Conjunto parcialmente ordenado completo y acotado

En el campo matemático de la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado es completo y acotado si todos sus subconjuntos que tienen algún límite superior también tienen un límite superior mínimo . Dicho orden parcial también puede denominarse consistentemente o coherentemente completo ( Visser 2004, p. 182 ), ya que cualquier límite superior de un conjunto puede interpretarse como una información consistente (no contradictoria) que extiende toda la información presente en el conjunto. Por lo tanto, la presencia de algún límite superior garantiza, en cierto modo, la consistencia de un conjunto. La completitud acotada implica entonces la existencia de un límite superior mínimo para cualquier subconjunto "consistente", que puede considerarse como la información más general que captura todo el conocimiento presente en dicho subconjunto. Esta perspectiva se relaciona estrechamente con la idea de ordenamiento de la información que se suele encontrar en la teoría de dominios .

Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) es completo y acotado si se cumple lo siguiente para cualquier subconjunto S de P :

Si S tiene algún límite superior, entonces también tiene un límite superior mínimo.

La completitud acotada guarda diversas relaciones con otras propiedades de completitud , las cuales se detallan en el artículo sobre completitud en la teoría del orden . El término poset acotado se utiliza a veces para referirse a un conjunto parcialmente ordenado que posee tanto un elemento mínimo como un elemento máximo . Por lo tanto, es importante distinguir entre un poset completo acotado y un orden parcial completo acotado (cpo).

Como ejemplo típico de un conjunto parcialmente ordenado completo y acotado, consideremos el conjunto de todos los números decimales finitos que comienzan con "0." (como 0.1, 0.234, 0.122) junto con todos los infinitos números de este tipo (como la representación decimal 0.1111... de 1/9). Ahora bien, estos elementos se pueden ordenar según el orden de prefijo de las palabras: un número decimal n está por debajo de otro número m si existe alguna cadena de dígitos w tal que n w = m . Por ejemplo, 0.2 está por debajo de 0.234, ya que este último se obtiene añadiendo la cadena "34" a 0.2. Los infinitos números decimales son los elementos máximos dentro de este orden. En general, los subconjuntos de este orden no tienen cotas superiores mínimas: basta con considerar el conjunto {0.1, 0.3}. Volviendo a la intuición anterior, se podría decir que no es consistente suponer que algún número comienza tanto con 0.1 como con 0.3. Sin embargo, el orden sigue siendo completo y acotado. De hecho, es incluso un ejemplo de una clase de estructuras más especializada, los dominios de Scott , que proporcionan muchos otros ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados completos y acotados.

• Visser, A. (2004) 'Semántica y la paradoja del mentiroso' en: DM Gabbay y F. Günther (eds.) Manual de lógica filosófica, 2.ª edición, volumen 11, pp.  149 – 240