Retículo completo

Una subred M de una red completa L se llama subred completa de L si para cada subconjunto A de M los elementos${\displaystyle \bigwedge A}$y${\displaystyle \bigvee A}$, tal como se definen en L , en realidad están en M . ^{[ 1 ]}

Si el requisito anterior se reduce para requerir que solo haya uniones y cruces no vacías en M , la subred M se llama una subred cerrada de L.

Los términos semirretículo de encuentro completo o semirretículo de unión completo son otra forma de referirse a retículos completos, ya que los encuentros arbitrarios se pueden expresar en términos de uniones arbitrarias y viceversa (para más detalles, véase completitud ).

Otro uso de "semiretículo de encuentro completo" se refiere a un semiretículo de encuentro que es completo acotado y de orden parcial completo . Este concepto es posiblemente la noción "más completa" de un semiretículo de encuentro que aún no es un retículo (de hecho, solo puede faltar el elemento superior).

Consulte la sección sobre semirretículos para obtener más información sobre la relación entre ambas definiciones.

Se dice que un retículo es " condicionalmente completo " si satisface una o ambas de las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

• Cualquier subconjunto no vacío acotado superiormente tiene el límite superior más pequeño .
• Cualquier subconjunto no vacío acotado inferiormente tiene el mayor límite inferior .

• El conjunto vacío no es un retículo completo. Si lo fuera, en particular, el conjunto vacío tendría un ínfimo y un supremo, lo cual es una contradicción.
• Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$con el orden usual ≤ no es una red completa. Es una red con${\displaystyle \bigwedge \{x,y\}=\min\{x,y\}}$y${\displaystyle \bigvee \{x,y\}=\max\{x,y\}}$. Sin embargo,${\displaystyle \mathbb {Q} }$en sí mismo no tiene ínfimum o supremum, ni tampoco${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}}$.

Además, los morfismos que preservan todas las uniones se caracterizan de forma equivalente como la parte adjunta inferior de una única conexión de Galois . Para cualquier par de preórdenes X e Y , una conexión de Galois viene dada por un par de funciones monótonas f y g de X a Y tales que para cada par de elementos x de X e y de Y

${\displaystyle f(x)\leq y\iff x\leq g(y)}$

donde f se denomina adjunto inferior y g se denomina adjunto superior . Según el teorema del functor adjunto , una aplicación monótona entre cualquier par de retículos completos conserva todas las uniones si y solo si es un adjunto inferior y conserva todas las intersecciones si y solo si es un adjunto superior.

De este modo, cada morfismo que preserva las uniones determina un adjunto superior único en la dirección inversa que preserva todas las intersecciones. Por lo tanto, considerar retículos completos con morfismos de semirretículos completos (ya sean de tipo que preservan las uniones o las intersecciones) se reduce a considerar las conexiones de Galois como morfismos de retículo. Esto también permite comprender que las tres clases de morfismos analizadas anteriormente describen básicamente solo dos categorías diferentes de retículos completos: una con homomorfismos completos y otra con conexiones de Galois que captura tanto las funciones que preservan las intersecciones (adjuntos superiores) como sus aplicaciones duales que preservan las uniones (adjuntos inferiores).

Una clase particularmente importante de casos especiales surge entre retículos de subconjuntos de X e Y , es decir, los conjuntos potencia .${\displaystyle P(X)}$y​​${\displaystyle P(Y)}$⁠ , dada una función ⁠${\displaystyle f}$de X a Y. En estos casos, los mapas de imagen directa e inversa inducidos por${\displaystyle f}$Entre los conjuntos potencia hay adjuntos superiores e inferiores entre sí, respectivamente.

La construcción de objetos libres depende de la clase de morfismos elegida. Las funciones que preservan todas las uniones (es decir, los adjuntos inferiores de las conexiones de Galois) se denominan semirretices de unión completos libres .

La definición estándar del álgebra universal establece que un retículo completo libre sobre un conjunto generador${\displaystyle S}$es una red completa${\displaystyle L}$junto con una función${\displaystyle i:S\rightarrow L}$, de tal manera que cualquier función${\displaystyle f}$de${\displaystyle S}$al conjunto subyacente de alguna red completa${\displaystyle M}$puede ser factorizado de forma única a través de un morfismo${\displaystyle f^{\circ }}$de${\displaystyle L}$a${\displaystyle M}$Esto significa que${\displaystyle f(s)=f^{\circ }(i(s))}$para cada elemento${\displaystyle s}$de${\displaystyle S}$y que${\displaystyle f^{\circ }}$es el único morfismo con esta propiedad. Por lo tanto, existe un functor de la categoría de conjuntos y funciones a la categoría de retículos completos y funciones que preservan la unión, el cual es adjunto izquierdo del functor de olvido de retículos completos a sus conjuntos subyacentes.

Por lo tanto, se pueden construir retículos completos libres de tal manera que el retículo completo generado por algún conjunto${\displaystyle S}$es solo el conjunto de potencia${\displaystyle 2^{S}}$, el conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle S}$ordenado por inclusión de subconjuntos . La unidad requerida${\displaystyle i:S\rightarrow 2^{S}}$mapea cualquier elemento${\displaystyle s}$de${\displaystyle S}$al conjunto único${\displaystyle \{s\}}$Dado un mapeo${\displaystyle f}$como se indicó anteriormente, la función${\displaystyle f^{\circ }:2^{S}\rightarrow M}$se define por

${\displaystyle f^{\circ }(X)=\bigvee \{f(s)|s\in X\}}$.

Entonces${\displaystyle f^{\circ }}$transforma uniones en supremas y por lo tanto preserva uniones.

Estas consideraciones también dan lugar a una construcción libre para morfismos que preservan intersecciones en lugar de uniones (es decir, adjuntos superiores de conexiones de Galois). Lo anterior se puede dualizar : los objetos libres se dan como conjuntos potencia ordenados por inclusión inversa, de modo que la unión de conjuntos proporciona la operación de intersección y la función${\displaystyle f^{\circ }}$Se define en términos de intersecciones en lugar de uniones. El resultado de esta construcción se conoce como semirretículo de intersecciones completo y libre . Cabe destacar que estas construcciones libres extienden aquellas que se utilizan para obtener semirretículos libres , donde es necesario considerar conjuntos finitos.

La situación para retículos completos con homomorfismos completos es más compleja. De hecho, los retículos completos libres generalmente no existen. Por supuesto, se puede formular un problema de palabras similar al del caso de los retículos , pero la colección de todas las palabras posibles (o "términos") en este caso sería una clase propia , porque las intersecciones y uniones arbitrarias comprenden operaciones para conjuntos de argumentos de cualquier cardinalidad .

Esta propiedad en sí misma no representa un problema: como muestra el caso de los semirretículos completos libres, es posible que la solución del problema verbal solo deje un conjunto de clases de equivalencia. En otras palabras, es posible que las clases propias de todos los términos tengan el mismo significado y, por lo tanto, se identifiquen en la construcción libre. Sin embargo, las clases de equivalencia para el problema verbal de los retículos completos son demasiado pequeñas, de modo que el retículo completo libre seguiría siendo una clase propia, lo cual no está permitido.

Ahora bien, aún cabría esperar que existieran algunos casos útiles en los que el conjunto de generadores fuera suficientemente pequeño como para que existiera un retículo libre y completo. Desafortunadamente, el límite de tamaño es muy bajo, y tenemos el siguiente teorema:

El retículo completo libre sobre tres generadores no existe; es una clase propia .

Johnstone proporciona una prueba de esta afirmación. ^{[ 3 ]} El argumento original se atribuye a Alfred W. Hales ; ^{[ 4 ]} véase también el artículo sobre retículos libres .

Si se genera libremente un retículo completo a partir de un conjunto parcialmente ordenado (poset) dado , en lugar del conjunto de generadores considerado anteriormente, se habla de una completación del poset. La definición del resultado de esta operación es similar a la definición anterior de objetos libres, donde "conjuntos" y "funciones" se reemplazan por "posets" y "aplicaciones monótonas". Asimismo, se puede describir el proceso de completación como un functor de la categoría de posets con funciones monótonas a alguna categoría de retículos completos con morfismos apropiados que son adjuntos por la izquierda al functor de olvido en la dirección inversa.

Siempre que se consideren las funciones que preservan la intersección o la unión como morfismos, esto se puede lograr fácilmente mediante la llamada completación de Dedekind-MacNeille . Para este proceso, los elementos del conjunto parcialmente ordenado se mapean a cortes (de Dedekind) , que luego se pueden mapear a los conjuntos parcialmente ordenados subyacentes de retículos completos arbitrarios de manera muy similar a como se hizo anteriormente para conjuntos y retículos (semi)completos libres.

El resultado mencionado anteriormente, que establece que no existen retículos completos libres, implica que tampoco es posible una construcción libre a partir de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Esto se observa fácilmente al considerar posets con un orden discreto, donde cada elemento solo se relaciona consigo mismo. Estos son precisamente los posets libres sobre un conjunto subyacente. Si existiera una construcción libre de retículos completos a partir de posets, ambas construcciones podrían componerse, lo cual contradice el resultado negativo anterior.