Conjunto cerrado

En topología , una rama de las matemáticas , un conjunto cerrado es un conjunto que contiene todos sus puntos frontera . Un ejemplo es el intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$, que está cerrada en la recta real porque incluye ambos puntos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de su frontera. Un punto está en la frontera si todo entorno de él cubre tanto el conjunto como su complemento . ^{[ 1 ]} Un conjunto es cerrado si es igual a su clausura , el conjunto obtenido al adjuntarle todos los puntos de la frontera.

Los conjuntos cerrados se definen como subconjuntos de espacios topológicos . La topología de un espacio se describe generalmente en términos de sus conjuntos abiertos , que determinan qué se considera un "entorno" de sus puntos. Un conjunto es cerrado si es el complemento de un conjunto abierto. En espacios métricos , un conjunto es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión convergente de elementos en el conjunto tiene límite en este conjunto; por lo tanto, un conjunto cerrado es un conjunto que incluye todos sus puntos límite . Dado que los límites de las sucesiones convergentes no escapan de un conjunto cerrado, son importantes en muchas áreas de las matemáticas donde se utilizan argumentos de límite.

Un conjunto cerrado se distingue de la noción de curva cerrada o variedad cerrada . Estas también son cerradas en el sentido topológico, pero el término allí generalmente significa que la frontera en el sentido relevante es vacía . Del mismo modo, una forma diferencial cerrada no es un conjunto, sino una forma que tiene frontera nula . Por lo tanto, el término «cerrado» se usa en un sentido diferente, pero relacionado, en homología y cohomología .

Dado un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está cerrado en${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle (X,\tau )}$; eso es,${\displaystyle A^{c}\in \tau .}$
3. ${\displaystyle A}$es igual a su cierre en${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle A}$contiene todos sus puntos límite .
5. ${\displaystyle A}$contiene todos sus puntos límite .

Una caracterización alternativa de conjuntos cerrados está disponible a través de secuencias y redes . Un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$está cerrado en${\displaystyle X}$si y solo si cada límite de cada red de elementos de${\displaystyle A}$también pertenece a${\displaystyle A.}$En un espacio numerable de primer orden (como un espacio métrico), basta con considerar solo secuencias convergentes , en lugar de todas las redes. Una ventaja de esta caracterización es que puede utilizarse como definición en el contexto de espacios de convergencia , que son más generales que los espacios topológicos. Nótese que esta caracterización también depende del espacio circundante.${\displaystyle X,}$porque si una secuencia o red converge o no en${\displaystyle X}$depende de qué puntos estén presentes en${\displaystyle X.}$ Un punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$Se dice que está cerca de un subconjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$si${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$(o equivalentemente, si${\displaystyle x}$pertenece al cierre de${\displaystyle A}$en el subespacio topológico${\displaystyle A\cup \{x\},}$significado${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$dónde${\displaystyle A\cup \{x\}}$está dotado de la topología de subespacio inducida en él por${\displaystyle X}$^{[ nota 1 ]} ). Debido al cierre de${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$es, por lo tanto, el conjunto de todos los puntos en${\displaystyle X}$que están cerca de${\displaystyle A,}$Esta terminología permite una descripción intuitiva de subconjuntos cerrados:

Un subconjunto es cerrado si y solo si contiene todos los puntos que están cerca de él.

En términos de convergencia neta, un punto${\displaystyle x\in X}$está cerca de un subconjunto${\displaystyle A}$si y solo si existe algún valor neto en${\displaystyle A}$que converge a${\displaystyle x.}$ Si${\displaystyle X}$es un subespacio topológico de algún otro espacio topológico${\displaystyle Y,}$en cuyo caso${\displaystyle Y}$se denomina superespacio topológico de${\displaystyle X,}$entonces podría existir algún punto en${\displaystyle Y\setminus X}$eso está cerca de${\displaystyle A}$(aunque no es un elemento de${\displaystyle X}$), que es como es posible para un subconjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$estar cerrado en${\displaystyle X}$pero no estar encerrado en el superespacio circundante "más grande"${\displaystyle Y.}$ Si${\displaystyle A\subsetequ X}$y si${\displaystyle Y}$es cualquier superespacio topológico de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle A}$es siempre un subconjunto (potencialmente propio) de${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$lo cual denota el cierre de${\displaystyle A}$en${\displaystyle Y;}$de hecho, incluso si${\displaystyle A}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$(lo cual sucede si y solo si${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$), sin embargo, todavía es posible${\displaystyle A}$ser un subconjunto apropiado de${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$Sin embargo,${\displaystyle A}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$para algún (o equivalentemente, para cada) superespacio topológico${\displaystyle Y}$de${\displaystyle X.}$

Los conjuntos cerrados también pueden utilizarse para caracterizar funciones continuas : una aplicación${\displaystyle f:X\to Y}$es continua si y solo si${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$para cada subconjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$; esto se puede reformular intuitivamente como:${\displaystyle f}$es continua si y solo si para cada subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$puntos del mapa que están cerca de${\displaystyle A}$a puntos que están cerca de${\displaystyle f(A).}$Similarmente,${\displaystyle f}$es continua en un punto fijo dado${\displaystyle x\in X}$si y solo si siempre${\displaystyle x}$está cerca de un subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$entonces${\displaystyle f(x)}$está cerca de${\displaystyle f(A).}$

La noción de conjunto cerrado se define arriba en términos de conjuntos abiertos , un concepto que tiene sentido para espacios topológicos , así como para otros espacios que llevan estructuras topológicas, como espacios métricos , variedades diferenciables , espacios uniformes y espacios de calibre .

Que un conjunto sea cerrado depende del espacio en el que está incrustado. Sin embargo, los espacios compactos de Hausdorff son " absolutamente cerrados ", en el sentido de que, si se incrusta un espacio compacto de Hausdorff${\displaystyle D}$en un espacio de Hausdorff arbitrario${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle D}$siempre será un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$El "espacio circundante" no importa aquí. La compactificación de Stone-Čech , un proceso que convierte un espacio de Hausdorff completamente regular en un espacio de Hausdorff compacto, puede describirse como la adyacencia de ciertos límites no convergentes al espacio.

Además, todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, y todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Los conjuntos cerrados también proporcionan una caracterización útil de la compacidad: un espacio topológico${\displaystyle X}$es compacto si y solo si toda colección de subconjuntos cerrados no vacíos de${\displaystyle X}$con intersección vacía admite una subcolección finita con intersección vacía.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se considera desconectado un conjunto si existen subconjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de${\displaystyle X}$cuya unión es${\displaystyle X.}$Además,${\displaystyle X}$es totalmente desconectado si tiene una base abierta que consta de conjuntos cerrados.

Un conjunto cerrado contiene su propia frontera . En otras palabras, si estás "fuera" de un conjunto cerrado, puedes moverte una pequeña cantidad en cualquier dirección y seguir estando fuera del conjunto. Esto también es cierto si la frontera es el conjunto vacío, por ejemplo, en el espacio métrico de los números racionales, para el conjunto de números cuyo cuadrado es menor que${\displaystyle 2.}$

• Cualquier intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado (esto incluye las intersecciones de infinitos conjuntos cerrados).
• La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.
• El conjunto vacío es cerrado.
• El conjunto está cerrado.

De hecho, si se le da un conjunto${\displaystyle X}$y una colección no vacía${\displaystyle \mathbb {F} }$de subconjuntos de${\displaystyle X}$de tal manera que los elementos de${\displaystyle \mathbb {F} }$Si posee las propiedades enumeradas anteriormente, entonces existe una topología única.${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$de tal manera que los subconjuntos cerrados de${\displaystyle (X,\tau )}$son exactamente aquellos conjuntos que pertenecen a${\displaystyle \mathbb {F} .}$ La propiedad de intersección también permite definir el cierre de un conjunto.${\displaystyle A}$en un espacio${\displaystyle X,}$que se define como el subconjunto cerrado más pequeño de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle A.}$ Por lo tanto, el cierre de${\displaystyle A}$es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen.

Los conjuntos que pueden construirse como la unión de una cantidad numerable _de conjuntos cerrados se denominan conjuntos Fσ . Estos conjuntos no tienen por qué ser cerrados. La jerarquía de Borel clasifica los conjuntos más complejos formados en el álgebra sigma de Borel , que incluye los conjuntos cerrados en el primer nivel, los conjuntos Fσ _en el segundo nivel, y así sucesivamente.

Un conjunto perfecto es un conjunto cerrado sin puntos aislados .

• El intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$El conjunto de los números reales es cerrado. (Véase Intervalo (matemáticas) para una explicación de la notación de conjuntos con corchetes y paréntesis).
• El intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$es cerrado en el espacio métrico de los números reales, y el conjunto${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$de números racionales entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$(inclusivo) es cerrado en el espacio de los números racionales, pero${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$no está cerrado en las cifras reales.
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo semiabierto.${\displaystyle [0,1)}$en cifras reales.
• En la topología de complemento finito en un conjunto${\displaystyle X}$, los conjuntos cerrados son precisamente los subconjuntos finitos de${\displaystyle X}$junto con${\displaystyle X}$sí mismo.
• En la topología discreta sobre un conjunto${\displaystyle X}$, cada subconjunto de${\displaystyle X}$Está cerrado.

• El rayo${\displaystyle [1,+\infty )}$Está cerrado.
• El conjunto de Cantor es cerrado porque es igual a su propia frontera (consiste enteramente en puntos frontera).
• Los puntos unitarios (y por lo tanto los conjuntos finitos) son cerrados en los espacios T ₁ y en los espacios de Hausdorff .
• El conjunto de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un conjunto cerrado infinito e ilimitado en los números reales.
• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función entre espacios topológicos entonces${\displaystyle f}$es continua si y solo si las preimágenes de conjuntos cerrados en${\displaystyle Y}$están cerrados en${\displaystyle X.}$
• Cada conjunto inferior de un preorden es cerrado en la topología de Alexandrov sobre el preorden.
• Los conjuntos compactos en un espacio de Hausdorff son siempre cerrados. La compacidad es una especialización del concepto de cierre que, en casos como los espacios métricos, garantiza que un conjunto no solo contiene todos sus límites, sino que toda sucesión tiene una subsucesión con un límite en dicho conjunto.

Los conjuntos cerrados son importantes en matemáticas porque describen condiciones que se conservan bajo procesos de límite. En un espacio métrico, por ejemplo, si una sucesión de puntos en un conjunto cerrado converge en el espacio ambiente, entonces su límite permanece en el conjunto. Por lo tanto, a menudo se puede demostrar que un objeto posee una propiedad deseada construyéndolo como el límite de objetos que ya poseen esa propiedad. En consecuencia, los conjuntos cerrados son omnipresentes en el análisis matemático , que implica argumentos de límite en todo momento.

Las aplicaciones continuas proporcionan una fuente de conjuntos cerrados en muchas aplicaciones. Una función entre espacios topológicos es continua si y solo si la imagen inversa de cada conjunto cerrado es cerrada. En consecuencia, los conjuntos de soluciones de ecuaciones continuas son cerrados: si${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es continuo, entonces el conjunto cero $${\displaystyle \{x\in X:f(x)=0\}=f^{-1}(\{0\})}$$ es cerrado. De forma más general, los conjuntos de nivel y los conjuntos de restricciones definidos por igualdades continuas son cerrados.

En análisis real , un conjunto en el espacio euclidiano es compacto si y solo si es cerrado y acotado . Esto divide la tarea de comprobar si un conjunto es compacto en dos propiedades más fáciles de verificar, siendo la propiedad de ser cerrado la más difícil. La afirmación análoga no es cierta en otros espacios. Por ejemplo, la bola unitaria cerrada en un espacio de Banach de dimensión infinita es cerrada pero no compacta.

La propiedad de que un conjunto sea cerrado es esencial en la teoría de la optimización . El teorema del valor extremo es un ejemplo básico y permite concluir que una función continua de valores reales definida en un subconjunto cerrado y acotado (es decir, compacto) del espacio euclidiano alcanza un valor máximo y un valor mínimo en algún punto.

En el análisis convexo , la condición de cerrado se expresa comúnmente mediante epígrafes . Una función convexa se denomina cerrada cuando su epígrafe es un conjunto cerrado. Esta condición está estrechamente relacionada con la semicontinuidad inferior y es importante en los teoremas de existencia y dualidad para la optimización convexa.

En geometría algebraica , los conjuntos cerrados se utilizan para codificar sistemas de ecuaciones polinómicas. En la topología de Zariski sobre espacios afines, los conjuntos cerrados son los conjuntos algebraicos , es decir, los conjuntos de ceros comunes de colecciones de polinomios . Por lo tanto, en geometría algebraica, los conjuntos cerrados, en lugar de los conjuntos abiertos, suelen ser los principales objetos de estudio.

En el análisis funcional , la propiedad de cierre se utiliza para controlar procesos límite de dimensión infinita. Un subespacio lineal de un espacio vectorial normado no tiene por qué ser cerrado. Cuando no lo es, los límites de secuencias convergentes de vectores en el subespacio pueden salir de él. Por consiguiente, los subespacios cerrados de espacios de Banach y Hilbert son especialmente importantes. De forma similar, el teorema del grafo cerrado caracteriza la continuidad de ciertos operadores lineales entre espacios de Banach mediante la propiedad de cierre de sus grafos .

En el estudio de grupos topológicos , es decir , grupos con una topología compatible, los subgrupos cerrados suelen ser los casos más manejables , ya que heredan estructuras del grupo mayor que los subgrupos más generales no poseen. Un ejemplo se encuentra en los grupos de Lie . Si bien todo subgrupo de un grupo de Lie es un grupo topológico, no necesariamente lo es bajo la topología de subespacio. La afirmación correcta es que un subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie , y su álgebra de Lie es un subespacio natural del álgebra de Lie del grupo mayor. Además, el espacio de clases laterales de un subgrupo en un grupo topológico no es un espacio de Hausdorff a menos que el subgrupo sea cerrado, y viceversa. Asimismo, los grupos compactos desempeñan un papel especial en el análisis; por ejemplo, sus representaciones unitarias continuas se descomponen en partes discretas. Un subgrupo de un grupo compacto no tiene por qué ser compacto, pero un subgrupo cerrado sí lo es.

En espacios totalmente desconectados , especialmente en espacios cero-dimensionales como los espacios de Stone , los conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados desempeñan un papel importante. Dichos conjuntos se denominan conjuntos clopen . Proporcionan los bloques de construcción para muchos ejemplos, incluyendo el conjunto de Cantor y los espacios que surgen en el análisis p-ádico . En la teoría algebraica de números , se estudian con frecuencia grupos topológicos sobre cuerpos locales no arquimedianos en los que los subgrupos abiertos compactos desempeñan un papel importante: son entornos topológicamente pequeños de la identidad y, a menudo, son subgrupos útiles algebraica o aritméticamente.

• Conjunto clopen : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado. 
• Mapa cerrado : funciones que envían subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados). Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Región cerrada : subconjunto abierto conectado de un espacio topológico. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Conjunto abierto – Subconjunto básico de un espacio topológico 
• Vecindario – Conjunto abierto que contiene un punto dado 
• Región (matemáticas) – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológico Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Conjunto cerrado regular

• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de la convergencia en topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4OCLC 945169917​​ 
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​