Hispanopedia WikiEn estadística, la estimación de chi-cuadrado mínimo es un método de estimación de cantidades no observadas basado en datos observados. [ 1 ]
En ciertas pruebas de chi-cuadrado, se rechaza una hipótesis nula sobre la distribución de una población si un estadístico de prueba específico es demasiado grande, cuando dicho estadístico tendría aproximadamente una distribución chi-cuadrado si la hipótesis nula fuera verdadera. En la estimación de chi-cuadrado mínimo, se buscan los valores de los parámetros que minimizan dicho estadístico de prueba.
Entre las consecuencias de su uso, cabe destacar que el estadístico de prueba presenta una distribución aproximadamente chi-cuadrado cuando el tamaño de la muestra es grande. Generalmente, se reduce en 1 el número de grados de libertad para cada parámetro estimado mediante este método.
Ilustración mediante un ejemplo
Supongamos que una determinada variable aleatoria toma valores en el conjunto de enteros no negativos 0, 1, 2, 3, . . . . Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 20, obteniendo el siguiente conjunto de datos. Se desea probar la hipótesis nula de que la población de la que se tomó esta muestra sigue una distribución de Poisson .
La estimación de máxima verosimilitud de la media poblacional es 3,3. Se podría aplicar la prueba de chi-cuadrado de Pearson para determinar si la distribución poblacional es una distribución de Poisson con un valor esperado de 3,3. Sin embargo, la hipótesis nula no especificaba que se tratara de esa distribución de Poisson en particular, sino solo que se trataba de alguna distribución de Poisson, y el valor 3,3 provenía de los datos, no de la hipótesis nula. Una regla general indica que, al estimar un parámetro, se reduce el número de grados de libertad en 1, en este caso de 9 (ya que hay 10 celdas) a 8. Cabría esperar que el estadístico de prueba resultante tuviera aproximadamente una distribución chi-cuadrado cuando la hipótesis nula es verdadera. Sin embargo, esto no suele ser así cuando se utiliza la estimación de máxima verosimilitud. No obstante, sí es cierto asintóticamente cuando se utiliza la estimación de chi-cuadrado mínimo.
Hallar la estimación mínima de chi-cuadrado
La estimación mínima de chi-cuadrado de la media poblacional λ es el número que minimiza el estadístico chi-cuadrado.
donde a es el número esperado estimado en la celda "> 8", y "20" aparece porque es el tamaño de la muestra. El valor de a es 20 veces la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución de Poisson exceda 8, y se calcula fácilmente como 1 menos la suma de las probabilidades correspondientes a 0 a 8. Mediante álgebra trivial, el último término se reduce simplemente a a . El cálculo numérico muestra que el valor de λ que minimiza el estadístico chi-cuadrado es aproximadamente 3,5242. Esa es la estimación mínima de chi-cuadrado de λ . Para ese valor de λ , el estadístico chi-cuadrado es aproximadamente 3,062764. Hay 10 celdas. Si la hipótesis nula hubiera especificado una única distribución, en lugar de requerir que se estimara λ , entonces la distribución nula del estadístico de prueba sería una distribución chi-cuadrado con 10 − 1 = 9 grados de libertad. Dado que λ debía estimarse, se pierde un grado de libertad adicional. El valor esperado de una variable aleatoria chi-cuadrado con 8 grados de libertad es 8. Por lo tanto, el valor observado, 3,062764, es bastante modesto y no se rechaza la hipótesis nula.
Notas y referencias
- ↑ Berkson, Joseph (1980). "¡Mínimo chi-cuadrado, no máxima verosimilitud!" . Annals of Statistics . 8 (3): 457– 487. doi : 10.1214/aos/1176345003 . JSTOR 2240587 .
- Métodos de estimación
- Pruebas de hipótesis estadísticas