Coordenadas canónicas

En matemáticas y mecánica clásica , las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas en el espacio de fases que permiten describir un sistema físico en cualquier instante. Estas coordenadas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica . Un concepto similar aparece también en mecánica cuántica ; para más detalles, consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas .

Así como la mecánica hamiltoniana se generaliza mediante la geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan mediante las transformaciones de contacto , la definición del siglo XIX de coordenadas canónicas en la mecánica clásica puede generalizarse a una definición más abstracta del siglo XX de coordenadas en el fibrado cotangente de una variedad (la noción matemática de espacio de fases).

En mecánica clásica , las coordenadas canónicas son coordenadas${\displaystyle q^{i}}$y${\displaystyle p_{i}}$en el espacio de fases que se utilizan en el formalismo hamiltoniano . Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales del corchete de Poisson :

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

Un ejemplo típico de coordenadas canónicas es para${\displaystyle q^{i}}$ser las coordenadas cartesianas habituales y${\displaystyle p_{i}}$ser los componentes del momento . Por lo tanto, en general, el${\displaystyle p_{i}}$Las coordenadas se denominan "momentos conjugados".

Las coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre , o a partir de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica .

Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el fibrado cotangente de una variedad . Suelen escribirse como un conjunto de${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$o${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$donde las x o q denotan las coordenadas en la variedad subyacente y las p denotan el momento conjugado , que son 1-formas en el fibrado cotangente en el punto q en la variedad.

Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el fibrado cotangente que permite escribir la 1-forma canónica de la forma

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

hasta un diferencial total. Un cambio de coordenadas que preserva esta forma es una transformación canónica ; estos son un caso especial de un simplectomorfismo , que son esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .

En la siguiente exposición, asumimos que las variedades son variedades reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre vectores tangentes producen números reales.

Dada una variedad Q , un campo vectorial X en Q (una sección del fibrado tangente TQ ) puede pensarse como una función que actúa sobre el fibrado cotangente , debido a la dualidad entre los espacios tangente y cotangente. Es decir, definimos una función

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

de tal manera que

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

se cumple para todos los vectores cotangentes p en${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$. Aquí,${\displaystyle X_{q}}$es un vector en${\displaystyle T_{q}Q}$, el espacio tangente a la variedad Q en el punto q . La función${\displaystyle P_{X}}$se denomina función de momento correspondiente a X.

En coordenadas locales , el campo vectorial X en el punto q se puede escribir como

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

donde el${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$son el sistema de coordenadas en TQ . El momento conjugado tiene entonces la expresión

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

donde el${\displaystyle p_{i}}$se definen como las funciones de momento correspondientes a los vectores${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$:

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

El${\displaystyle q^{i}}$junto con el${\displaystyle p_{j}}$En conjunto, forman un sistema de coordenadas en el haz cotangente.${\displaystyle T^{*}Q}$Estas coordenadas se denominan coordenadas canónicas .

En mecánica lagrangiana , se utiliza un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas . Estas se suelen denotar como${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$con${\displaystyle q^{i}}$llamada la posición generalizada y${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$la velocidad generalizada . Cuando se define un hamiltoniano en el fibrado cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi .

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr .; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3.ª  ed.). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347–349 . ISBN  0-201-65702-3.
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-XVéase la sección 3.2 .