó el espectro Doppler asociado al desvanecimiento de Rayleigh y, como resultado, este espectro Doppler a menudo se denomina espectro de Jakes.

Otra forma de generar una señal con el espectro de potencia Doppler requerido consiste en pasar una señal de ruido gaussiano blanco a través de un filtro gaussiano con una respuesta en frecuencia igual a la raíz cuadrada del espectro Doppler deseado. Si bien es más sencillo que los modelos anteriores y no determinista, plantea algunas cuestiones de implementación relacionadas con la necesidad de filtros de alto orden para aproximar la función de raíz cuadrada irracional en la respuesta y el muestreo de la forma de onda gaussiana a una frecuencia adecuada.

Según ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ],} la PSD Doppler también se puede modelar mediante el filtro Butterworth como:

${\displaystyle S_{Doppler}(f)=|H_{Butterworth}|^{2}={\frac {B}{\sqrt {1-(f/f_{0})^{2k}}}}}$

donde f es una frecuencia,${\displaystyle H_{Butterworth}}$es la respuesta del filtro Butterworth, B es la constante de normalización, k es el orden del filtro y${\displaystyle f_{0}}$es la frecuencia de corte que debe seleccionarse con respecto al desplazamiento Doppler máximo.