Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Inmersión cerrada

En geometría algebraica , una inmersión cerrada de esquemas es un morfismo de esquemas. F : Z → incógnita {\displaystyle f:Z\to X} que identifica a Z como un subconjunto cerrado...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En geometría algebraica , una inmersión cerrada de esquemas es un morfismo de esquemas.F:Z→incógnita{\displaystyle f:Z\to X}que identifica a Z como un subconjunto cerrado de X tal que localmente, las funciones regulares en Z pueden extenderse a X. [ 1 ] Esta última condición puede formalizarse diciendo queF#:Oincógnita→F∗OZ{\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}}es sobreyectiva. [ 2 ]

Un ejemplo es el mapa de inclusión.Especulación⁡(R/I)→Especulación⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)}de esquemas afines inducidos por el mapa de anillo canónicoR→R/I{\displaystyle R\to R/I}.

Otras caracterizaciones

Los siguientes son equivalentes:

  1. F:Z→incógnita{\displaystyle f:Z\to X}es una inmersión cerrada.
  2. Para cada afín abiertoU=Especulación⁡(R)⊂incógnita{\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}Existe un idealI⊂R{\displaystyle I\subset R}de tal manera queF−1(U)=Especulación⁡(R/I){\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}como planes sobre U.
  3. Existe una cubierta afín abiertaincógnita=⋃Uj,Uj=Especulación⁡Rj{\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}y para cada j existe un idealIj⊂Rj{\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}de tal manera queF−1(Uj)=Especulación⁡(Rj/Ij){\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})}a medida que los planes terminanUj{\displaystyle U_{j}}.
  4. Existe un conjunto casi coherente de ideales.I{\displaystyle {\mathcal {I}}}en X tal queF∗OZ≅Oincógnita/I{\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}y f es un isomorfismo de Z sobre el Spec global deOincógnita/I{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}sobre X.​

Definición de espacios anillados localmente

En el caso de espacios localmente anillados [ 3 ] un morfismoi:Z→incógnita{\displaystyle i:Z\to X}Se trata de una inmersión cerrada si se cumple una lista similar de criterios:

  1. El mapai{\displaystyle i}es un homeomorfismo deZ{\displaystyle Z}sobre su imagen
  2. El mapa de haces asociadoOincógnita→i∗OZ{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}es sobreyectiva con núcleoI{\displaystyle {\mathcal {I}}}
  3. El núcleoI{\displaystyle {\mathcal {I}}}se genera localmente por secciones como unOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-módulo. [ 4 ]

La única condición variable es la tercera. Resulta instructivo observar un contraejemplo para comprender qué produce la tercera condición al analizar un mapa que no sea una inmersión cerrada.i:GRAMOmetro↪A1{\displaystyle i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}}dónde

GRAMOmetro=Especulación(Z[incógnita,incógnita−1]){\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Espec.}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}

Si observamos el tallo dei∗OGRAMOmetro|0{\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}}en0∈A1{\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{1}}entonces no hay secciones. Esto implica para cualquier subesquema abiertoU⊂A1{\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{1}}que contiene0{\displaystyle 0}El haz no tiene secciones. Esto viola la tercera condición ya que al menos un subesquema abiertoU{\displaystyle U}cubiertaA1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}contiene0{\displaystyle 0}.

Propiedades

Una inmersión cerrada es finita y radical (universalmente inyectiva). En particular, una inmersión cerrada es universalmente cerrada. Una inmersión cerrada es estable bajo cambio de base y composición. La noción de inmersión cerrada es local en el sentido de que f es una inmersión cerrada si y solo si para algún (equivalentemente todo) recubrimiento abiertoincógnita=⋃Uj{\displaystyle X=\bigcup U_ {j}}el mapa inducidoF:F−1(Uj)→Uj{\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}es una inmersión cerrada. [ 5 ] [ 6 ]

Si la composiciónZ→Y→incógnita{\displaystyle Z\to Y\to X}es una inmersión cerrada yY→incógnita{\displaystyle Y\to X}se separa , entoncesZ→Y{\displaystyle Z\to Y}es una inmersión cerrada. Si X es un esquema S separado , entonces cada sección S de X es una inmersión cerrada. [ 7 ]

Sii:Z→incógnita{\displaystyle i:Z\to X}es una inmersión cerrada yI⊂Oincógnita{\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}es el haz cuasi coherente de ideales que recorta Z , entonces la imagen directai∗{\displaystyle i_{*}}de la categoría de haces cuasi-coherentes sobre Z a la categoría de haces cuasi-coherentes sobre X es exacta, totalmente fiel con la imagen esencial que consiste enGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}de tal manera queIGRAMO=0{\displaystyle {\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0}. [ 8 ]

Una inmersión cerrada plana de presentación finita es la inmersión abierta de un subesquema cerrado abierto. [ 9 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Mumford , El Libro Rojo de Variedades y Esquemas , Sección II.5
  2. ↑ Hartshorne 1977 , §II.3
  3. ↑ "Sección 26.4 (01HJ): Inmersiones cerradas de espacios localmente anillados: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 5 de agosto de 2021 .
  4. ↑ "Sección 17.8 (01B1): Módulos generados localmente por secciones—El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 5 de agosto de 2021 .
  5. ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , 4.2.4
  6. ↑ "Parte 4: Espacios algebraicos, Capítulo 67: Morfismos de espacios algebraicos" , Proyecto Stacks , Universidad de Columbia , consultado el 6 de marzo de 2024.
  7. ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , 5.4.6
  8. ↑ Pilas, Morfismos de esquemas. Lema 4.1
  9. ↑ Pilas, Morfismos de esquemas. Lema 27.2

Referencias