Clase Segre

En matemáticas , la clase Segre es una clase característica utilizada en el estudio de los conos , una generalización de los fibrados vectoriales . Para los fibrados vectoriales, la clase Segre total es inversa a la clase Chern total , y por lo tanto proporciona información equivalente; la ventaja de la clase Segre es que se generaliza a conos más generales, mientras que la clase Chern no lo hace. La clase Segre fue introducida en el caso no singular por Segre (1953). ^[1] En el tratamiento moderno de la teoría de intersecciones en geometría algebraica, como se desarrolló, por ejemplo, en el libro definitivo de Fulton (1998), las clases Segre juegan un papel fundamental. ^[2]

Supongamos que es un cono sobre , es la proyección desde la completitud proyectiva de hasta , y es el fibrado lineal antitautológico sobre . Considerando la clase de Chern como un endomorfismo de grupo del grupo de Chow de , la clase de Segre total de está dada por: ${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización q}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C\omás 1)}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C\omás 1)}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle \mathbb {P} (C\omás 1)}$${\estilo de visualización C}$

${\displaystyle s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

La clase Segre n .° 1 es simplemente la pieza graduada de n .° 2. Si es de dimensión pura sobre entonces esto se da por: ${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{i}(C)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s(C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).}$

La razón para utilizar rather than es que esto hace que la clase Segre total sea estable bajo la adición del paquete trivial . ${\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Si Z es un subesquema cerrado de un esquema algebraico X , entonces denotamos la clase Segre del cono normal a . ${\displaystyle s(Z,X)}$${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

Para un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad compleja, una clase Segre total es la inversa de la clase Chern total , véase por ejemplo Fulton (1998). ^[3]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle s(E)}$ ${\displaystyle c(E)}$

Explícitamente, para una clase Chern total

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots \,}$

Se obtiene la clase Segre total

${\displaystyle s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+\cdots \,}$

dónde

${\displaystyle c_{1}(E)=-s_{1}(E),\quad c_{2}(E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),\quad \dots ,\quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n-1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-\cdots -s_{n}(E)}$

Sean raíces de Chern, es decir, valores propios formales de donde es una curvatura de una conexión en . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle {\frac {i\Omega }{2\pi }}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle E}$

Mientras que la clase de Chern c(E) se escribe como

${\displaystyle c(E)=\prod _{i=1}^{k}(1+x_{i})=c_{0}+c_{1}+\cdots +c_{k}\,}$

donde es un polinomio simétrico elemental de grado en variables${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$

El Segre para el doble haz que tiene raíces Chern se escribe como ${\displaystyle E^{\vee }}$${\displaystyle -x_{1},\dots ,-x_{k}}$

${\displaystyle s(E^{\vee })=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+\cdots }$

Desarrollando la expresión anterior en potencias de uno se puede ver que está representada por un polinomio simétrico homogéneo completo de${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$${\displaystyle s_{i}(E^{\vee })}$${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$

A continuación se muestran algunas propiedades básicas.

• Para cualquier cono C (por ejemplo, un fibrado vectorial), . ^[4]${\displaystyle s(C\oplus 1)=s(C)}$
• Para un cono C y un fibrado vectorial E ,

  ${\displaystyle c(E)s(C\oplus E)=s(C).}$^[5]

• Si E es un fibrado vectorial, entonces ^[6]

  ${\displaystyle s_{i}(E)=0}$para .${\displaystyle i<0}$

  ${\displaystyle s_{0}(E)}$es el operador de identidad.

  ${\displaystyle s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F)\circ s_{i}(E)}$para otro fibrado vectorial F .

• Si L es un fibrado lineal, entonces , menos la primera clase de Chern de L . ^[6]${\displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)}$
• Si E es un fibrado vectorial de rango , entonces, para un fibrado lineal L , ${\displaystyle e+1}$

  ${\displaystyle s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-i}{\binom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{p-i}.}$^[7]

Una propiedad clave de una clase Segre es la invariancia biracional: esto se contiene en lo siguiente. Sea un morfismo propio entre esquemas algebraicos tal que sea irreducible y cada componente irreducible de se aplica a . Entonces, para cada subesquema cerrado , y la restricción de , ${\displaystyle p:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W\subset Y}$${\displaystyle V=p^{-1}(W)}$${\displaystyle p_{V}:V\to W}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatorname {deg} (p)\,s(W,Y).}$^[8]

De manera similar, si es un morfismo plano de dimensión relativa constante entre esquemas algebraicos de dimensión pura, entonces, para cada subesquema cerrado , y la restricción de , ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle W\subset Y}$${\displaystyle V=f^{-1}(W)}$${\displaystyle f_{V}:V\to W}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).}$^[9]

Un ejemplo básico de invariancia biracional lo proporciona una explosión. Sea una explosión a lo largo de algún subesquema cerrado Z . Dado que el divisor excepcional es un divisor de Cartier efectivo y el cono normal (o fibrado normal) a él es , ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(E,{\widetilde {X}})&=c({\mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}[E]\\&=[E]-E\cdot [E]+E\cdot (E\cdot [E])+\cdots ,\end{aligned}}}$

donde usamos la notación . ^[10] Por lo tanto, ${\displaystyle D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha }$

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}E^{k}\right)}$

donde viene dado por . ${\displaystyle g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z}$${\displaystyle \pi }$

Sea Z una curva suave que es una intersección completa de divisores de Cartier efectivos en una variedad X. Suponga que la dimensión de X es n + 1. Entonces la clase de Segre del cono normal a es: ^[11]${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\displaystyle C_{Z/X}}$${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

${\displaystyle s(C_{Z/X})=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].}$

De hecho, por ejemplo, si Z está regularmente incrustado en X , entonces, dado que es el fibrado normal y (ver Cono normal#Propiedades ), tenemos: ${\displaystyle C_{Z/X}=N_{Z/X}}$${\displaystyle N_{Z/X}=\bigoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}}$

${\displaystyle s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}[Z]=\prod _{i=1}^{d}(1-c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D_{i})))[Z]=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].}$

El siguiente es el Ejemplo 3.2.22. de Fulton (1998). ^[2] Recupera algunos resultados clásicos del libro de Schubert sobre geometría enumerativa .

Considerando el espacio proyectivo dual como el fibrado de Grassmann que parametriza los 2 planos en , considere la secuencia exacta tautológica ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}$ ${\displaystyle p:{\breve {\mathbb {P} ^{3}}}\to *}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}\mathbb {C} ^{3}\to Q\to 0}$

donde están los fibrados sub y cocientes tautológicos. Con , el fibrado proyectivo es la variedad de cónicas en . Con , tenemos y por lo tanto, utilizando la clase Chern#Fórmulas de cálculo , ${\displaystyle S,Q}$${\displaystyle E=\operatorname {Sym} ^{2}(S^{*}\otimes Q^{*})}$ ${\displaystyle q:X=\mathbb {P} (E)\to {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \beta =c_{1}(Q^{*})}$${\displaystyle c(S^{*}\otimes Q^{*})=2\beta +2\beta ^{2}}$

${\displaystyle c(E)=1+8\beta +30\beta ^{2}+60\beta ^{3}}$

y por lo tanto

${\displaystyle s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}}$

donde Los coeficientes en tienen significados geométricos enumerativos; por ejemplo, 92 es el número de cónicas que se encuentran en 8 líneas generales. ${\displaystyle h=-\beta =c_{1}(Q).}$${\displaystyle s(E)}$

Sea X una superficie y divisores de Cartier efectivos sobre ella. Sea la intersección teórica de esquemas de y (considerando esos divisores como subesquemas cerrados). Para simplificar, supongamos que se encuentran solo en un único punto P con la misma multiplicidad m y que P es un punto liso de X . Entonces ^[12]${\displaystyle A,B,D}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle A+D}$${\displaystyle B+D}$${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle s(Z,X)=[D]+(m^{2}[P]-D\cdot [D]).}$

Para ver esto, considere la expansión de X a lo largo de P y sea , la transformación estricta de Z . Por la fórmula en #Propiedades, ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle g:{\widetilde {Z}}=\pi ^{-1}Z\to Z}$

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}([{\widetilde {Z}}])-g_{*}({\widetilde {Z}}\cdot [{\widetilde {Z}}]).}$

Desde donde , resulta la fórmula anterior. ${\displaystyle {\widetilde {Z}}=\pi ^{*}D+mE}$${\displaystyle E=\pi ^{-1}P}$

Sea el anillo local de una variedad X en una subvariedad cerrada V de codimensión n (por ejemplo, V puede ser un punto cerrado). Entonces es un polinomio de grado n en t para t grande ; es decir, puede escribirse como los términos de grado inferior y el entero se denomina multiplicidad de A . ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$${\displaystyle \operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})}$${\displaystyle {e(A)^{n} \over n!}t^{n}+}$${\displaystyle e(A)}$

La clase Segre de codifica esta multiplicidad: el coeficiente de en es . ^[13]${\displaystyle s(V,X)}$${\displaystyle V\subset X}$${\displaystyle [V]}$${\displaystyle s(V,X)}$${\displaystyle e(A)}$

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Segre, Beniamino (1953), "Nuovi metodi e resultati nella geometria sulle varietà algebriche", Ann. Estera. Pura aplicación. (en italiano), 35 (4): 1–127, SEÑOR  0061420