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Prueba de chi-cuadrado

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Distribución chi-cuadrado , que muestra χ² en el primer eje y el valor p (probabilidad de la cola derecha) en el segundo eje .

Una prueba de chi-cuadrado (también llamada prueba de chi-cuadrado o χ² ) es una prueba de hipótesis estadística que se utiliza en el análisis de tablas de contingencia cuando el tamaño de la muestra es grande. En términos más sencillos, esta prueba se utiliza principalmente para examinar si dos variables categóricas ( dos dimensiones de la tabla de contingencia ) son independientes en su influencia sobre el estadístico de prueba ( valores dentro de la tabla ). [ 1 ]

La prueba es válida cuando el estadístico de prueba sigue una distribución chi-cuadrado bajo la hipótesis nula , específicamente la prueba chi-cuadrado de Pearson y sus variantes. La prueba chi-cuadrado de Pearson se utiliza para determinar si existe una diferencia estadísticamente significativa entre las frecuencias esperadas y las frecuencias observadas en una o más categorías de una tabla de contingencia. Para tablas de contingencia con tamaños de muestra más pequeños, se utiliza la prueba exacta de Fisher .

En las aplicaciones estándar de esta prueba, las observaciones se clasifican en clases mutuamente excluyentes. Si la hipótesis nula de que no existen diferencias entre las clases en la población es verdadera, el estadístico de prueba calculado a partir de las observaciones sigue una distribución de frecuencia χ² . El objetivo de la prueba es evaluar la probabilidad de que las frecuencias observadas se den por ciertas, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera.

Las estadísticas de prueba que siguen una distribución χ² se dan cuando las observaciones son independientes. También existen pruebas χ² para contrastar la hipótesis nula de independencia de un par de variables aleatorias a partir de las observaciones de dichos pares .

Las pruebas de chi-cuadrado a menudo se refieren a pruebas para las cuales la distribución del estadístico de prueba se aproxima asintóticamente a la distribución χ² , lo que significa que la distribución muestral (si la hipótesis nula es verdadera) del estadístico de prueba se aproxima cada vez más a una distribución de chi-cuadrado a medida que aumenta el tamaño de la muestra .

Historia

En el siglo XIX, los métodos analíticos estadísticos se aplicaban principalmente al análisis de datos biológicos y era costumbre que los investigadores asumieran que las observaciones seguían una distribución normal , como Sir George Airy y Mansfield Merriman , cuyos trabajos fueron criticados por Karl Pearson en su artículo de 1900. [ 2 ]

A finales del siglo XIX, Pearson notó la existencia de una asimetría significativa en algunas observaciones biológicas. Para modelar las observaciones, independientemente de si eran normales o asimétricas, Pearson, en una serie de artículos publicados entre 1893 y 1916, [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ideó la distribución de Pearson , una familia de distribuciones de probabilidad continuas , que incluye la distribución normal y muchas distribuciones asimétricas, y propuso un método de análisis estadístico que consiste en usar la distribución de Pearson para modelar la observación y realizar una prueba de bondad de ajuste para determinar qué tan bien se ajusta realmente el modelo a las observaciones.

Prueba de chi-cuadrado de Pearson

En 1900, Pearson publicó un artículo [ 2 ] sobre la prueba χ 2 que se considera uno de los fundamentos de la estadística moderna. [ 7 ] En este artículo, Pearson investigó una prueba de bondad de ajuste.

Supongamos que n observaciones en una muestra aleatoria de una población se clasifican en k clases mutuamente excluyentes con respectivos números observados de observaciones x i (para i = 1,2,…, k ), y una hipótesis nula da la probabilidad p i de que una observación caiga en la i -ésima clase. Entonces tenemos los números esperados m i = np i para todo i , donde

∑i=1kpagi=1∑i=1kmetroi=norte∑i=1kpagi=norte{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n\end{aligned}}}

Pearson propuso que, bajo la circunstancia de que la hipótesis nula sea correcta, cuando n → ∞ la distribución límite de la cantidad dada a continuación es la distribución χ 2 .

incógnita2=∑i=1k(incógnitai−metroi)2metroi=∑i=1kincógnitai2metroi−norte{\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}}

Pearson trató primero el caso en el que los números esperados m i son números conocidos suficientemente grandes en todas las celdas suponiendo que cada observación x i puede tomarse como distribuida normalmente , y llegó al resultado de que, en el límite cuando n se vuelve grande, X 2 sigue la distribución χ 2 con k − 1 grados de libertad.

Sin embargo, Pearson consideró a continuación el caso en el que los números esperados dependían de los parámetros que debían estimarse a partir de la muestra, y sugirió que, con la notación de m i siendo los números esperados verdaderos y m ′ i siendo los números esperados estimados, la diferencia

incógnita2−incógnita′2=∑i=1kincógnitai2metroi−∑i=1kincógnitai2metroi′{\displaystyle X^{2}-{X'}^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m'_{i}}}}

Por lo general, será positivo y lo suficientemente pequeño como para omitirse. En una conclusión, Pearson argumentó que si consideráramos que X ′ 2 también se distribuye como una distribución χ 2 con k − 1 grados de libertad, el error en esta aproximación no afectaría las decisiones prácticas. Esta conclusión causó cierta controversia en las aplicaciones prácticas y no se resolvió hasta 20 años después, con los trabajos de Fisher de 1922 y 1924. [ 8 ] [ 9 ]

Otros ejemplos de pruebas de chi-cuadrado

Una prueba estadística que sigue exactamente una distribución chi-cuadrado es la que determina si la varianza de una población con distribución normal tiene un valor dado, basándose en la varianza muestral . Estas pruebas son poco comunes en la práctica, ya que la verdadera varianza de la población suele ser desconocida. Sin embargo, existen varias pruebas estadísticas en las que la distribución chi-cuadrado es aproximadamente válida:

Prueba exacta de Fisher

Para una prueba exacta que se utiliza en lugar de la prueba chi-cuadrado de 2 × 2 para la independencia cuando todos los totales de filas y columnas están fijos por diseño, véase la prueba exacta de Fisher . Cuando los márgenes de filas o columnas (o ambos) son variables aleatorias (como en la mayoría de los diseños de investigación comunes), esta prueba tiende a ser demasiado conservadora y con poca potencia estadística . [ 10 ]

Prueba binomial

Para una prueba exacta que se utiliza en lugar de la prueba chi-cuadrado de 2 × 1 para la bondad de ajuste, consulte la prueba binomial .

Otras pruebas de chi-cuadrado

Corrección de Yates para garantizar la continuidad.

Para interpretar la estadística chi-cuadrado de Pearson mediante la distribución chi-cuadrado , se asume que la probabilidad discreta de las frecuencias binomiales observadas en la tabla puede aproximarse mediante la distribución chi-cuadrado continua . Esta suposición no es del todo correcta e introduce cierto error.

Para reducir el error de aproximación, Frank Yates sugirió una corrección de continuidad que ajusta la fórmula de la prueba chi-cuadrado de Pearson restando 0,5 a la diferencia absoluta entre cada valor observado y su valor esperado en una tabla de contingencia de 2 × 2. [ 11 ] Esto reduce el valor chi-cuadrado obtenido y, por lo tanto, aumenta su valor p .

Prueba de chi-cuadrado para la varianza en una población normal

Si se toma una muestra de tamaño n de una población con distribución normal , entonces existe un resultado (véase distribución de la varianza muestral ) que permite realizar una prueba para determinar si la varianza de la población tiene un valor predeterminado. Por ejemplo, un proceso de fabricación podría haber estado en condiciones estables durante un largo período, lo que permitiría determinar un valor para la varianza prácticamente sin error. Supongamos que se está probando una variante del proceso, lo que da lugar a una pequeña muestra de n artículos de producto cuya variación se va a probar. El estadístico de prueba T en este caso podría definirse como la suma de los cuadrados alrededor de la media muestral, dividida por el valor nominal de la varianza (es decir, el valor que se va a probar como válido). Entonces T tiene una distribución chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad . Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es 21, la región de aceptación para T con un nivel de significancia del 5% está entre 9,59 y 34,17.

Ejemplo de prueba chi-cuadrado para datos categóricos

Supongamos que existe una ciudad de 1.000.000 de habitantes con cuatro barrios: A , B , C y D. Se toma una muestra aleatoria de 650 residentes de la ciudad y se registra su ocupación como "empleado administrativo", "obrero" o "sin empleo" . La hipótesis nula es que el barrio de residencia de cada persona es independiente de su clasificación ocupacional. Los datos se tabulan de la siguiente manera:

Tomemos la muestra de personas que viven en el vecindario A , 150 , para estimar qué proporción del total de 1.000.000 vive en el vecindario A. De manera similar , tomamos 349/650 para estimar qué proporción del 1.000.000 son trabajadores de oficina. Bajo el supuesto de independencia de la hipótesis , deberíamos "esperar" que el número de trabajadores de oficina en el vecindario A sea

150×349650≈80,54{\displaystyle 150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54}

Entonces, en esa "celda" de la tabla, tenemos

(observado−esperado)2esperado=(90−80,54)280,54≈1.11{\displaystyle {\frac {\left({\text{observado}}-{\text{esperado}}\right)^{2}}{\text{esperado}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11}

La suma de estas cantidades en todas las celdas es el estadístico de prueba; en este caso,≈24.57{\displaystyle \approx 24.57}Bajo la hipótesis nula, esta suma tiene aproximadamente una distribución chi-cuadrado cuyo número de grados de libertad es

(número de filas−1)(número de columnas−1)=(3−1)(4−1)=6{\displaystyle ({\text{número de filas}}-1)({\text{número de columnas}}-1)=(3-1)(4-1)=6}

Si el estadístico de prueba es improbablemente grande según esa distribución chi-cuadrado, entonces se rechaza la hipótesis nula de independencia.

Un tema relacionado es la prueba de homogeneidad. Supongamos que, en lugar de dar a cada residente de cada uno de los cuatro barrios la misma probabilidad de ser incluido en la muestra, decidimos de antemano cuántos residentes de cada barrio incluir. En ese caso, cada residente tendría la misma probabilidad de ser elegido que todos los residentes del mismo barrio, pero los residentes de diferentes barrios tendrían probabilidades distintas de ser elegidos si el tamaño de las cuatro muestras no es proporcional a la población de los cuatro barrios. En tal caso, estaríamos probando la "homogeneidad" en lugar de la "independencia". La pregunta es si las proporciones de trabajadores manuales, administrativos y no manuales en los cuatro barrios son las mismas. Sin embargo, la prueba se realiza de la misma manera.

Aplicaciones

En criptoanálisis , la prueba de chi-cuadrado se utiliza para comparar la distribución del texto plano y el texto cifrado (posiblemente) descifrado . El valor más bajo de la prueba indica que el descifrado fue exitoso con alta probabilidad. [ 12 ] [ 13 ] Este método puede generalizarse para resolver problemas criptográficos modernos. [ 14 ]

En bioinformática , la prueba de chi-cuadrado se utiliza para comparar la distribución de ciertas propiedades de los genes (por ejemplo, contenido genómico, tasa de mutación, agrupamiento de redes de interacción, etc.) pertenecientes a diferentes categorías (por ejemplo, genes de enfermedades, genes esenciales, genes en un cromosoma determinado, etc.). [ 15 ] [ 16 ]

Limitaciones

La prueba de chi-cuadrado, si bien se utiliza ampliamente para el análisis de datos categóricos, presenta varias limitaciones importantes que los investigadores deben considerar. En primer lugar, asume que las observaciones son independientes; violar este supuesto puede conducir a resultados engañosos. En segundo lugar, la prueba es sensible al tamaño de la muestra. En muestras muy grandes, incluso diferencias triviales entre las frecuencias observadas y esperadas pueden producir resultados estadísticamente significativos, mientras que en muestras muy pequeñas, la prueba puede carecer de la potencia necesaria para detectar asociaciones significativas. En tercer lugar, la prueba de chi-cuadrado no mide la fuerza ni la importancia práctica de una asociación; solo indica si existe una relación significativa. Las medidas del tamaño del efecto, como la V de Cramér o el coeficiente de contingencia , deben reportarse junto con el estadístico de prueba para proporcionar contexto. Finalmente, la prueba puede ser inexacta cuando las frecuencias esperadas en cualquier celda son muy pequeñas, a menudo se recomienda que sean de al menos 5; en tales casos, se prefieren las pruebas exactas o los métodos alternativos. Los investigadores también deben ser cautelosos al tratar con categorías distribuidas de manera desigual, ya que los grupos dominantes pueden eclipsar los patrones en grupos más pequeños. [ 17 ] [ 18 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Chi-cuadrado – Sociología 3112 – Departamento de Sociología – Universidad de Utah" . soc.utah.edu . Consultado el 12 de noviembre de 2022 .
  2. 1 2 Pearson, Karl (1900). "Sobre el criterio de que un sistema dado de desviaciones de lo probable en el caso de un sistema de variables correlacionadas es tal que se puede suponer razonablemente que surgió de un muestreo aleatorio" . Philosophical Magazine . Serie 5. 50 (302): 157– 175. doi : 10.1080/14786440009463897 .
  3. ↑ Pearson, Karl (1893). "Contribuciones a la teoría matemática de la evolución [ resumen ] " . Actas de la Royal Society . 54 : 329–333 . doi : 10.1098/rspl.1893.0079 . JSTOR 115538 . 
  4. ↑ Pearson, Karl (1895). "Contribuciones a la teoría matemática de la evolución, II: Variación asimétrica en material homogéneo" . Philosophical Transactions of the Royal Society . 186 : 343–414 . Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . JSTOR 90649 . 
  5. ↑ Pearson, Karl (1901). "Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución, X: Suplemento a una memoria sobre la variación asimétrica". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 197 ( 287–299 ) : 443–459 . Bibcode : 1901RSPTA.197..443P . doi : 10.1098/rsta.1901.0023 . JSTOR 90841 . 
  6. ↑ Pearson, Karl (1916). "Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución, XIX: Segundo suplemento a una memoria sobre la variación asimétrica" . Philosophical Transactions of the Royal Society A. 216 ( 538–548 ) : 429–457 . Bibcode : 1916RSPTA.216..429P . doi : 10.1098/rsta.1916.0009 . JSTOR 91092 . 
  7. ↑ Cochran, William G. (1952). "La prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste" . The Annals of Mathematical Statistics . 23 (3): 315– 345. doi : 10.1214/aoms/1177729380 . JSTOR 2236678 . 
  8. ↑ Fisher, Ronald A. (1922). "Sobre la interpretación de χ² a partir de tablas de contingencia y el cálculo de P". Journal of the Royal Statistical Society . 85 (1): 87–94 . doi : 10.2307/2340521 . JSTOR 2340521 . 
  9. ↑ Fisher, Ronald A. (1924). "Las condiciones bajo las cuales χ² mide la discrepancia entre la observación y la hipótesis". Journal of the Royal Statistical Society . 87 (3) : 442– 450. JSTOR 2341149 . 
  10. ↑ Campbell, Ian (30 de agosto de 2007). "Pruebas de chi-cuadrado y de Fisher-Irwin de tablas de 2x2 con recomendaciones para muestras pequeñas". Statistics in Medicine . 26 (19): 3661– 3675. doi : 10.1002/sim.2832 . ISSN 0277-6715 . PMID 17315184 .  
  11. ↑ Yates, Frank (1934). "Tabla de contingencia con números pequeños y la prueba χ² " . Suplemento del Journal of the Royal Statistical Society . 1 (2): 217– 235. doi : 10.2307/2983604 . JSTOR 2983604 . 
  12. ↑ "Estadística chi-cuadrado" . Criptografía práctica . Archivado del original el 18 de febrero de 2015. Consultado el 18 de febrero de 2015 .
  13. ↑ "Uso de la chi-cuadrado para descifrar códigos" . Recursos de matemáticas del IB . British International School Phuket. 15 de junio de 2014.
  14. ↑ Ryabko, B. Ya.; Stognienko, VS; Shokin, Yu. I. (2004). "Una nueva prueba de aleatoriedad y su aplicación a algunos problemas criptográficos" (PDF) . Journal of Statistical Planning and Inference . 123 (2): 365– 376. doi : 10.1016/s0378-3758(03)00149-6 . Recuperado el 18 de febrero de 2015 .
  15. ↑ Feldman, I.; Rzhetsky, A.; Vitkup, D. (2008). "Propiedades de red de genes que albergan mutaciones de enfermedades hereditarias" . PNAS . 105 ( 11): 4323– 432. Bibcode : 2008PNAS..105.4323F . doi : 10.1073/pnas.0701722105 . PMC 2393821. PMID 18326631 .  
  16. ↑ "pruebas de chi-cuadrado" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 29 de junio de 2018. Consultado el 29 de junio de 2018 .
  17. ↑ McHugh, Mary L. (15 de junio de 2013). "La prueba de independencia Chi-cuadrado" . Biochemia Medica . 23 (2). doi : 10.11613/BM.2013.018/fullArticle . Recuperado el 7 de junio de 2026 .
  18. ↑ "Supuestos clave detrás de la prueba de chi-cuadrado • Psychology Town" . 2 de noviembre de 2025. Consultado el 7 de junio de 2026 .
  • Homer, Matt (30 de mayo de 2017). "Introducción al análisis de datos secundarios con IBM SPSS Statistics (1.ª ed.)" . Educational Review . 70 (2): 251–252 . doi : 10.1080/00131911.2017.1330503 . ISSN 0013-1911 . 

Lecturas adicionales

  • Weisstein, Eric W. "Prueba de chi-cuadrado" . MathWorld .
  • Corder, GW; Foreman, DI (2014). Estadística no paramétrica: un enfoque paso a paso . Nueva York: Wiley. ISBN 978-1118840313.
  • Greenwood, Cindy ; Nikulin, MS (1996). Guía para la prueba de chi-cuadrado . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-55779-X.
  • Nikulin, MS (1973). Prueba de chi-cuadrado para la normalidad . Actas de la Conferencia Internacional de Vilna sobre Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática . Vol.  2. págs. 119–122 . 
  • Bagdonavicius, Vilijandas B.; Nikulin, Mikhail S. (2011). "Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado para datos censurados por la derecha" . International Journal of Applied Mathematics & Statistics . 24 : 30–50 . MR 2800388 .