Coeficiente de correlación múltiple

En estadística , el coeficiente de correlación múltiple es una medida de la capacidad de predecir una variable dada mediante una función lineal de un conjunto de otras variables. Representa la correlación entre los valores de la variable y las mejores predicciones que se pueden calcular linealmente a partir de las variables predictoras. ^{[ 1 ]}

El coeficiente de correlación múltiple toma valores entre 0 y 1. Valores más altos indican una mayor capacidad predictiva de la variable dependiente a partir de las variables independientes , donde un valor de 1 indica que las predicciones son exactamente correctas y un valor de 0 indica que ninguna combinación lineal de las variables independientes es un mejor predictor que la media fija de la variable dependiente. ^{[ 2 ]}

El coeficiente de correlación múltiple se conoce como la raíz cuadrada del coeficiente de determinación , pero bajo los supuestos particulares de que se incluye una intersección y que se utilizan los mejores predictores lineales posibles, mientras que el coeficiente de determinación se define para casos más generales, incluidos los de predicción no lineal y aquellos en los que los valores predichos no se han derivado de un procedimiento de ajuste de modelos.

El coeficiente de correlación múltiple, denotado R , es un escalar que se define como el coeficiente de correlación de Pearson entre los valores predichos y reales de la variable dependiente en un modelo de regresión lineal que incluye una intersección .

El cuadrado del coeficiente de correlación múltiple se puede calcular utilizando el vector${\displaystyle \mathbf {c} ={(r_{x_{1}y},r_{x_{2}y},\dots,r_{x_{N}y})}^{\top }}$de correlaciones${\displaystyle r_{x_{n}y}}$entre las variables predictoras${\displaystyle x_{n}}$(variables independientes) y la variable objetivo${\displaystyle y}$(variable dependiente) y la matriz de correlación${\displaystyle R_{xx}}$de correlaciones entre variables predictoras. Se da por

${\displaystyle R^{2}=\mathbf {c} ^{\top }R_{xx}^{-1}\,\mathbf {c} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {c} ^{\top }}$es la transpuesta de${\displaystyle \mathbf {c} }$, y${\displaystyle R_{xx}^{-1}}$es la inversa de la matriz

${\displaystyle R_{xx}=\left({\begin{array}{cccc}r_{x_{1}x_{1}}&r_{x_{1}x_{2}}&\dots &r_{x_{1}x_{N}}\\r_{x_{2}x_{1}}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\\r_{x_{N}x_{1}}&\dots &&r_{x_{N}x_{N}}\end{array}}\right).}$

Si todas las variables predictoras no están correlacionadas, la matriz${\displaystyle R_{xx}}$es la matriz identidad y${\displaystyle R^{2}}$simplemente es igual a${\displaystyle \mathbf {c} ^{\top }\,\mathbf {c} }$, la suma de las correlaciones al cuadrado con la variable dependiente. Si las variables predictoras están correlacionadas entre sí, la inversa de la matriz de correlación${\displaystyle R_{xx}}$cuenta con esto.

El coeficiente de correlación múltiple al cuadrado también se puede calcular como la fracción de la varianza de la variable dependiente que es explicada por las variables independientes, que a su vez es 1 menos la fracción no explicada. La fracción no explicada se puede calcular como la suma de los cuadrados de los residuos —es decir, la suma de los cuadrados de los errores de predicción— dividida por la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable dependiente respecto a su valor esperado .

Cuando hay más de dos variables relacionadas entre sí, el valor del coeficiente de correlación múltiple depende de la elección de la variable dependiente: una regresión de${\displaystyle y}$en${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$en general tendrá una diferente${\displaystyle R}$que una regresión de${\displaystyle z}$en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. Por ejemplo, supongamos que en una muestra particular la variable${\displaystyle z}$no está correlacionado con ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, mientras${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están linealmente relacionados entre sí. Luego, una regresión de${\displaystyle z}$en${\displaystyle y}$y${\displaystyle x}$producirá un${\displaystyle R}$de cero, mientras que una regresión de${\displaystyle y}$en${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$producirá un resultado estrictamente positivo${\displaystyle R}$Esto se deduce de la correlación de${\displaystyle y}$con su mejor predictor basado en${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$es en todos los casos al menos tan grande como la correlación de${\displaystyle y}$con su mejor predictor basado en${\displaystyle x}$solo, y en este caso con${\displaystyle z}$Al no aportar ninguna explicación, será exactamente igual de grande.

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