Gavilla ideal

En geometría algebraica y otras áreas de las matemáticas , un haz de ideales (o haz de ideales ) es el análogo global de un ideal en un anillo . Los haces de ideales sobre un objeto geométrico están estrechamente relacionados con sus subespacios.

Sea X un espacio topológico y A un haz de anillos sobre X. (En otras palabras, ( X , A ) es un espacio anillado ). Un haz ideal J en A es un subobjeto de A en la categoría de haces de A -módulos, es decir, un subhaz de A visto como un haz de grupos abelianos tal que

Γ( U , A ) · Γ( U , J ) ⊆ Γ( U , J )

para todos los subconjuntos abiertos U de X. En otras palabras, J es un haz de A -submódulos de A.

• Si f : A → B es un homomorfismo entre dos haces de anillos en el mismo espacio X , el núcleo de f es un haz ideal en A.   
• Por el contrario, para cualquier haz ideal J en un haz de anillos A , existe una estructura natural de un haz de anillos en el haz cociente A / J . Nótese que el mapa canónico

Γ( U , A )/Γ( U , J ) → Γ( U , A / J )

Para subconjuntos abiertos, U es inyectivo, pero no sobreyectivo en general. (Véase cohomología de haces ).

En el contexto de los esquemas , la importancia de los haces ideales radica principalmente en la correspondencia entre subesquemas cerrados y haces ideales cuasi-coherentes . Consideremos un esquema X y un haz ideal cuasi-coherente J en O _X . Entonces, el soporte Z de O _X / J es un subespacio cerrado de X , y ( Z , O _X / J ) es un esquema (ambas afirmaciones pueden verificarse localmente). Se denomina subesquema cerrado de X definido por J . Recíprocamente, sea i : Z → X una inmersión cerrada , es decir, un morfismo que es un homeomorfismo sobre un subespacio cerrado tal que el mapa asociado

yo ^# : O _X → yo _* O _Z

es sobreyectiva en los tallos. Entonces, el núcleo J de i ^# es un haz ideal cuasi-coherente, e i induce un isomorfismo de Z sobre el subesquema cerrado definido por J . ^{[ 1 ]}

Un caso particular de esta correspondencia es el único subesquema reducido X _red de X que tiene el mismo espacio subyacente, el cual se define por el nilradical de O _X (definido por tallo o en cartas afines abiertas). ^{[ 2 ]}

Para un morfismo f : X → Y y un subesquema cerrado Y ′ ⊆ Y definido por un haz ideal J , la preimagen Y ′ × _Y X está definida por el haz ideal ^{[ 3 ]}

f ^* ( J )O _X = im( f ^* J → O _X ).

La imagen inversa de un haz ideal J al subesquema Z definido por J contiene información importante; se denomina fibrado conormal de Z. Por ejemplo, el haz de diferenciales de Kähler puede definirse como la imagen inversa del haz ideal que define la diagonal X → X × X a X. (Supongamos, para simplificar, que X está separado de modo que la diagonal es una inmersión cerrada). ^{[ 4 ]}

En la teoría de espacios analíticos complejos , el teorema de Oka-Cartan establece que un subconjunto cerrado A de un espacio complejo es analítico si y solo si el haz ideal de funciones que se anulan en A es coherente . Este haz ideal también confiere a A la estructura de un subespacio complejo cerrado reducido.

• Elementos de geometría algébrique
• H. Grauert , R. Remmert : Gavillas analíticas coherentes . Springer-Verlag, Berlín 1984