Avión de Bragg

En física , un plano de Bragg es un plano en el espacio recíproco que biseca un vector de la red recíproca,${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$, en ángulo recto. ^{[ 1 ]} El plano de Bragg se define como parte de la condición de Von Laue para picos de difracción en cristalografía de difracción de rayos X.

Considerando el diagrama adyacente, la onda plana de rayos X incidente se define por:

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}}$

Dónde${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$es el vector de onda incidente dado por:

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}}$

dónde${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$es la longitud de onda del fotón incidente . Mientras que la formulación de Bragg supone una elección única de planos reticulares directos y reflexión especular de los rayos X incidentes, la fórmula de Von Laue solo supone luz monocromática y que cada centro de dispersión actúa como una fuente de ondículas secundarias, tal como lo describe el principio de Huygens . Cada onda dispersada contribuye a una nueva onda plana dada por:

${\displaystyle \mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }}$

La condición para la interferencia constructiva en el${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }}$La dirección es que la diferencia de camino entre los fotones es un múltiplo entero (m) de su longitud de onda. Sabemos entonces que para la interferencia constructiva tenemos:

${\displaystyle |\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda }$

dónde${\displaystyle \scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z} }$Multiplicando lo anterior por${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$formulamos la condición en términos de los vectores de onda,${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$y${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$:

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Ahora consideremos que un cristal es una matriz de centros de dispersión, cada uno en un punto de la red de Bravais . Podemos establecer uno de los centros de dispersión como el origen de una matriz. Dado que los puntos de la red están desplazados por los vectores de la red de Bravais,${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$, las ondas dispersas interfieren constructivamente cuando la condición anterior se cumple simultáneamente para todos los valores de${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$que son vectores de la red de Bravais, la condición entonces se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Una afirmación equivalente (véase la descripción matemática de la red recíproca ) es decir que:

${\displaystyle e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1}$

Al comparar esta ecuación con la definición de un vector de red recíproca, vemos que la interferencia constructiva ocurre si${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }} }$es un vector de la red recíproca. Observamos que${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$y${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$tienen la misma magnitud, podemos reformular la formulación de Von Laue como que requiere que la punta del vector de onda incidente,${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$, debe estar en el plano que es una bisectriz perpendicular del vector de la red recíproca,${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$Este plano del espacio recíproco es el plano de Bragg .

• cristalografía de rayos X
• Red recíproca
• Retícula de Bravais
• difracción de polvo
• línea kikuchi
• Zona de Brillouin