Clase característica

En matemáticas , una clase característica es una forma de asociar a cada fibrado principal de un espacio topológico X una clase de cohomología de X. La clase de cohomología mide el grado de torsión del fibrado y si posee secciones . Las clases características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local respecto de una estructura de producto global. Son uno de los conceptos geométricos unificadores en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica .

La noción de clase característica surgió en 1935 en el trabajo de Eduard Stiefel y Hassler Whitney sobre campos vectoriales en variedades.

Sea G un grupo topológico y para un espacio topológico${\displaystyle X}$, escribir${\displaystyle b_{G}(X)}$para el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados G principales sobre${\displaystyle X}$. Este${\displaystyle b_{G}}$es un functor contravariante de Top (la categoría de espacios topológicos y funciones continuas ) a Set (la categoría de conjuntos y funciones ), que envía un mapa${\displaystyle f\colon X\to Y}$a la operación de retracción${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$, mientras${\displaystyle f^{*}=b_{G}(f)}$.

Una clase característica c de fibrados G principales es entonces una transformación natural de${\displaystyle b_{G}}$a un functor de cohomología${\displaystyle H^{*}}$, considerado también como un functor para Set .

En otras palabras, a cada fibrado G principal se le asocia una clase característica.${\displaystyle P\to X}$en${\displaystyle b_{G}(X)}$Un elemento c ( P ) en H *( X ) tal que, si f  : Y → X es una aplicación continua, entonces c ( f * P ) = f * c ( P ). A la izquierda está la clase de la imagen inversa de P a Y ; a la derecha está la imagen de la clase de P bajo la aplicación inducida en cohomología.

Las clases características son elementos de grupos de cohomología; ^{[ 1 ]} se pueden obtener enteros a partir de clases características, llamados números característicos . Algunos ejemplos importantes de números característicos son los números de Stiefel-Whitney , los números de Chern , los números de Pontryagin y la característica de Euler .

Dado un conjunto orientado M de dimensión n con clase fundamental${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$y un fibrado G con clases características${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$, se puede emparejar un producto de clases características de grado total n con la clase fundamental. El número de números característicos distintos es el número de monomios de grado n en las clases características, o equivalentemente las particiones de n en${\displaystyle {\mbox{grados}}\,c_{i}}$.

Formalmente, dado${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$de tal manera que${\displaystyle \sum {\mbox{grados}}\,c_{i_{j}}=n}$, el número característico correspondiente es:

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

dónde${\displaystyle \smile }$denota el producto de copa de clases de cohomología. Estas se notan de diversas maneras como el producto de clases características, como${\displaystyle c_{1}^{2}}$o mediante alguna notación alternativa, como por ejemplo:${\displaystyle P_{1,1}}$para el número de Pontryagin correspondiente a${\displaystyle p_{1}^{2}}$, o${\displaystyle \chi }$para la característica de Euler.

Desde el punto de vista de la cohomología de de Rham , se pueden tomar formas diferenciales que representen las clases características, ^{[ 2 ]} tomar un producto de cuña de modo que se obtenga una forma de dimensión superior, luego integrar sobre la variedad; esto es análogo a tomar el producto en cohomología y emparejarlo con la clase fundamental.

Esto también funciona para variedades no orientables, que tienen una${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$-orientación, en cuyo caso se obtiene${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$números característicos con valor -, como los números de Stiefel-Whitney.

Los números característicos resuelven las cuestiones de bordismo orientado y no orientado : dos variedades son cobordantes (respectivamente orientadas o no orientadas) si y solo si sus números característicos son iguales.

Las clases características son fenómenos esenciales de la teoría de la cohomología : son construcciones contravariantes , del mismo modo que una sección es una función en un espacio, y para llegar a una contradicción a partir de la existencia de una sección se necesita esa varianza. De hecho, la teoría de la cohomología surgió después de la homología y la homotopía , que son teorías covariantes basadas en el mapeo en un espacio; y la teoría de clases características en sus inicios en la década de 1930 (como parte de la teoría de la obstrucción ) fue una de las principales razones por las que se buscó una teoría "dual" a la homología. El enfoque de clases características para los invariantes de curvatura fue una razón particular para crear una teoría, para demostrar un teorema general de Gauss-Bonnet .

Cuando la teoría se organizó formalmente alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a la teoría de la homotopía), quedó claro que las clases características más fundamentales conocidas hasta entonces (la clase de Stiefel-Whitney , la clase de Chern y las clases de Pontryagin ) eran reflejos de los grupos lineales clásicos y su estructura de toro máximo . Es más, la clase de Chern no era tan nueva, ya que se había reflejado en el cálculo de Schubert sobre grassmannianos y en la obra de la escuela italiana de geometría algebraica . Por otro lado, existía ahora un marco que generaba familias de clases siempre que intervenía un fibrado vectorial .

El mecanismo principal parecía ser entonces este: Dado un espacio X que contiene un fibrado vectorial, esto implicaba en la categoría de homotopía una aplicación de X a un espacio clasificador BG , para el grupo lineal relevante G. Para la teoría de homotopía, la información relevante es transportada por subgrupos compactos como los grupos ortogonales y los grupos unitarios de G. Una vez que la cohomología${\displaystyle H^{*}(BG)}$Se calculó, de una vez por todas, que la propiedad de contravarianza de la cohomología significaba que las clases características para el fibrado se definirían en${\displaystyle H^{*}(X)}$en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la clase Chern es en realidad una sola clase con componentes graduados en cada dimensión par.

Esta sigue siendo la explicación clásica, aunque en una teoría geométrica dada resulta útil tener en cuenta estructuras adicionales. Cuando la cohomología se volvió "extraordinaria" con la llegada de la teoría K y la teoría del cobordismo a partir de 1955, en realidad solo fue necesario cambiar la letra H en todas partes para indicar cuáles eran las clases características.

Posteriormente se encontraron clases características para las foliaciones de variedades ; estas tienen (en un sentido modificado, para foliaciones con algunas singularidades permitidas) una teoría de espacios de clasificación en la teoría de la homotopía .

En trabajos posteriores, tras el acercamiento entre las matemáticas y la física , Simon Donaldson y Dieter Kotschick descubrieron nuevas clases características en la teoría del instantón . El trabajo y el punto de vista de Chern también han resultado importantes: véase la teoría de Chern-Simons .

En el lenguaje de la teoría de la homotopía estable , la clase de Chern , la clase de Stiefel-Whitney y la clase de Pontryagin son estables , mientras que la clase de Euler es inestable .

Concretamente, una clase estable es aquella que no cambia cuando se le añade un paquete trivial:${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$. De forma más abstracta, significa que la clase de cohomología en el espacio de clasificación para${\displaystyle BG(n)}$se retira de la clase de cohomología en${\displaystyle BG(n+1)}$bajo la inclusión${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$(que corresponde a la inclusión${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$y similares). De forma equivalente, todas las clases características finitas retroceden de una clase estable en${\displaystyle BG}$.

Este no es el caso para la clase de Euler, como se detalla allí, sobre todo porque la clase de Euler de un fibrado k -dimensional reside en${\displaystyle H^{k}(X)}$(por lo tanto, se retira de${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$, por lo que no puede retirarse de una clase en${\displaystyle H^{k+1}}$, ya que las dimensiones difieren.

• Clase Segre
• Característica de Euler
• Clase Chern
• Clase Todd

• Chern, Shiing-Shen (1995). Variedades complejas sin teoría del potencial . Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0.ISBN 3-540-90422-0.

  El apéndice de este libro, titulado "Geometría de las clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de las clases características.

• Hatcher, Allen , Fibrados vectoriales y teoría K
• Husemoller, Dale (1966). Haces de fibras (3.ª edición, Springer 1993  ed.). McGraw Hill. ISBN 0387940871.
• Milnor, John W .; Stasheff, Jim (1974). Clases características . Annals of Mathematics Studies. Vol.  76. Princeton University Press , Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tokio. ISBN 0-691-08122-0.