Grupo complementado

En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , el término grupo complementado se utiliza de dos maneras distintas, pero similares.

En ( Hall 1937 ) , un grupo complementado es aquel en el que cada subgrupo tiene un complemento teórico de grupos . Dichos grupos se denominan grupos completamente factorizables en la literatura rusa, siguiendo a ( Baeva 1953 ) y ( Černikov 1953 ) .

Las siguientes expresiones son equivalentes para cualquier grupo finito G :

• G se complementa
• G es un subgrupo de un producto directo de grupos de orden libre de cuadrados (un tipo especial de grupo Z ).
• G es un grupo supersoluble con subgrupos de Sylow abelianos elementales (un tipo especial de grupo A ), ( Hall 1937 , Teorema 1 y 2) .

Más tarde, en ( Zacher 1953 ) , se dice que un grupo es complementado si el retículo de subgrupos es un retículo complementado , es decir, si para cada subgrupo H hay un subgrupo K tal que H ∩ K = 1 y ⟨ H , K ⟩ es el grupo completo. La definición de Hall requería además que H y K permutaran, es decir, que HK = { hk  : h en H , k en K } formaran un subgrupo. Dichos grupos también se llaman K-grupos en la literatura italiana y de teoría de retículos , como ( Schmidt 1994 , pp. 114–121, Capítulo 3.1) . El subgrupo de Frattini de un K-grupo es trivial ; si un grupo tiene un subgrupo maximal libre de núcleo que es un K-grupo, entonces él mismo es un K-grupo; Por lo tanto, los subgrupos de K-grupos no necesariamente son K-grupos, pero los grupos cociente y los productos directos de K-grupos sí lo son ( Schmidt 1994 , pp. 115-116) . En ( Costantini y Zacher 2004 ) se demuestra que todo grupo simple finito es un grupo complementado. Cabe señalar que, en la clasificación de grupos simples finitos , el término K -grupo se utiliza más para referirse a un grupo cuyos subgrupos propios solo tienen factores de composición entre los grupos simples finitos conocidos.  

Un ejemplo de un grupo que no es complementado (en ningún sentido) es el grupo cíclico de orden p² , donde p es un número primo . Este grupo solo tiene un subgrupo no trivial H , el grupo cíclico de orden p , por ^lo que no puede haber otro subgrupo L que sea el complemento de H.

• Baeva, NV (1953), "Grupos completamente factorizables", Doklady Akademii Nauk SSSR , Nueva Serie, 92 : 877–880 , MR 0059275 
• Černikov, SN (1953), "Grupos con sistemas de subgrupos complementarios", Doklady Akademii Nauk SSSR , Nueva Serie, 92 : 891–894 , MR 0059276 
• Costantini, Mauro; Zacher, Giovanni (2004), "Los grupos simples finitos tienen retículos de subgrupos complementados", Pacific Journal of Mathematics , 213 (2): 245– 251, doi : 10.2140/pjm.2004.213.245 , hdl : 11577/1341437 , ISSN 0030-8730 , MR 2036918  
• Hall, Philip (1937), "Grupos complementados", J. London Math. Soc. , 12 (3): 201– 204, doi : 10.1112/jlms/s1-12.2.201 , Zbl 0016.39301 
• Schmidt, Roland (1994), Subgrupos de celosías de grupos , Exposiciones en matemáticas, vol.  14, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-011213-9, MR 1292462 
• Zacher, Giovanni (1953), "Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito complementati" , Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova , 22 : 113– 122, ISSN 0041-8994 , MR 0057878