Ley de Bragg

En muchos ámbitos de la ciencia, la ley de Bragg —también conocida como condición de Wulff -Bragg o interferencia de Laue -Bragg— es un caso particular de la difracción de Laue que proporciona los ángulos de dispersión coherente de ondas en una red cristalina extensa. Describe cómo la superposición de frentes de onda dispersados ​​por los planos de la red da lugar a una relación precisa entre la longitud de onda y el ángulo de dispersión. Esta ley se formuló inicialmente para los rayos X, pero también se aplica a todo tipo de ondas de materia, incluidas las ondas de neutrones y electrones si hay un gran número de átomos, así como a la luz visible en redes microscópicas periódicas artificiales.

La difracción de Bragg (también conocida como formulación de Bragg de la difracción de rayos X ) fue propuesta por primera vez por Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg , en 1913 ^{[ 1 ]} tras descubrir que los sólidos cristalinos producían patrones sorprendentes de rayos X reflejados (a diferencia de los producidos, por ejemplo, con un líquido). Observaron que estos cristales, a ciertas longitudes de onda y ángulos de incidencia específicos, producían picos intensos de radiación reflejada.

Lawrence Bragg explicó este resultado modelando el cristal como un conjunto de planos paralelos discretos separados por un parámetro constante d . Propuso que la radiación de rayos X incidente produciría un pico de Bragg si las reflexiones de los distintos planos interferían constructivamente. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la onda reflejada en diferentes planos atómicos es un múltiplo de 2π ; esta condición (véase la sección de la condición de Bragg más adelante) fue presentada por primera vez por Lawrence Bragg el 11 de noviembre de 1912 a la Sociedad Filosófica de Cambridge . ^{[ 2 ]} Debido a su simplicidad, la ley de Bragg proporcionó una nueva y poderosa herramienta para determinar redes cristalinas a partir de datos de difracción de rayos X. Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg, recibieron el Premio Nobel de Física en 1915 por su trabajo en la resolución de estructuras cristalinas, comenzando con NaCl , ZnS y diamante . ^{[ 3 ]} Son el único equipo de padre e hijo que ha ganado conjuntamente.

El concepto de difracción de Bragg se aplica igualmente a la difracción de neutrones ^{[ 4 ]} y aproximadamente a la difracción de electrones ^{[ 5 ]} . En ambos casos, las longitudes de onda son comparables con las distancias interatómicas (~  150 pm). También se ha demostrado que  muchos otros tipos de ondas de materia se difractan ^{[ 6 , 7 ] , y también la luz de objetos con una estructura ordenada mayor ,} como los ópalos ^{[ 8 ]} .

La difracción de Bragg ocurre cuando la radiación de una longitud de onda λ comparable a las distancias interatómicas se dispersa de forma especular (reflexión tipo espejo) por planos de átomos en un material cristalino y experimenta interferencia constructiva. ^{[ 10 ]} Cuando las ondas dispersadas inciden en un ángulo específico, permanecen en fase e interfieren constructivamente . El ángulo rasante θ (véase la figura de la derecha y observe que esto difiere de la convención en la ley de Snell donde θ se mide desde la normal a la superficie), la longitud de onda λ y la "constante de red" d del cristal están relacionadas por la siguiente expresión: ^{[ 11 ] : 1026}$${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$$dónde${\displaystyle n}$es el orden de difracción (${\displaystyle n=1}$es de primer orden, ${\displaystyle n=2}$es de segundo orden, ^{[ 10 ] : 221}${\displaystyle n=3}$es de tercer orden ^{[ 11 ] : 1028} ). Esta ecuación, la ley de Bragg, describe la condición sobre θ para la interferencia constructiva. ^{[ 12 ]}

Un mapa de las intensidades de las ondas dispersadas en función de su ángulo se denomina patrón de difracción. Se obtienen intensidades elevadas, conocidas como picos de Bragg, en el patrón de difracción cuando los ángulos de dispersión satisfacen la condición de Bragg. Este es un caso particular de las ecuaciones de Laue , más generales , y se puede demostrar que las ecuaciones de Laue se reducen a la condición de Bragg con supuestos adicionales. ^{[ 13 ]}

En el artículo original de Bragg, describe su enfoque como una construcción de Huygens para una onda reflejada. ^{[ 14 ] : 46} Supongamos que una onda plana (de cualquier tipo) incide sobre planos de puntos de la red , con separación${\displaystyle d}$, en ángulo${\displaystyle \theta }$como se muestra en la figura. Los puntos A y C están en un plano, y B está en el plano inferior. Los puntos ABCC' forman un cuadrilátero . ^{[ 15 ] : 69}

Habrá una diferencia de camino entre el rayo que se refleja a lo largo de AC' y el rayo que se transmite a lo largo de AB y luego se refleja a lo largo de BC . Esta diferencia de camino es $${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

Las dos ondas separadas llegarán a un punto (infinitamente lejos de estos planos reticulares) con la misma fase y, por lo tanto, experimentarán interferencia constructiva , si y solo si esta diferencia de camino es igual a cualquier valor entero de la longitud de onda , es decir $${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

dónde${\displaystyle n}$y${\displaystyle \lambda }$son un número entero y la longitud de onda de la onda incidente, respectivamente.

Por lo tanto, a partir de la geometría $${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ y }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

de lo cual se deduce que $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

Reuniendo todo, $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

lo cual se simplifica a${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$que es la ley de Bragg mostrada arriba.

Si solo dos planos de átomos difractaran, como se muestra en la figura, la transición de interferencia constructiva a destructiva sería gradual en función del ángulo, con máximos suaves en los ángulos de Bragg. Sin embargo, dado que en la mayoría de los materiales reales participan muchos planos atómicos, lo habitual son picos pronunciados. ^{[ 5 ] [ 13 ]}

Se dispone de una derivación rigurosa a partir de las ecuaciones de Laue más generales (véase la página: ecuaciones de Laue ).

La condición de Bragg es correcta para cristales muy grandes. Debido a que la dispersión de rayos X y neutrones es relativamente débil, en muchos casos  se utilizan cristales bastante grandes con tamaños de 100 nm o más. Si bien pueden existir efectos adicionales debido a defectos cristalinos , estos suelen ser bastante pequeños. En contraste, los electrones interactúan miles de veces más fuertemente con los sólidos que los rayos X, ^{[ 5 ]} y también pierden energía ( dispersión inelástica ). ^{[ 16 ]} Por lo tanto, las muestras utilizadas en la difracción de electrones por transmisión son mucho más delgadas. Los patrones de difracción típicos, por ejemplo la Figura, muestran puntos para diferentes direcciones ( ondas planas ) de los electrones que salen de un cristal. Los ángulos que predice la ley de Bragg siguen siendo aproximadamente correctos, pero en general hay una red de puntos que son cercanos a proyecciones de la red recíproca que es perpendicular a la dirección del haz de electrones. (En contraste, la ley de Bragg predice que solo uno o quizás dos estarían presentes, no decenas o cientos simultáneamente). Con la difracción de electrones de baja energía, donde las energías de los electrones suelen ser de 30 a 1000 electronvoltios , el resultado es similar con los electrones reflejados desde una superficie. ^{[ 17 ]} También es similar la difracción de electrones de alta energía por reflexión, que generalmente produce anillos de puntos de difracción. ^{[ 18 ]}

Con rayos X, el efecto de tener cristales pequeños se describe mediante la ecuación de Scherrer . ^{[ 13 ] [ 19 ] [ 20 ]} Esto conduce a un ensanchamiento de los picos de Bragg que se puede utilizar para estimar el tamaño de los cristales.

Un cristal coloidal es una matriz altamente ordenada de partículas que se forma en un largo rango (desde unos pocos milímetros hasta un centímetro de longitud); los cristales coloidales tienen apariencia y propiedades aproximadamente análogas a sus contrapartes atómicas o moleculares. ^{[ 8 ]} Se sabe desde hace muchos años que, debido a las interacciones repulsivas de Coulomb , las macromoléculas cargadas eléctricamente en un entorno acuoso pueden exhibir correlaciones de largo alcance similares a las de un cristal , con distancias de separación entre partículas que a menudo son considerablemente mayores que el diámetro de cada partícula. Las matrices periódicas de partículas esféricas dan lugar a huecos intersticiales (los espacios entre las partículas), que actúan como una red de difracción natural para las ondas de luz visible , cuando el espaciado intersticial es del mismo orden de magnitud que la onda de luz incidente . ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} En estos casos, la brillante iridiscencia (o juego de colores) se atribuye a la difracción e interferencia constructiva de ondas de luz visible según la ley de Bragg, de forma análoga a la dispersión de rayos X en un sólido cristalino. Los efectos se producen en longitudes de onda visibles porque el espaciado interplanar d es mucho mayor que en los cristales verdaderos. El ópalo precioso es un ejemplo de cristal coloidal con efectos ópticos.

Las rejillas de Bragg volumétricas (VBG) o rejillas holográficas volumétricas (VHG) consisten en un volumen donde hay un cambio periódico en el índice de refracción . Dependiendo de la orientación de la modulación del índice de refracción, las VBG se pueden usar para transmitir o reflejar un pequeño ancho de banda de longitudes de onda . ^{[ 24 ]} La ley de Bragg (adaptada para hologramas volumétricos) dicta qué longitud de onda se difractará: ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

donde m es el orden de Bragg (un entero positivo), λ _B la longitud de onda difractada , Λ el espaciado de las franjas de la rejilla, θ el ángulo entre el haz incidente y la normal ( N ) de la superficie de entrada y φ el ángulo entre la normal y el vector de la rejilla ( KG ). La radiación que no coincide con _la ley de Bragg pasará a través de la VBG sin difractarse. La longitud de onda de salida se puede ajustar en unos pocos cientos de nanómetros cambiando el ángulo de incidencia ( θ ). Las VBG se utilizan para producir fuentes láser ampliamente sintonizables o para realizar imágenes hiperespectrales globales (véase Photon, etc. ). ^{[ 25 ]}

La medición de los ángulos puede utilizarse para determinar la estructura cristalina; consulte la cristalografía de rayos X para obtener más detalles. ^{[ 5 ] [ 13 ]} Como ejemplo sencillo, la ley de Bragg, tal como se indicó anteriormente, puede utilizarse para obtener el espaciado reticular de un sistema cúbico particular mediante la siguiente relación:

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

dónde${\displaystyle a}$es el espaciado de la red del cristal cúbico , y h , k y ℓ son los índices de Miller del plano de Bragg. Combinando esta relación con la ley de Bragg se obtiene:

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

Se pueden derivar reglas de selección para los índices de Miller para diferentes redes de Bravais cúbicas , así como para muchas otras; algunas de estas reglas de selección se muestran en la tabla siguiente.

Estas reglas de selección se pueden usar para cualquier cristal con la estructura cristalina dada. El KCl tiene una red de Bravais cúbica centrada en las caras ^. Sin embargo, los iones K ⁺ y Cl− tienen el mismo número de electrones y son bastante similares en tamaño, por lo que el patrón de difracción se vuelve esencialmente el mismo que para una estructura cúbica simple con la mitad del parámetro de red. Las reglas de selección para otras estructuras se pueden consultar en otras fuentes o derivar . El espaciado de la red para los demás sistemas cristalinos se puede encontrar aquí .

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• Neil W. Ashcroft y N. David Mermin, Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg W (1913). "La difracción de ondas electromagnéticas cortas por un cristal". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 17 : 43–57 .

• Premio Nobel de Física – 1915
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• Aprendiendo cristalografía